1、2.7 抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 第二章 平面解析几何 学 习 任 务核 心 素 养 1理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程(重点)2掌握抛物线的定义及其标准方程的应用(难点)1通过抛物线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养 2借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养 情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮迫击炮，迫击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，地面上要防迫击炮的工事就必须是有顶盖的对于躲在战壕中的敌人，迫击炮的密集发射无疑是一场灾难因此研究
2、抛物线是很有必要的，这节课我们就要“走入”抛物线看一看迫击炮的弹道曲线 知识点 1 抛物线的定义 一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离_的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的_，定直线 l 称为抛物线的_ 相等焦点准线1平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？提示 不一定当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线；l 不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线 1已知动点 M 的坐标满足方程 5 x2y2|3x4y12|，则动点 M 的轨迹是()A椭圆 B双曲线 C
3、抛物线 D圆 C 方程 5 x2y2|3x4y12|可化为 x2y2|3x4y12|5，它表示点 M 到坐标原点 O 的距离等于它到直线 3x4y120 的距离，由抛物线的定义，可知动点 M 的轨迹是抛物线故选 C 知识点 2 抛物线的标准方程 图形标准方程焦点坐标准线方程 _p2，0 xp2 _p2，0 xp2 y22px(p0)y22px(p0)图形标准方程焦点坐标准线方程 _0，p2yp2 _0，p2yp2 x22py(p0)x22py(p0)2确定抛物线的标准方程时，一般需要确定几个量？提示：确定两个量，一个是 p，另一个是一次项系数的正负 3已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点
4、位置和开口方向？提示 一次项变量为 x(或 y)，则焦点在 x 轴(或 y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定 2思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)标准方程 y22px(p0)中的 p 的几何意义是焦点到准线的距离()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定()答案(1)(2)提示(1)抛物线的标准方程中 p(p0)即为焦点到准线的距离(2)一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴还是负半轴上3抛物线 yax2 的准线方程是 y2，则实数 a 的值为()A18 B18 C8 D8 B 由 ya
5、x2，得 x21ay，14a2，a18合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 求抛物线的标准方程【例 1】求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点 M(6，6)；(2)焦点 F 在直线 l：3x2y60 上 解(1)由于点 M(6，6)在第二象限，过 M 的抛物线开口向左或开口向上 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y22px(p0)，将点 M(6，6)代入，可得 362p(6)，p3 抛物线的方程为 y26x 若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x22py(p0)，将点 M(6，6)代入可得，362p6，p3，抛物线的方程为 x26y 综上所述，
6、抛物线的标准方程为 y26x 或 x26y(2)直线 l 与 x 轴的交点为(2，0)，抛物线的焦点是 F(2，0)，p22，p4，抛物线的标准方程是 y28x 直线 l 与 y 轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是 F(0，3)，p23，p6，抛物线的标准方程是 x212y 综上所述，所求抛物线的标准方程是 y28x 或 x212y 求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：1依据条件设出抛物线的标准方程的类型；2求参数 p 的值；3确定抛物线的标准方程.提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设 y2ax 或x2aya0的形式，以简化讨论过程.跟进训练 1已知抛物线顶点在原点，
7、对称轴是 x 轴，点 P(5，2 5)到焦点的距离为 6，求抛物线的标准方程 解 设焦点 F(a，0)，|PF|a52206，即 a210a90，解得 a1，或 a9 当焦点为 F(1，0)时，p2，抛物线的开口向左，其方程为 y24x；当焦点为 F(9，0)时，p18，抛物线开口向左，其方程为y236x 类型 2 抛物线定义的应用 【例 2】(对接教材人教 B 版 P153 例 3)若位于 y 轴右侧的动点M 到 F12，0 的距离比它到 y 轴的距离大12求点 M 的轨迹方程 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？提示 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设
8、为 M；一个定点 F，即抛物线的焦点；一条定直线 l，即为抛物线的准线；一个定值，即点 M 与点 F 的距离和 M 到 l 的距离之比等于1定点 F 不能在直线上，否则，动点 M 的轨迹就不是抛物线 解 由于位于 y 轴右侧的动点 M 到 F12，0 的距离比它到 y 轴的距离大12，所以动点 M 到 F12，0 的距离与它到直线 l：x12的距离相等 由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为 y22px(p0)的形式，而p212，所以 p1，2p2，故点 M 的轨迹方程为 y22x(x0)1(变换条件，改变问法)若本例中点 M 所在轨迹上
9、一点 N 到点F 的距离为 2，求点 N 的坐标 解 设点 N 的坐标为(x0，y0)，则|NF|2，即x0122y204，又由例题的解析知点 M 的轨迹方程为 y22x(x0)，故 y202x0，由可得x032，y0 3，或x032，y0 3，故点 N 的坐标为32，3 或32，3 2(变换条件，改变问法)若本例中增加一点 A(3，2)，其他条件不变，求|MA|MF|的最小值，并求出点 M 的坐标 解 如图，由于点 M 在抛物线上，所以|MF|等于点 M 到其准线 l 的距离|MN|，于是|MA|MF|MA|MN|，所以当 A，M，N 三点共线时，|MA|MN|取最小值，亦即|MA|MF|取
