1、一、填空题1.(2015成都诊断)已知直线l1：ax(3a)y10，l2：2xy0.若l1l2，则实数a的值为_.解析依题意得，解得a1.答案12.已知圆C经过A(5，2)，B(1，4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是_.解析设圆心坐标为C(a，0)，则ACBC，即，解得a1，所以半径r2，所以圆C的方程是(x1)2y220.答案(x1)2y2203.(2016南通调研)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y28x上横坐标为1的点到其焦点的距离为_.解析抛物线y28x的准线方程为x2，所以该抛物线上横坐标为1的点到准线的距离为3，即到焦点的距离为3.答案34.(2016日照一模)若P(2，1)为
2、圆(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是_.解析圆的圆心为C(1，0).由圆的性质知，直线PC垂直于弦AB所在的直线，则kAB1.又由直线的点斜式方程得直线AB的方程为y(1)x2，即xy30.答案xy305.(2015济南模拟)已知直线3x4ya0与圆x24xy22y10相切，则实数a的值为_.解析圆的标准方程为(x2)2(y1)24，由直线3x4ya0与圆(x2)2(y1)24相切得圆心(2，1)到直线的距离d等于半径，所以d2，解得a12或8.答案12或86.(2016南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x，且它的一个顶点与抛物
3、线y24x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为_.解析抛物线y24x的焦点坐标是(1，0)，即双曲线的一个顶点坐标是(1，0)，设双曲线方程是1(a0，b0)，则a1，又，因此c2，b，故其渐近线方程是yx.答案yx7.若直线axbyab(a0，b0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为_.解析依题意得1，ab(ab)24，当且仅当ab2时取等号，因此ab的最小值是4，即该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值是4.答案48.(2015宿迁检测)已知双曲线S与椭圆1的焦点相同，如果yx是双曲线S的一条渐近线，那么双曲线S的方程为_.解析由题意可得双曲线S的焦点坐标是(0，5
4、).又yx是双曲线S的一条渐近线，所以c5，a2b2c2，解得a3，b4，所以双曲线S的标准方程为1.答案19.(2015南京外国语学校、金陵中学联考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x)2(ya)21(a0)上存在一点P到直线l：y2x6的距离等于1，则实数a的值为_.解析由题意可得圆心C到直线l：y2x6的距离小于等于，即，a265，即(1)20，解得a1，经检验，a1符合题意.答案110.(2015开封二模)已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C1，C2的离心率分别为_.解析eea22b2e1，e2.答案，11.(2015宿迁模拟)已知
5、双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若PF1F230，则该双曲线的离心率为_.解析由题意可得PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形.又PF1F230，F1F22c，所以PF1c，PF2c，由双曲线定义可得e1.答案112.(2016扬州调研)在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2y22(x0)上一点，直线OA的倾斜角为45，过A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程为_.解析由可得A(1，1).所以H(1，0)，过H且平行于OA的直线方程为yx1，与x2y22，x0联立解得B，所以AB的
6、斜率是，所以直线AB的方程为y1(x1)，即xy10.答案xy1013.(2016石家庄一模)已知抛物线y22px(p0)的焦点F恰好是双曲线1(a0，b0)的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为_.解析两条曲线的交点的连线过点F，两交点的横坐标为，则其中一交点为.代入双曲线方程得1.又c，化简得c46a2c2a40，解得e1.答案114.已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21相外切，则ab的最大值为_.解析由两圆相外切可得圆心(a，2)，(b，2)之间的距离等于两圆半径之和，即(ab)29a2b22ab4ab，所以ab，即ab的最大值是(当且仅
7、当ab时取等号).答案二、解答题15.(2016扬州调研) 如图，A，B，C是椭圆M：1(ab0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足ACBC，BC2AC.(1)求椭圆的离心率；(2)若y轴被ABC的外接圆所截得弦长为9，求椭圆的方程.解(1)因为BC过椭圆M的中心，所以BC2OC2OB，又ACBC，BC2AC，所以OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，则A(a，0)，C，B，ABa，所以1，则a23b2，所以c22b2，e.(2)ABC的外接圆圆心为AB中点，P，半径为a，则ABC的外接圆为a2.令x0，ya或y，所以a9，解得a6，所以所求的椭圆方程为1.16.(2
8、016唐山模拟) 已知圆O：x2y24，点A(，0)，以线段AB为直径的圆O1内切于圆O，记点B的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)当OB与圆O1相切时，求直线AB的方程.解(1)设切点为P，连接OO1，O1P，则OO1O1POP2，取A关于y轴的对称点A，连接AB，则ABAB2(OO1O1P)4.所以点B的轨迹是以A，A为焦点，长轴长为4的椭圆.其中，a2，c，b1，则曲线的方程为y21.(2) 因为OB与圆O1相切，所以.设B(x0，y0)，则x0(x0)y0.又y1，解得x0，y0.则kOB，kAB，则直线AB的方程为y(x)，即xy0或xy0.17.(2014北京卷)已知椭圆C：x22
9、y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点.若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值.解(1)由题意，知椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以AB2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4).因为4(0x4)，且当x4时等号成立，所以AB28.故线段AB长度的最小值为2.18.(2015石家庄一模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点
10、P到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：ykx与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解(1)设椭圆的半焦距为c，则由题设，得解得所以b2a2c2431，故所求椭圆C的方程为x21.(2)存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.理由如下：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l 的方程ykx代入x21，并整理，得(k24)x22kx10.(*)解得x1，2，则x1x2，x1x2.因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以0，即x1x2y1y20.又y1y2k2x1
11、x2k(x1x2)3，所以(1k2)x1x2k(x1x2)30.于是30，解得k，经检验知：此时(*)式的0，符合题意.所以当k时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.19.(2015南京、盐城模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知过点的椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1，0)，过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点B的坐标为，试求直线PA的方程；(3)记M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，试问yMyN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
12、解(1)由题意，得2a4，即a2.又c1，所以b23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)因为B，所以P.又F(1，0)，所以kAB，所以直线AB的方程为y(x1).联立方程组解得A(0，).所以直线PA的方程为yx，即x4y40.(3)当直线AB的斜率k不存在时，易得yMyN9.当直线AB的斜率k存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x2，y2)，所以1，1，两式相减，得，所以kPAk，所以kPA.所以直线PA的方程为yy2(xx2)，所以yM(x24)y2y2.因为直线PB的方程为yx，所以yN.所以yMyN3.又因为1，所以4y123x，所以yMyN39，所以yMyN为定值9.
13、20.(2015苏北四市二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的焦距为2，且过点.(1)求椭圆E的方程；(2)若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M.设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；设过点M垂直于PB的直线为m.求证：直线m过定点，并求出定点的坐标.解(1)由题意得2c2，所以c1，又1，a2b21.消去a可得，2b45b230，解得b23或b2(舍去)，则a24，所以椭圆E的方程为1.(2)设P(x1，y1)(y10)，M(2，y0)，则k1，k2，因为A，P，M三点共线，所以y0，所以k1k2，因为P(x1，y1)在椭圆上，所以y(4x)，故k1k2为定值.直线BP的斜率为k2，直线m的斜率为km.则直线m的方程为yy0(x2)，y(x2)y0xxxx(x1)，即y(x1)，所以直线m过定点(1，0).