1、2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 第二章 平面解析几何 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题(重点)2掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程(重点)3理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)1通过对双曲线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象素养 2借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养 情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率 e 有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见如发电厂的
2、冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容 知识点 1 双曲线的定义 一般地，如果 F1，F2 是平面内的两个定点，a 是一个_，且2a|F1F2|，则平面上满足|PF1|PF2|2a 的动点 P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点 F1，F2 称为双曲线的_，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的_得到，因此双曲线是一种圆锥曲线 正常数焦点圆锥面1双曲线的定义中，若 2a|F1F2|，则点 P 的轨迹是
3、什么？2a|F1F2|呢？提示 若 2a|F1F2|，点 P 的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线；若 2a|F1F2|，点 P 的轨迹不存在 2定义中若常数为 0，则点 P 的轨迹是什么？提示 此时点 P 的轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线 1(1)已知定点 F1(2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹中为双曲线的是()A|PF1|PF2|3 B|PF1|PF2|4 C|PF1|PF2|5D|PF1|2|PF2|24(2)动点 P 到点 M(1，0)及点 N(5，0)的距离之差为 2a，则当 a1 和 a2 时，点 P 的轨迹分别是()A双曲线和一条直线 B双
4、曲线和一条射线 C双曲线的一支和一条射线 D双曲线的一支和一条直线(1)A(2)C(1)当|PF1|PF2|3 时，|PF1|PF2|3|F1F2|4，满足双曲线的定义，所以 P 点的轨迹是双曲线(2)由题意，知|MN|4，当 a1 时，|PM|PN|2a24，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a2时，|PM|PN|2a4|MN|，点 P 的轨迹为以 N 为端点沿 x 轴向右的一条射线 知识点 2 双曲线的标准方程 焦点所在 的坐标轴x 轴y 轴 标准方程x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2 1(a0，b0)焦点所在 的坐标轴x 轴y 轴 图形 焦点坐标(c，0)，(c，0)(
5、0，c)，(0，c)a，b，c 的关系式c2_ a2b23双曲线中 a，b，c 的关系如何？与椭圆中 a，b，c 的关系有何不同？提示 双曲线标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里 b2c2a2，即 c2a2b2，其中 ca，cb，a 与 b 的大小关系不确定；而在椭圆中 b2a2c2，即 a2b2c2，其中 ab0，ac，c 与 b 的大小关系不确定 4如何确定双曲线标准方程的类型？提示 焦点 F1，F2 的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若 x2 的系数为正，则焦点在 x 轴上，若 y2 的系数为正，则焦点在 y 轴上 2
6、(1)双曲线x215 y21 的焦距为()A4 B8 C 14 D2 14 (2)点 P 到两定点 F1(2，0)，F2(2，0)的距离之差的绝对值为 2，则点 P 的轨迹方程为_(1)B(2)x2y23 1(1)a215，b21，c2a2b216，c4，2c8(2)因为|F1F2|42c，所以 c2又 2a2，a1，故 b2c2a23，所以点 P 的轨迹方程为 x2y23 1合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 双曲线定义的应用 【例 1】已知 F1，F2 分别是双曲线x29 y216 1 的左、右焦点，若 P 是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32试求F1PF2
7、的面积 解 由x29 y216 1 得 a3，b4，c5 由双曲线定义及 P 是双曲线左支上的点得|PF1|PF2|6，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，又|PF1|PF2|32，|PF1|2|PF2|2100，由余弦定理得 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|0，F1PF290，SF1PF212|PF1|PF2|16 1(变换条件)若本例中的标准方程不变，点 P 是双曲线上的一点，且PF1 PF2 0，求PF1F2 的面积 解 因为PF1 PF2 0，所以PF1 PF2，不妨设点 P 在右支上，所以有|PF1|2|PF2|24c2100，
8、|PF1|PF2|2a6，解得|PF1|PF2|32，所以 SPF1F212|PF1|PF2|16 2 (变 换 条 件)若 把 本 例 条 件“|PF1|PF2|32”换 成“|PF1|PF2|25”，其他条件不变，试求F1PF2 的面积 解 由x29 y216 1 得 a3，b4，c5，由|PF1|PF2|25，可设|PF1|2k，|PF2|5k 由|PF2|PF1|6 可得 k2，|PF1|4，|PF2|10，由余弦定理得 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|161001002410 15，sinF1PF22 65 ，SF1PF212|PF1|PF2
9、|sinF1PF212 4102 65 8 6 求双曲线中的焦点三角形面积的方法(1)利用公式 SF1PF212|PF1|PF2|sinF1PF2 求面积(2)当焦点在 x 轴上时，利用公式 SF1PF212|F1F2|yP|(yP 表示点P 的纵坐标)当焦点在 y 轴上时，利用公式 SF1PF212|F1F2|xP|(xP 表示点 P的横坐标)重要结论：若F1PF2，则 SF1PF2 b2sin 1cos b2tan2 跟进训练 1如图，已知双曲线的方程为x2a2 y2b2 1(a0，b0)，点 A，B 均在双曲线的右支上，线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2，|AB|m，F1 为双曲线的左
