1、2.6 双曲线及其方程 2.6.2 双曲线的几何性质 第二章 平面解析几何 学 习 任 务核 心 素 养 1了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)2理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程(重点)3能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题(难点)1通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养 2借助于几何性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养 情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0，1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆
2、有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！知识点 1 双曲线的几何性质 标准 方程x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2 1(a0，b0)性质 图形 标准 方程x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2 1(a0，b0)焦点_ 焦距_ 性质范围 _或_，y_或_，x(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c)2cxaxayayaRR标准 方程x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2 1(a0，b0)对称性对称轴：_；对称中心：_ 性质顶点_ 坐标轴原点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)标准 方
3、程x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2 1(a0，b0)轴实轴：线段_，长：_；虚轴：线段_，长：_；半实轴长：_，半虚轴长：_ 离心率e_ 性质渐近线_ A1A22aB1B22babca(1，)yba xyab x 1能否用 a，b 表示双曲线的离心率？提示 能eca a2b2a 1b2a2 2离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？提示 有影响，因为 eca a2b2a 1b2a2，故当ba 的值越大，渐近线 yba x 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大 1思考辨析(正确的打“”，错
4、误的打“”)(1)双曲线y2a2 x2b2 1(a0，b0)的渐近线方程为 yba x()(2)离心率越大，双曲线x2a2 y2b2 1 的渐近线的斜率绝对值越大()答案(1)(2)提示(1)由y2a2 x2b2 1，得 yab x，所以渐近线方程为yab x(2)由ba c2a2a e21(e1)，所以 e 越大，渐近线 yba x 斜率的绝对值越大 知识点 2 等轴双曲线 实轴长和虚轴长_的双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线是_，离心率e 相等yx22等轴双曲线的一个焦点是 F1(6，0)，则它的标准方程是()Ay218x2181 Bx218 y218 1 Cx28 y28 1Dy28 x2
5、8 1 B 等轴双曲线的一个焦点是 F1(6，0)，设等轴双曲线的标准方程为x2a2 y2a2 1，a0，且 a2a236，解得 a218故等轴双曲线的标准方程是x218 y218 1合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型4 类型 1 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质 【例 1】(对接教材人教 B 版 P145 例 1)求双曲线 9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程 解 将 9y24x236 变形为x29 y24 1，即x232 y222 1，a3，b2，c 13，因此顶点为 A1(3，0)，A2(3，0)，焦点坐标为 F1(13，0)，F
6、2(13，0)，实轴长是 2a6，虚轴长是 2b4，离心率 eca 133 ，渐近线方程 yba x23 x 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值(3)由 c2a2b2 求出 c 值，从而写出双曲线的几何性质 跟进训练 1求双曲线x23 y24 1 的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程 解 由题意知 a23，b24，所以 c2a2b2347，解得 a 3，b2，c 7 因此，双曲线的实轴长 2a2 3，虚轴长 2b4 顶点坐标为(3，0)，(3，0)，焦点坐标为(7，0)，(7，0
7、)离心率 eca 73 213 ，由于该双曲线的焦点在 x 轴上，所以渐近线方程为 yba x，即y2 33 x 类型 2 由双曲线的几何性质确定标准方程 【例 2】根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程(1)过点 P(3，2)，离心率 e 52 ；(2)与双曲线x29 y216 1 有共同的渐近线，且过点(3，2 3)解(1)依题意，双曲线的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，分别讨论如下：若双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为x2a2 y2b2 1(a0，b0)由 e 52 ，得c2a2 54 由点 P(3，2)在双曲线上，得 9a2 2b2 1 又 a2b2c2，结合，得 a
8、21，b214 双曲线的方程为 x2y214 1 若双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为y2a2 x2b2 1(a0，b0)同理有c2a2 54，2a2 9b2 1，a2b2c2，解得 b2172 (不合题意，舍去)故双曲线的焦点只能在 x 轴上，所求双曲线的方程为 x2y214 1(2)法一：双曲线x29 y216 1 的渐近线方程为 y43 x 当所求双曲线的焦点在 x 轴上时，设标准方程为x2a2 y2b2 1(a0，b0)，由题意，得ba43，9a212b21，解得 a294，b24 双曲线的方程为x294 y24 1 当所求双曲线的焦点在 y 轴上时，设标准方程为y2a2 x2
9、b2 1(a0，b0)，由题意可得ab43，12a2 9b21，此方程组无解，所求双曲线的方程为x294 y24 1 法二：所求双曲线与双曲线x29 y216 1 有共同的渐近线 设所求双曲线的方程为x29 y216(0)将点(3，2 3)代入，得99 1216，即 14，双曲线的方程为x29 y216 14，即为x294 y24 1 求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x2a2y2b2(0)，这样可避免分类讨论，从而
10、减少运算量，提高解题速度与准确性 拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2y2b21(a0，b0)(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2x2b21(a0，b0)(3)与双曲线x2a2y2b21 共焦点的双曲线方程可设为 x2a2 y2b21(0，b2a2)(4)与双曲线x2a2y2b21 具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2y2b2(0)(5)渐近线为 ykx 的双曲线方程可设为 k2x2y2(0)(6)渐近线为 axby0 的双曲线方程可设为 a2x2b2y2(0)跟进训练 2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦
11、点为(0，13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为 y12x，且经过点 A(2，3)解(1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c13，又ca135，a5，b2c2a2144，故其标准方程为y225 x21441(2)双曲线的渐近线方程为 y12x，若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则ba12 A(2，3)在双曲线上，4a2 9b21 由联立，无解 若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)，则ab12 A(2，3)在双曲线上，9a2 4b21 由联立，解得 a28，b232 所求双曲线的标准方程为y28x
12、2321 类型 3 求双曲线的离心率 【例 3】已知 A，B 为双曲线 E 的左、右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，求 E 的离心率 解 设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，如图所示，|AB|BM|，ABM120，过点 M 作 MNx 轴，垂足为 N，在 RtBMN中，|BN|a，|MN|3a，故点 M 的坐标为 M(2a，3a)，代入双曲线方程得 a2b2，所以 e 2 (变换条件)设 F1，F2 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，若 PF1PF2 且PF1F230，求离心率 解 在直角三角形 PF1F2 中，由题设可知：
13、|F1F2|2c，|PF2|c，|PF1|3c，又|PF1|PF2|2a，所以 2a 3cc，eca231 31 因为 eca，c a2b2，所以 e a2b2a又ba e21，所以b2a2(e21)因此，在双曲线的四个参数 a，b，c，e 中，只要知道其中两个，便可以求出其他两个跟进训练 3已知双曲线的渐近线方程是 y4x，则其离心率为_ 17或 174 若双曲线焦点在 x 轴上，依题意得，ba4，b2a216，即c2a2a216，e217，e 17 若双曲线焦点在 y 轴上，依题意得，ab4 ba14，b2a2 116，即c2a2a2 116 e21716，故 e 174，即双曲线的离心率
14、是 17或 174 类型 4 求双曲线的渐近线方程【例 4】如图，已知 F1，F2 为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P，且PF1F230，求双曲线的渐近线方程解 设 F2(c，0)(c0)，P(c，y0)，则c2a2y20b21，解得 y0b2a|PF2|b2a 在 RtPF2F1 中，PF1F230，则|PF1|2|PF2|由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a 由，得|PF2|2a|PF2|b2a，2ab2a，即 b22a2 ba 2 渐近线方程为 y 2x 1双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，双曲线y2a2
15、x2b21的渐近线方程为 yabx，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程2若已知渐近线方程为 mxny0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，可用下面的方法来解决：方法一：分两种情况设出方程进行讨论 方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程 m2x2n2y2(0)，求出 即可 显然方法二较好，避免了讨论 跟进训练 4双曲线 C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为 F1，F2，虚轴的一个端点为 A，若AF1F2 是顶角为 120的等腰三角形求双曲线 C 的渐近线方程 解 因为AF1F2 是顶点为 120的等腰三角形 所以 c 3
16、b，所以 c23b2，即 a2b23b2，a22b2，解得ba 22，或ab 2 所以双曲线的渐近线方程为 y 2x 或 y 22 x 当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1若 0ka，则双曲线x2a2k2y2b2k21 与x2a2y2b21 有()A相同的实轴 B相同的虚轴 C相同的焦点D相同的渐近线 C 0ka，a2k20 c2(a2k2)(b2k2)a2b2 1 3 5 2 4 2中心在原点，实轴长为 10，虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是()Ax225y291Bx225y291 或y225x291 C x2100y2361D x2100y236或 y2100 x2361 1
17、3 5 2 4 B 实轴长为 10，虚轴长为 6，所以 a5，b3 当焦点在 x 轴上时，方程为x225y291；当焦点在 y 轴上时，方程为y225x291 1 3 5 2 4 3已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程是 y 33 x，则双曲线的离心率为()A32B2 33 C 74D 55 1 3 5 2 4 B 由双曲线的渐近线方程是 y 33 x 知ba 33，所以 b 33 a，所以 c2a2b2a213a243a2，所以 e2c2a243，所以 e2 33 故选B 1 3 5 2 4 4已知双曲线的渐近线方程为 yx2，虚轴长为 4，则该双曲线的标准方程是_ 1 3
18、 5 2 4 x216y241 或 y2x241 若双曲线的焦点在 x 轴上，则ba12，2b4，解得 b2，a4，所以此时双曲线的标准方程为x216y241；若双曲线的焦点在 y 轴上，则ab12，2b4，解得 b2，a1，所以此时双曲线的标准方程为 y2x241综上可知，该双曲线的标准方程是x216y241 或 y2x241 1 3 5 2 4 5已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线方程为 y 33 x，若顶点到渐近线的距离为 1，则双曲线方程为_ 1 3 5 2 4 x2434y21 双曲线右顶点为(a，0)，一条渐近线为 x 3y0，1a13a2 a2，又ba 33，
19、b2 33，双曲线方程为x2434y21 回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何用几何图形解释 c2a2b2？a，b，c 在双曲线中分别表示哪些线段的长？提示 由于 c2a2b2，则 a，b，c 就是图中RtOAB 的三边长，其中 a 为半实轴长，b 为半虚轴长，c a2b2这从另一个角度反映了参数 a，b，c的几何意义 2双曲线的渐近线确定时，其标准方程能确定吗？提示 不能，每条双曲线对应唯一一组渐近线，但当渐近线确定时，它对应无数条双曲线且焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上 3双曲线的焦点到渐近线的距离是否为定值？提示 是双曲线的焦点到渐近线的距离为 b 设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，一条渐近线为 ybax，即 bxay0，一个焦点为(c，0)，则焦点到渐近线的距离 d|bc|a2b2bcc b 此结论在解题时可直接应用 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
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