1、第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式(1)新知引入：赵爽弦图与不等式 abc)(222时等号成立当且仅当baabba推广 证明).(2,22时等号成立当且仅当有baabbaRba._,0,0baba则若引例,2)()(,)(,)(:2222abbababbaa析.,时等号成立即当且仅当babaab2abba2新知：基本不等式1.证明(分析法).,2,0,0时等号成立当且仅当则若baabbaba),0,0(2baabba要证,2 abba即证,02abba即证(*),0)(2 ba即证.,(*)时等号成立当且仅当式显然成立ba 分析法(执果索因),0)(,0,02 baba时.时等
2、号成立当且仅当ba,02abba即,2 abba即,2abba即.,2,0,0时等号成立当且仅当则若baabbaba新知：基本不等式2.结构及意义.,2,0,0时等号成立当且仅当则若baabbaba,2)1(的算术平均数称为baba.,的几何平均数为 baab(3)代数意义：两正数的算术平均数大于或等于几何平均数.几何意义：P45探究).0,(2:)2(baabba变形).0,(4)(2babaab积定和最小 和定积最大(求最值)DBOAC.,bBCaACABCO上一点是直径点中在圆.,BDADDOABCDC连接上半圆于点交圆作过._,CDOD则ab,2abCD.abCD.2,abbaCDOD
3、.,时等号成立即重合当且仅当baOC半径 半弦 新知：基本不等式2.结构及意义 几何意义：圆的半径大于或等于半弦；直角三角形的斜边上的中线大于或等于斜边上的高.,BCCDCDACDCBACD,线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中.2baOD新知：基本不等式3.理解巩固 练习1判断下列说法的正误.323,0)4(xxx则若时等号成立即仅当1,1xxx时不成立0,0ba.21,0)1(xxx则若;2,0,)2(abbaabRba则且时不成立但时成立0;0 xx.2,0,)3(baababRba则且若时等号成立即仅当babaab,._3,0的取值范围是则若xxx思考：例题讲解利用基本不等式求最值._
4、3,0的函数值的取值范围是则若变式xxyx,03,0,0:xxx时解.3,3时等号成立即当且仅当xxx.32)3(xx即.323xx.0),3(3:)(xxxxxy负化正关键.32)3)(2)3()(xxxx由基本不等式得32|yy小结：基本不等式 3.代数意义:两正数的算术平均数大于或等于几何平均数.).0,(2:.1baabba变形).0,(4)(2babaab.,2,0,0时等号成立当且仅当则若baabbaba积定(和最小)和定(积最大)a,b的算术平均数a,b的几何平均数).1(21,0:.2成立时则形如常见特例xxxx).(2,0成立时则形如baabbaab22ba ababbaRb
5、a2,22abbaba2,0,2)(222bababa 0)(2 ba0)(2 ba2.2 基本不等式（2）基本不等式的综合运用例题讲解利用基本不等式求最值._,0,31的最小值是则且若例yxyxxy._62,0,31的最小值是则且若变式yxyxxy3212,322:xyyx由基本不等式得析.3时等号成立当且仅当 yx,1236212262:xyyx由基本不等式得析.1,3,62时等号成立即当且仅当yxyx一正 二定 三相等 使用前提 检验等号 积定和最小?21,2:吗的最小值是则若思考xxx例题讲解利用基本不等式求最值._,0,42的最大值是则且若例xyyxyx4,2:xyyx由基本不等式得
6、解.2时等号成立当且仅当 yx一正 二定 三相等,2xy即,4xy._3,20521的最大值是则若变式xyyx,10252:xyyx由基本不等式得解,1010 xy即,10100 xy,10 xy.133xy.2,5,52时等号成立即当且仅当yxyx13._)35()5)(3(2的最大值是变式xxx4基本不等式法 二次函数法 暗含和定:(3-x)+(x+5)=8和定积最大(和定)例题讲解利用基本不等式求最值._)35()5)(3(2的最大值是变式xxx4求乘积最大值：基本不等式法 二次函数图象法 暗含和定：(3-x)+(x+5)=8._)10(的最大值是练习xx52baab暗含和定：x+(10
7、-x)=10._41,210101682的最大值是xxxP)41(41222xxxx构造和定：4x2+(1-4x2)=1)41(42122xx41212141._)33(,10228的最大值是xxxP构造和定：3x+(3-3x)=3归纳总结：基本不等式求最值的条件;,有最大值为定值时 abba.,有最小值为定值时baab一正：认清a,b且a,b均为正值二定：和定(积最大)、积定(和最小)三相等：当且仅当a=b时等号成立(取得最值)注求最值时三个条件缺一不可.4)(2baababba2例题讲解利用基本不等式求最值._31,34的最小值是则若例xxx331)3(31,03:xxxxx解5331)3