10、焦点，则ABF1 的周长为_4a2m 由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a 又|AF2|BF2|AB|，所以ABF1 的周长为|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m 类型 2 求双曲线的标准方程【例 2】(对接教材人教 B 版 P139 例 1)求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)一个焦点是(0，6)，经过点 A(5，6)；(2)经过点 P12，3 52 和 P2(4 73 ，4)两点 解(1)由已知 c6，且焦点在 y 轴上，另一个焦点为(0，6)，由双曲线定义 2a|502662 502662|8，a4，b2c2a220 所以所求双曲线的标准方程为y2
11、16 x220 1(2)法一：当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为x2a2 y2b2 1(a0，b0)P1，P2 在双曲线上，22a23 522b21，4 732a242b21，解得 1a2 116，1b219，(不合题意舍去)当焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为y2a2 x2b2 1(a0，b0)将 P1，P2 的坐标代入上式得3 522a222b21，42a24 732b21，解得 1a219，1b2 116，即 a29，b216 所求双曲线方程为y29 x216 1 法二：双曲线的位置不确定，设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)，4m454 n1，169 7m16n1，解得
12、m 116，n19，所求双曲线的标准方程为y29 x216 1 1求双曲线标准方程的两个关注点2待定系数法求双曲线标准方程的 4 个步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能(2)设方程：根据焦点位置，设其方程为x2a2 y2b2 1 或y2a2 x2b2 1(a0，b0)，焦点位置不定时，亦可设为 mx2ny21(mn0)(3)寻关系：根据已知条件列出关于 a，b，c(m，n)的方程组(4)得方程：解方程组，将 a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程 提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式 跟进训练 2根据条件求双曲线的标准方程
13、(1)a2 5，经过点 A(2，5)，焦点在 y 轴上；(2)与椭圆x225 y25 1 共焦点且过点(3 2，2)解(1)双曲线的焦点在 y 轴上，可设双曲线的标准方程为y2a2 x2b2 1(a0，b0)，由题设知，a2 5，且点 A(2，5)在双曲线上，a2 5，25a2 4b21，解得 a220，b216，所求双曲线的标准方程为y220 x216 1(2)椭圆x225 y25 1 的焦点坐标为(2 5，0)，(2 5，0)依题意，则所求双曲线焦点在 x 轴上，可以设双曲线的标准方程为x2a2 y2b2 1(a0，b0)，则 a2b220 又双曲线过点(3 2，2)，18a2 2b2 1
14、 a2202 10，b22 10 所求双曲线的标准方程为x2202 10 y22 10 1 类型 3 与双曲线有关的轨迹问题【例 3】在周长为 48 的 RtMPN 中，MPN90，tanPMN34，求以 M，N 为焦点，且过点 P 的双曲线方程 解 因为MPN 的周长为 48，且 tanPMN34，故设|PN|3k，|PM|4k则|MN|5k，由 3k4k5k48 得 k4所以|PN|12，|PM|16，|MN|20 以 MN 所在的直线为 x 轴，以 MN 的中点为原点建立直角坐标系，如图所示 设所求双曲线方程为x2a2 y2b2 1(a0，b0)，由|PM|PN|4 得 2a4，a2，a
15、24，由|MN|20 得 2c20，c10，所以 b2c2a296 故所求双曲线方程为x24 y296 1 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有2种：1列出等量关系，化简得到方程；2寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程.求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：1双曲线的焦点所在的坐标轴；2检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；3求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上.跟进训练 3如图所示，已知定圆 F1：(x5)2y21，定圆 F2：(x5)2y242，动圆 M 与定圆 F1，F2 都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程 解 圆 F1：(x5)2y21，圆心 F1
16、(5，0)，半径 r11；圆 F2：(x5)2y242，圆心 F2(5，0)，半径 r24 设动圆 M 的半径为 R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线的左支，且 a32，c5，于是 b2c2a2914 动圆圆心 M 的轨迹方程为x294 y2914 1x32 当堂达标夯基础 NO.31 3 2 4 1“ab0”是“方程 ax2by2c 表示双曲线”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 A 当方程表示双曲线时，一定有 ab0，反之，当 ab0 时，若c0，则方程不表示双曲线
17、 1 3 2 4 2若方程 x2m1 y2m24 3 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 m的取值范围是()A(1，2)B(2，)C(，2)D(2，2)C 由题意，方程可化为y2m24 x21m 3，m240，1m0，解得 m2 1 3 2 4 3若点 M 在双曲线x216 y24 1 上，双曲线的焦点为 F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则|MF2|等于()A2 B4C8 D12 B 双曲线中 a216，a4，2a8，由双曲线定义知|MF1|MF2|8，又|MF1|3|MF2|，所以 3|MF2|MF2|8，解得|MF2|4 1 3 2 4 4已知双曲线的两个焦点分别为 F1(5，0)，F
18、2(5，0)，P是双曲线上的一点且 PF1PF2，|PF1|PF2|2，则双曲线的标准方程为_ 1 3 2 4 x24y21 设|PF1|m，|PF2|n(m0，n0)，在 RtPF1F2中，m2n2(2c)220，mn2，由双曲线的定义知|mn|2m2n22mn164a2，所以 a24，b2c2a21，双曲线的标准方程为x24 y21 回顾本节知识，自我完成以下问题：1双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值？提示 不加绝对值，图像只为双曲线的一支设 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，若|MF1|MF2|2a，则点 M 在右支上，若|MF2|MF1|2a，则点 M 在左支上 2若点 M 在双曲线上，一定有|MF1|MF2|2a 吗？提示 一定若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点 M的轨迹为双曲线，反之一定成立 3双曲线与椭圆中，a，b，c 满足的关系式相同吗？提示 不相同在双曲线的标准方程中，ab 不一定成立在椭圆中 a2b2c2，在双曲线中 c2a2b2 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!