1、1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 第一章 空间向量与立体几何 学 习 任 务核 心 素 养 1.了解空间向量、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、相等向量、平行向量、共面向量等概念(重点)2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律(重点、易混点)3.掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律(重点、易错点)1.通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养.2.借助于空间向量的线性运算，提升数学运算素养.3.借助于空间向量的数量积，提升数学运算及逻辑推理的数学素养.情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 国庆节期
2、间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图 2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？图 1 图 2知识点 1 空间向量(1)定义：空间中既有_又有_的量称为空间向量(2)模(或长度)：向量的_(3)表示方法：几何表示法：可以用_来直观的表示向量，如始点为 A终点为 B 的向量，记为AB，模为|AB|.字母表示法：可以用字母 a，b，c，表示，模为|a|，|b|，|c|，.大小方向大小有向线段1.思考辨析(正确的打“”，
3、错误的打“”)(1)空间向量就是空间中的一条有向线段()(2)任意两个空间向量可以比较大小()答案(1)(2)知识点 2 几类特殊的向量(1)零向量：_和_相同的向量称为零向量，记作 0.(2)单位向量：模等于_的向量称为单位向量(3)相等向量：大小_、方向_的向量称为相等向量(4)相反向量：方向_，大小_的向量称为相反向量 始点终点1相等相同相反相等(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相_，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线_或重合通常规定零向量与任意向量平行两个向量平行也称为两个向量_(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在_内
4、，则称这些向量共面 平行平行共线同一平面1.空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？提示 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面 2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个相反向量的和为零向量()(2)只有零向量的模等于 0.()(3)空间中任意两个单位向量必相等()答案(1)(2)(3)提示 大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等 知识点 3 空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算 图 1 图 2(1)如图 1，O
5、B OA ABab，CAOA OC ab.(2)如图 2，DA DC DD1 DB1.即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有_所表示的向量 共同始点的体对角线(3)给定一个实数 与任意一个空间向量 a，则实数 与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作 a.其中：当 0 且 a0 时，a 的模为，而且 a 的方向：()当 0 时，与 a 的方向_；()当 0 时，与 a 的方向_ 当 0 或 a0 时，a.相同相反0|a|(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数 与，向量 a 与 b，有aa()a；(ab)ab.3.(多选题)在正方体 ABCD-A1
6、B1C1D1 中，下列各式中运算结果为AC1 的是()AABBCCC1 BAA1 B1C1 D1C1 CAD ABDD1DAA1 DC B1C1 ABCD 根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：对于 A，ABBCCC1 ACCC1 AC1；对于 B，AA1 B1C1 D1C1 AD1 D1C1 AC1；对于 C，AD ABDD1 ACDD1 AC CC1 AC1；对于 D，AA1 DC B1C1 AB1 B1C1 AC1.故选ABCD 知识点 4 空间向量的数量积(1)空间向量的夹角如果a，b2，那么向量 a 与 b_，记作.垂直ab对空间两个向量夹角的理解，应注意以下几点：
7、(1)由概念知两个非零向量才有夹角，零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定 0 与任意向量 a 都垂直(2)对空间任意两个非零向量 a，b，有：a，bb，aa，bb，a；a，ba，ba，b；AB，ACBA，CAAB，CA(2)空间向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫作 a，b 的数量积(或内积)，记作 ab.2.空间向量的数量积的运算符号“”能省略吗？能写成“”吗？提示 不能(3)数量积的几何意义 向量的投影 如图所示，过向量 a 的始点和终点分别向 b 所在的直线作垂线，即可得到向量 a 在向量 b 上的投影 a.数量积的几何意义：a 与 b 的数量积等于
8、 a 在 b 上的投影 a的数量与 b 的长度的乘积，特别地，a 与单位向量 e 的数量积等于 a在 e 上的投影 a的数量规定零向量与任意向量的数量积为 0.(4)空间向量的数量积的性质 abab0；aa|a|2a2；|ab|a|b|；(a)b(ab)；abba(交换律)；(ab)cacbc(分配律)(1)两个向量的数量积是一个实数，而不是向量，其符号由夹角 的余弦值的符号决定当 为锐角时，ab0，但当 ab0时，不一定是锐角，因为 也可能为 0；当 为钝角时，ab0，但当 ab0 时，不一定是钝角，因为 也可能为.(2)数量积运算不满足消去律 若 a，b，c(b0)为实数，则 abbcac