8、(2xx.4,313时等号成立即当且仅当xxx5._12,022的最小值是则若变式xxxx关键：凑项构造“积定”._3161122上的最小值是在变式Rxxy例题讲解利用基本不等式求最值._3161122上的最小值是在变式Rxxy,4416243163:22xxy由基本不等式得解.1,316322成立时即当且仅当仅当xxx4关键:凑项构造“积定”.12,121时等号成立即当且仅当xxx._12,022的最小值是则若变式xxxx1212)1(12:2xxxxxxxx解112)1(xx122122例题讲解利用基本不等式求最值._,3654,322的最大值是则满足若正数例xyxyyxyxxyyx5)4
9、(:22由基本不等式得解xyyx54222,936xy即,4xy.222,422时等号成立即当且仅当yxyx6)4)(4522yxyxyxyxxyxy422xy8.29,836xyxy即错解：错因：用两次基本不等式时，两个等号不同时成立.例题讲解利用基本不等式求最值._81,0,124的最小值是则且若例yxyxyx168828281.810,241,221,222:xyyxxyxyxyxyyx解是等号成立即当且仅当21,41,122yxyxyx时等号成立即当且仅当54,101,128yxyxyx错因：用两次基本不等式时，两个等号不同时成立。错解 例题讲解利用基本不等式求最值._81,0,124
10、的最小值是则且若例yxyxyx)81)(2(81:yxyxyx解1816210.32,61,16时等号成立即当且仅当yxxyyx1xyyx 1682关键:添1构造“积定”._81,0,321的最小值是则且若变式yxyxyx)81)(2(3181:yxyxyx析1)1682(31xyyx 6)16210(31186例题讲解利用基本不等式求最值._,0,2912的最小值是则且若变式yxyxyx)(91(21:yxyxyx析)991(21yxxy 8)9210(218._)2(_)1(,40,3的最小值是的最小值是且若变式yxxyxyyxyx1,424)1(:xyyx析,4 xyxy 即.16xy,
11、14)2(:xyyxyx析,114 xy即)(14(yxxyyx144xyyx9542169例题讲解利用基本不等式求最值._)2(_)1(,30,14168的最小值是的最小值是且若baababbabaP,323)1(:abba析,32abab,0)1)(3(abab即.9,3abab4)(3)2(:2baabba析12)(4)(2baba即,02)(6)(baba即.6,0,26babababa又或解得96?,18,305最大面积多少矩形菜园的面积最大少时该矩形的长、宽各为多墙长墙的矩形菜园的篱笆围成一个一边靠一段长为例mmxySyxyx面积则宽为设矩形的长为如图解,302,:.2225,22
12、302xyxyyx.152时等号成立当且仅当yx.m2225,m215,m152菜园取得最大面积时宽为当矩形的长为例题讲解基本不等式的实际应用 18xy)180(x设 列 求 结 变量 范围 已知 未知 作答 单位?,120,150,3,4800,63最低总造价是多少低怎样设计能使总造价最那么元池壁每平方米的造价为元为若池底每平方米的造价深为其容积为无盖贮水池某工厂要建一个长方形例mm例题讲解基本不等式的实际应用 3xy,m,m:元总造价为宽为为设池底相邻两边长分别解zyx)3232(120150yxxyz)(72024000yx xy272024000297600,1600,48003xyx
13、y即则.40时等号成立当且仅当 yx.297600,m40元总造价最低为的正方形时当池底是边长为)0,(yx例题讲解基本不等式的实际应用P48,m,m:元总造价为宽为分别为设房屋地面相邻两边长解zyx,48xy则58008002312003yxz580048003600yx5800)43(1200yx58001221200 xy634005800481221200.6,8,43时等号成立即当且仅当yxyx.00346,6mm8元总造价最低为时和分别为当房屋地面相邻两边长例题讲解基本不等式的实际应用 课后练习：.,2320,.1的最大值求且若abbaba.,11,.22的最小值求实数恒成立不等式若对任意正数axaxx思考：.31,10,.1的最大值且若bababa.9111:,1,.2cbacbacba求证为正数且若.41,20,.3的最小值求且若yyxxyxyx.9111:,1,.2cbacbacba求证为正数且若思考ccbabcbaacbacba111:解.31故得证时等号成立当且仅当cba“1”的整体代换)()()(3cbbccaacbaab22239)111)(111cbacbacba或P48练习的4、习题2.2的2课内作业 FIGHTING