10、最小值，最小值为 31272 这时点 M 的纵坐标为 2，可设 M(x0，2)，代入抛物线方程得 x02，即 M(2，2)抛物线定义的 2 种应用(1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 跟进训练 2已知圆 C 的方程为 x2y210 x0，求与 y 轴相切且与圆 C外切的动圆圆心 P 的轨迹方程 解 设点 P 的坐标为(x，y)，动圆的半径为 R，动圆 P
11、与 y 轴相切，R|x|动圆与定圆 C：(x5)2y225 外切，|PC|R5，|PC|x|5 当点 P 在 y 轴右侧时，x0，则|PC|x5，点 P 的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则圆心 P 的轨迹方程为 y220 x(x0)当点 P 在 y 轴左侧时，x0，则|PC|x5，此时点 P 的轨迹是 x 轴的负半轴，即方程为 y0(x0)点 P 的轨迹方程为 y220 x(x0)或 y0(x0)类型 3 抛物线的实际应用 【例 3】(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是 60 cm，灯深 40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是()A11.25 c
12、m B5.625 cm C20 cm D10 cm(2)某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长(1)B 如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是 y22px(p0)A(40，30)在抛物线上，3022p40，p454，光源到反光镜顶点的距离为 p24542 458 5.625(cm)(2)解 如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为 x22py(p0)依题意知，点 P(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25 即抛物线方程为 x225y 每 4 米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2，2，6 由图知，AB 是最长的支柱之
13、一 设点 B 的坐标为(2，yB)，解得 yB 425，点 A 的坐标为(2，4)，|AB|yB(4)42543.84，最长支柱的长为 3.84 米 求抛物线实际应用的步骤是什么？提示(1)建立适当的坐标系(2)设出合适的抛物线方程(3)通过计算求出抛物线的标准方程(4)求出需要求出的量(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题 跟进训练 3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为8 m，一小船宽 4 m，高 2 m，载货后船露出水面上的部分高 0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？解 如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线
14、为 x 轴，建立平面直角坐标系 设抛物线方程为 x22py(p0)，由题意可知点 B(4，5)在抛物线上，故 p85，得 x2165 y 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA，则 A(2，yA)，由 22165 yA，得 yA54 又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m，所以 h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距 2 m 时，小船开始不能通航 当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1抛物线 y216x 的焦点坐标为()A(4，0)B(4，0)C(0，4)D(0，4)A y216x，p8，p24，开口方向向左，焦点坐标为(4，0)1 3 5
15、 2 4 2抛物线 y24x 上的点 M(4，y0)到其焦点 F 的距离为()A3 B4 C5 D6 C 由抛物线 y24x，得 F(1，0)，如图，|FM|4p24151 3 5 2 4 3抛物线的准线方程为 x4，则抛物线的标准方程为()Ax216yBx28y Cy216xDy28x C 抛物线的准线为 x4，易知抛物线是开口向右的抛物线设方程为 y22px(p0)，则p24，p8，抛物线方程为 y216x 1 3 5 2 4 4若抛物线 y22px(p0)的焦点与椭圆x26y221 的右焦点重合，则实数 p_ 4 因为椭圆x26y221，所以 a26，b22，所以 c2a2b24，故 c
16、2，所以右焦点为(2，0)，所以p22，p4 1 3 5 2 4 5已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y22px(p0)上一点 A 到焦点 F 的距离为 4，若点 M 为抛物线 C 准线上的动点，若MF 3FA，则 p_ 3 作 AE 垂直于准线于 E，设准线与 x 轴的交点为 N，如图，1 3 5 2 4 由抛物线的定义可得|AE|AF|4，因为MF 3FA，所以|MF|3|FA|12，|MA|16，由相似的性质可得|MF|MA|NF|AE|，即1216|NF|4，所以|NF|3，所以 p3 回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何看待抛物线中焦点和准线的位置？提示 焦点在抛物线开口方向的内部
17、，而准线在外部，即“怀抱焦点，背着准线”2抛物线方程中参数 p 的几何意义是什么？提示 抛物线的标准方程中参数 p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距)，所以 p 的值永远大于 0当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现 p0 的错误 3将四种不同位置的抛物线的标准方程进行对比，它们之间有何相同点？有何不同点？提示(1)共同点：a原点在抛物线上；b焦点在坐标轴上；c准线与焦点所在的轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，且它们到原点的距离等于一次项系数的绝对值的14，即2p4 p2(2)不同点：a当焦点在 x 轴上时，方程的右端为2px，左端为 y2；当焦点在 y 轴上时，方程的右端为2py，左端为 x2；b开口方向向右(或向上)时，焦点在 x 轴(或 y 轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向向左(或向下)时，焦点在 x 轴(或 y 轴)的负半轴上，方程的右端取负号 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
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