9、；但对于向量，就不成立，即 abbcac，由图可以看出(3)数量积运算不满足结合律 数量积运算只满足交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(ab)c 不一定等于 a(bc)这是由于(ab)c 表示一个与c 共线的向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线(4)在求两个复杂向量的数量积时，根据向量数量积满足的运算律，可按多项式的乘法公式展开运算常用的变形公式有(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2.(5)对于任意一个非零向量 a，我们把 a|a|称为向量 a 的单位向量，记作 a0，a0 与 a 方向相同(6)
10、当 a0 时，由 ab0 不能推出 b 一定是零向量，这是因为对于任意一个与 a 垂直的非零向量 b，都有 ab0.4.(1)如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，则 AB，A1C1 _；AB，C1A1 _；AB，A1D1 _.(2)下列命题中正确的是()A(ab)2a2b2 B|ab|a|b|C(ab)ca(bc)D若 a(bc)，则 abac0(1)45 135 90(2)B(1)因为A1C1 AC，所以AB，A1C1 AB，AC 又CAB45，所以AB，A1C1 45.AB，C1A1 180AB，A1C1 135.AB，A1D1 90.(2)对于 A 项，左边|a|2|b|
11、2cos2a，b，右边|a|2|b|2，左边右边，故 A 错误 对于 C 项，数量积不满足结合律，C 错误 对于 D 项，a(bc)0，abac0，abac，但 ab 与 ac不一定等于零，故 D 错误 对于 B 项，ab|a|b|cosa，b，1cosa，b1，|ab|a|b|，故 B 正确 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 空间向量的概念及简单应用【例 1】(1)下列说法中正确的是 ()A若|a|b|，则 a，b 的长度相同，方向相同或相反 B若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律 D在四边形 ABCD 中，一定有ABAD AC(
12、2)如图所示，以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：试写出与AB是相等向量的所有向量；试写出AA1 的相反向量；若 ABAD2，AA11，求向量AC1 的模(1)B|a|b|，说明 a 与 b 模长相等，但方向不确定对于 a的相反向量 ba，故|a|b|，从而 B 正确只定义加法具有结合律，减法不具有结合律一般的四边形不具有ABAD AC，只有平行四边形才能成立故 A、C、D 均不正确(2)解 与向量AB是相等向量的(除它自身之外)有A1B1，DC及D1C1，共 3 个 向量AA1 的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D.|AC1|AB|2|AD|2|
13、AA1|2 22212(9)3.1在空间中，向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量的相关概念完全一致2两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反 跟进训练 1给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的始点和终点分别相同；在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，必有ACA1C1；若空间向量 m，n，p 满足 mn，np，则 mp.其中不正确的个数是()A0 B1 C2 D3 B 两个空间向量相等，它们的始点、终点不一定相同，故不正确；在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，必有ACA1C1 成立，故正确；显然正确故选 B 2.在
14、平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列四对向量：AB与C1D1；AC1 与BD1；AD1 与C1B；A1D 与B1C.其中互为相反向量的有 n对，则 n 等于()A1 B2C3 D4 B 对于AB与C1D1，AD1 与C1B 长度相等，方向相反，互为相反向量；对于AC1 与BD1 长度相等，方向不相反；对于A1D 与B1C长度相等，方向相同故互为相反向量的有 2 对 类型 2 空间向量的线性运算【例 2】(1)如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，N 是 A1B 的中点，若CAa，CBb，CC1 c，则CN()A12(abc)B12(abc)Cab12cDa12(bc)(2)(对
15、接教材人教 B 版 P6 例 1)如图，已知长方体 ABCD-ABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量 AA CB；AA ABBC.(1)B 如图，取 AB 中点为 D，连接 DN.CN CD DN 12(abc)，故选 B(2)解 AA CBAA DA AA AD AD.AA ABBC(AA AB)BC AB BC AC.向量AD，AC 如图所示 1空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减运算时，务必要注意和向量、
16、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果 2利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质 跟进训练 3.如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，设AA1 a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MP NC1.解(1)P 是 C1D1 的中点，APAA1 A1D1 D1P aAD 12D1C1 ac12ABac12
