1、复旦大学附属中学2014-2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷（时间90分钟，满分120分）一、填空题（每小题4分，共44分）1、用列举法表示集合_.【答案】；【解析】由，则必有，所以.2、命题“若，则”的否命题是_.【答案】若，则；【解析】命题的否定是同时对条件与结论进行否定.3、函数的定义域为_.【答案】；【解析】由，即，本题需注意定义域只能写成区间或是集合的形式，避免写不等式的形式.4、已知集合，则满足的集合有_个.【答案】4;【解析】由条件可知，所以符合条件的集合的个数即为集合的子集的个数，共4个.5、已知，且，则的最大值为_.【答案】；【解析】由基本不等式可以直接算出结果.
2、，当且仅当时取等号.6、已知集合，则_.【答案】；【解析】，解之,即结合数轴标根法，可以得到其解为，即，所以.7、不等式对恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】；【解析】对二次项系数进行讨论当即时，不等式显然成立；当，欲使不等式对恒成立，则需满足，解之；综合，则实数的取值范围为.8、若关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为_.【答案】;【解析】由不等式的解集为，可得，所以，所以可转化为，结合，所以有，即不等式的解集为.9、在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，.给出下列四个结论：；“整数属于同一类”的充要条件是“”.其中，正确结论的个数是_.【答案】3个；【解析】正
3、确，由于能够被5整除；错误，故；正确，将整数按照被5除分类，刚好分为5类；正确.10、某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费（万元）与仓库到停车库的距离（公里）成反比，而每月库存货物的运费（万元）与仓库到停车库的距离（公里）成正比.如果在距离停车库18公里处建仓库，这两项费用和分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离_公里.【答案】；【解析】设，（为常数），由时，可知，所以，当且仅当时取等号.11、设，若时，均有成立，则实数的取值集合为_.【答案】【解析】可以取特殊值代入，得，所以，存在且唯一.也可以结合数轴标根法，但此时注意需有重根出现才能
4、符合题意，最后讨论也可求出结果.二、选择题（每题4分，共16分）12、三国时期赵爽在勾股方圆图注中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释.A.如果，那么B. 如果，那么C.对任意实数和，有，当且仅当时等号成立D. 如果，那么【答案】C；【解析】可将直角三角形的两直角边长度取作，斜边为（），则外围的正方形的面积为，也就是，四个阴影面积之和刚好为，对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立.13、设取实数，则与表示同一个函数的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B；【解析】A选项对应关系不同，；C、D选项定义域不相同.14、是成立的（ ）A.
5、充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】充分性显然成立，必要性可以举反例：，显然必要性不成立.15、在关于的方程，中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围为（ ）A. B. 或C. 或D. 【答案】C；【解析】可以采用补集思想.三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可.三、解答题（共6大题，满分60分）16、（本题满分8分）解关于的方程：.【答案】或；【解析】或，解之或.17、（本题满分8分，每小题4分）设关于的不等式：.（1）解此不等式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当且时，不等
6、式的解为；（2）；【解析】（1），即有，所以当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当且时，不等式的解为；（2）由于，所以符合；结合（1）可以得到：，解之；或，解之.综上.18、（本题满分10分）已知，其中，全集.若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】；【解析】由“”是“”的必要不充分条件，可得，所以，而，令的根为，则必有，解之.19、（本题满分10分）现有四个长方体容器，的底面积均为，高分别为；的底面积均为，高分别为（其中）.现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？【答案】只有1
7、种，就是取.【解析】当时，则，即；当时，则，即；又所以在不知道的大小的情况下，取能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握.20、（本题满分12分，第一小题3分，第二小题4分，第三小题5分）定义实数间的计算法则如下：.（1）计算；（2）对的任意实数，判断等式是否恒成立，并说明理由；（3）写出函数的解析式，其中，并求函数的值域.【答案】（1）9；（2）不能；（3）.【解析】（1）因为，所以；（2）由于，所以，；由于，所以，即有，此时若，则；若，则.所以等式并不能保证对任意实数都成立.（3）由于，所以，函数的值域为.21、（本题满分共12分，每小题4分）已知实数满足.（1）求证：；（2）现推广如下：把的分子改为一个大于1的正整数，使得对任意都成立，试写出一个并证明之；（3）现换个角度推广如下：正整数满足什么条件时，对任意都成立，请写出条件并证明之.【答案】见解析.【解析】（1）由于，所以，要证，只需证明.左边，证毕.（2）欲使，只需，左边，所以只需即可，即，所以可以取代入上面过程即可.（3）欲使，只需，左边，只需，即（）.