1、2.3.1-2平面向量基本定理与正交分解及坐标表示-学案一、学习目标（1）正确理解平面向量基本定理；（2）会确定基底，会对向量进行正交分解；（3）正确理解平面向量的坐标的概念，并会加以表示二、自主学习 1基础预探（1）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得a=_把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_（2）已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则AOB=（0180）叫做向量的_当=0时，a与b_；当=180时，a与b_；如果a与b的夹角为90，则a与b _，记作_（3）把一个向量分解为两个互相
2、垂直的向量，叫做把向量_（4）在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=_这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，把有序实数对（x，y）叫做向量a的_，记作a=_，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标三、合作探究 探究1：概念问题例1设O是平行四边形ABCD的两对角线AC、BD的交点，下列向量组：与；与；与；与其中可作为这个平行四边形所在平面表示它们的所有向量基底的是（ ）A B C D思路导析：考查对平面向量基本定理的理解和掌握，注意作为基底的条件解析：与为不共线
3、向量，可以作为基底；与为不共线向量，可以作为基底；而与，与为共线向量，不能作为基底；故正确答案是：C点评：根据平面向量基本定理可知，作为基底的条件是两向量不共线探究2：参数问题例2已知向量、是平面内所有向量的一组基底，且=+，=32，=2+3，若 =+（、R），试求、的值思路导析：将=+与=32代入=+后，可用基底、表示，再将所得的表达式与条件=2+3加以对照可得有关、的方程组，解方程组即可求得所要求的、的值解析：将=+与=32代入=+得：=（+）+（32）=（+3）+（2），又由于=2+3，且向量、是平面内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组：，解之得点评：平面向量基
4、本定理中的唯一性是建立有关参数的表达式的理论依据探究3：分解问题例3如图，已知D为ABC的边BC上的中点，E为中线AD的中点，BE延长线交AC于F，求证：=，=思路导析：可以利用向量法证明，由于与共线，与也共线，所以可以设=，=，然后通过相关的运算求得对应的与的值，即可得证得相关的结论证明：设=，=，=，=（、R），则=+=+=，而=（+）=+，=（+）=（+）=（+）+=+=，所以=（）=（）+，由于、不共线，根据平面向量基本定理的唯一性可知，解得，所以=，=点评：使本例获证的关键有两点：一是从两个不同角度分别得到用、表示的的表达式，二是根据、是两个不共线的向量，可以用为一组基底得到有关参数
5、的二元一次方程组特别在解答有关分解问题时，选择基底要从具体问题的特点出发，如果盲目选择基底，可能会造成比较大的运算量，实际操作时要加以适当探索后再设基底探究4：共线问题例4已知向量、不共线，（1）若=+，=2+8，=3（），则A、B、D三点是否共线？（2）是否存在实数k，使k+与k共线？思路导析：要判断三点是否共线，只要判断有公共点的两个向量共线即可，即两个向量满足向量共线定理而判断是否共线，只要结合相关的定理加以判断即可证明：（1）因为=+，=+=5+5=5（+）=5，所以/，即与共线，又由于与有公共点B，所以A、B、D三点共线；（2）假设存在实数k，使k+与k共线，则由向量共线定理，存在实
6、数，使k=（k+），即（k1）+（+k）=，由于向量、不共线，则，即k2=1，所以k无实数解，所以不存在实数k，使k+与k共线点评：平面向量基本定理与向量共线定理等相关知识往往加以综合应用，用来解决和处理一些与共线有关的向量问题，关键是应用时要对相关的向量加以线性组合或其他相关变形四、学以致用 练习1：下列三种说法：一个平面内只有一对不共线向量可作为向量表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数对不共线向量可作为向量表示该平面所有向量的基底；零向量不能作为基底中的向量其中正确说法的个数有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个练习2：已知向量与不共线，实数x、y满足等式，求x、y的值练习3：如图，
7、已知平行四边形OACB中，B= B，OD与BA相交于点E求证：B=B练习4：已知向量a=2e13e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e19e2.问是否存在这样的实数、，使向量d=a+b与c共线?五、自主合作1在ABC中，点D在BC边上，且=3，则等于（ ）A（+2） B（+2）C（+3） D（+2）2已知e1、e2是不共线的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，则a与b共线的等价条件是实数k等于（ ）A0B1C2D13如果、是平面所有向量的一组基底，那么（ ）A若实数m、n使得，则m=n=0B平面任一向量可以表示为，其中、为实数C对于实数m、n，不一定在此平面上D对于
8、平面内的某一向量，存在两对以上实数m、n，使4在ABC中，Aa，Ab，若点D满足BD，则用a，b表示A的结果为_5设e1、e2是不共线的向量，若e1+2e2与2e1+3e2共线，则实数的值为_6已知l1、l2是不共线向量，且a=l1+3l2，b=4l1+2l2，c=3l1+12l2，若b、c为一组基底，求向量a 参考答案1A；解析：=+=+=+（）=（+2）；2D；解析：a与b共线存在实数m，使a=mb，即e1+ke2=mke1+me2，又e1、e2不共线，k=1；3A；解析：A中，时，m=n=0；B中，必须强调有且只有一对实数、；C中，对于实数m、n，一定在此平面上；D中，只有一对实数m、n，使；4a+b；解析：由于A=A+B=A+（AA）=a+（ba）=a+b；5；解析：由题知e1+2e2=m（2e1+3e2），可得，把m=代入2=3m得2=，解得=；6解析：设a=1b+2c，即l1+3l2=1（4l1+2l2）+2（3l1+12l2），即l1+3l2=（4132）l1+（21+122）l2， 解得1=，2=，故a=b+c