17、b.(2)N 是 BC 的中点，A1N A1A ABBN ab12BCab12AD ab12c.(3)M 是 AA1 的中点，MP MA AP12A1A AP 12aac12b 12a12bc.又NC1 NC CC1 12BCAA1 12AD AA1 12ca，MP NC1 12a12bc a12c 32a12b32c.类型 3 数量积的运算及应用【例 3】如图所示，已知正四面体 OABC 的棱长为 1，点 E，F 分别是 OA，OC 的中点求下列向量的数量积：(1)OA OB；(2)EFCB；(3)(OA OB)(CACB)1空间两个向量夹角定义的要点是什么？提示(1)任意两个空间向量都是共
18、面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且a，bb，a 2联想空间向量数量积的定义，如何求两个向量 a，b 的夹角？如何求|ab|?提示 借助 cosa，b ab|a|b|，求向量 a，b 的夹角借助|ab|ab2 a22abb2求模 解(1)正四面体的棱长为 1，则|OA|OB|1.OAB 为等边三角形，AOB60，所以OA OB|OA|OB|cosOA，OB|OA|OB|cosAOB11cos 6012.(2)由于 E，F 分别是 OA，OC 的中点，所以 EF12AC，于是EFCB|EF|CB
19、|cosEF，CB 12|CA|CB|cosAC，CB 1211cosAC，CB 1211cos 12014.(3)(OA OB)(CACB)(OA OB)(OA OC OB OC)(OA OB)(OA OB 2OC)OA 2OA OB 2OA OC OB OA OB 22OB OC 1122121212121.1(变条件，变结论)若 H 为 BC 的中点，其他条件不变，求 EH的长 解 由题意知OH 12(OB OC)，OE 12OA，EH OH OE 12(OB OC OA)，|EH|214(OB2 OC 2OA 22OB OC 2OB OA 2OC OA)，又|OB|OC|OA|1，且O
20、B，OC 60，OB，OA 60，OC，OA 60，OB OC 12，OB OA 12，OC OA 12.|EH|214111212212212 12，即|EH|22，所以 EH 的长为 22.2(变结论)求异面直线 OH 与 BE 所成角的余弦值 解 在AOB 及BOC 中，易知 BEOH 32，又BE12OA OB，OH 12(OB OC)，BEOH 14OA OB 14OA OC 12OB 212OB OC 1412141212121212.cosBE，OH BEOH|BE|OH|23，又异面直线所成角的范围为0，2，故异面直线 OH 与 BE 所成角的余弦值为23.1在几何体中求空间向
21、量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式 ab|a|b|cosa，b求解 2非零向量 a 与 b 共线的条件是 ab|a|b|.提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向如本例中EF，CBAC，CB120，易错写成 60，为避免出错，应结合图形进行计算 当堂达标夯基础 NO.31对于空间任意两个非零向量 a，b，“ab”是“a，b0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 1 3 5 2 4 B
22、显然，a，b0ab.但 ab 包括向量 a，b 同向共线和反向共线两种情况，即当 ab 时，a，b0 或，因为 aba，b0，故“ab”是“a，b0”的必要不充分条件 2在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列各对向量夹角为 45的是()AAB与A1C1 BAB与CA CAB与A1D1DAB与B1A1 A A、B、C、D 四个选项中两个向量的夹角依次是 45，135，90，180，故选 A 1 3 5 2 4 3在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，若 E，F 分别是 BC，AD的中点，则AEAF等于()A0B12 C1D1 D AEAF12(ABAC)12AD 14(ABAD AC
23、AD)14(22)1.1 3 5 2 4 4化简：2AB2BC3CD 3DA AC_.0 2AB2BC3CD 3DA AC 2(ABBCCD DA)CD DA AC 0(CAAC)000.1 3 5 2 4 5已知|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|_.22|ab|2a22abb21322ab192242，2ab46，|ab|2a22abb253046484.|ab|22.1 3 5 2 4 回顾本节内容，自我完成以下问题：1如何正确认识单位向量和零向量？提示 单位向量的长度为 1，方向任意零向量的方向是任意的，与任意向量平行，也与任意向量垂直，零向量与任意向量的数量积为 0.2两
24、个向量的数量积与数乘向量有何不同？提示 两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积，其结果是实数；数乘向量是一个数与一个向量的乘积，其结果仍是一个向量，如 0a0，而 0a0.3空间向量的数量积运算中哪些性质与实数运算相同？哪些性质与实数运算不同？提示 在空间向量的数量积中，有：abba；a(bc)abac；(a)b(ab)a(b)；a2b2(ab)(ab)；(ab)2a22abb2；(ab)2a22abb2.这些性质与实数运算是类似的 在空间向量的数量积中：若 abac 且 a0，不能得到 bc，即数量积等式两边不能同时除以一个向量；(ab)ca(bc)，即向量的数量积不满足结合律；由 ab0，不能得到 a0 或 b0；由 abk，不能得到 akb或 bka，即向量不能进行除法运算以上这些性质与实数运算是不一样的 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!