1、1.1 等腰三角形第一章 三角形的证明 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质 学习目标 1.回顾全等三角形的判定和性质;2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用 其解决基本的几何问题.(重点)导入新课情境引入 问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?斜拉桥梁 埃及金字塔 体育观看台架 问题2：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理?七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”.思考：你能证明等腰三角形的“三线合一”吗？问题
2、3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？1.两点确定一条直线；2.两点之间线段最短；3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4.同位角相等，两直线平行；5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；8.三边分别相等的两个三角形全等.定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？弄清楚证明一个命题的一般步骤是解题的关键 证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论；(2)根据题意画出相应的图形；(
3、3)根据题设和结论写出已知和求证；(4)分析证明思路,写出证明过程.讲授新课全等三角形的判定和性质 一已知：如图,A=D,B=E,BC=EF.求证：ABCDEF.证明：A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于180），C=180(A+B)，F=180(D+E).A=D,B=E（已知），C=F（等量代换）.BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）.FEDCBA总结归纳 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等.问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?推论:等腰三角形顶角的
4、平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?定理:等腰三角形的两个底角相等.等腰三角形的性质及其推论 二问题引入 等腰三角形的两个底角相等.ABC已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C.思考：如何构造两个全等的三角形？定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.如何证明两个角相等呢？可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证 议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？已知：如图，在ABC中，AB=A
5、C.求证：B=C.ABCD证明：作底边的中线AD，则BD=CD.AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共边)，BAD CAD(SSS).B=C(全等三角形的对应角相等).在BAD和CAD中方法一：作底边上的中线还有其他的证法吗？已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.ABCD证明：作顶角的平分线AD，则BAD=CAD.AB=AC(已知),BAD=CAD(已作),AD=AD(公共边),BAD CAD(SAS).B=C(全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在BAD和CAD中想一想：由BAD CAD，除了可以得到B=C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？
6、和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？解：BAD CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC，BAD=CAD.又 ADB+ADC=180，ADB=ADC=90，即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线.ABCD定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB如图,在ABC中,AB=AC(已知),B=C(等边对等角).证明后的结论,以后可以直接运用.总结归纳 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.ACBD1 2AB=AC,1=2(已知)，BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）.AB=AC,BD=C
7、D(已知)，1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）.AB=AC,ADBC(已知)，BD=CD,1=2（等腰三角形三线合一）.综上可得：如图,在ABC中,ABCD 例1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.典例精析 分析：（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？A=ABD,C=BDC=ABC；ABC,ABD,BCD.ABCDx2x2x（3）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C呢？BDC=A+ABD=2 A=2 ABD,ABC=BDC=2 A,C=BDC=2 A.（4）设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来.A+A
8、BC+C=180，x+2x+2x=180,ABCD解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180 ，解得x=36，在ABC中，A=36，ABC=C=72.x2x2x 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.归纳 例2 如图，点D、E在ABC的边BC上，ABAC.(1)若ADAE，求证：BDCE；(2)若BDCE，F为DE的中点，如图，求证：AFBC.解析：(1)过A作AGBC于G，根据等腰三角形的性质得
9、出BGCG，DGEG即可证明；(2)先证BFCF，再根据等腰三角形的性质证明图图ABD G ECABDECF证明：(1)如图，过A作AGBC于G.ABAC，ADAE，BGCG，DGEG，BGDGCGEG，BDCE；(2)BDCE，F为DE的中点，BDDFCEEF，BFCF.ABAC，AFBC.图图ABD G ECABDECF当堂练习1.如图，已知ABAE，BADCAE，要使ABC AED，还需添加一个条件，这个条件可以是_CD（答案不唯一）2.(1)等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_；(2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为 _；(3)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_.75,3072,72或36,10830,30结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.顶角+2底角=180 顶角=1802底角 底角=（180顶角）20顶角1800底角90 课堂小结等 腰三 角形 的性 质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.全等三角形的对应边相等，对应角相等.