1、广东省东莞市南开实验学校2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案每题5分，满分50分）1（5分）已知复数z=12i，则z的共轭复数对应的点位于复平面的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）记函数f（x）=+ln（x1）的定义域为集合M，函数g（x）=x22x+1的值域为集合N，则MN=（）A2，3B1，2C（1，2D（，23（5分）将2014-2015学年高一9班参加社会实践编号为：1，2，3，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生
2、的编号是（）A12B16C17D184（5分）函数f（x）=xcos2x在区间0，2上的零点个数为（）A2B3C4D55（5分）在圆0中，长度为的弦AB不经过圆心，则的值为（）ABC1D6（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A2B1CD7（5分）已知数列an，若点（n，an）（nN*）均在直线y2=k（x6）上，则an的前11项和S11等于（）A18B20C22D248（5分）已知双曲线=1（a0）的一条渐近线与圆（x3）2+y2=8相交于M，N两点且|MN|=4，则此双曲线的离心率为（）ABCD59（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M（x，y
3、）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=的最大值为（）A4B3C4D310（5分）对于集合M，定义函数fM（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M*N=x|fM（x）fN（x）=1，已知A=2，4，6，B=1，2，4，则下列结论不正确的是（）A1A*BB2A*BC4A*BDA*B=B*A二、填空题：（本题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.）（一）必做题（1113题）11（5分）若=（2，3），=（4，7），则在方向上的投影为12（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S的值为13（5分）已知函数f（x）=在区间1，m上的最大值是2，则m的取值范围是(二)选做题（1415题，考
4、生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，设曲线C：（为参数），直线l：（cos+sin）=4点P为曲线C上的一动点，则P到直线l的距离最大时的极坐标为【几何证明选讲选做题】15如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B，E，F，C四点共圆，且DC=2，DB=1，则ABC外接圆的半径为三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）某商场搞促销抽奖活动，规则如下：箱内放有3枚白棋子和2枚黑棋子，顾
5、客从中取出2枚棋子，如果两位棋子都是黑棋子或者都是白棋子，则中奖奖励方法如下：若取出2枚黑棋子则中一等奖，奖励价值100元的商品；若取出2枚白棋子中则中二等奖，奖励价值50元的商品求（1）某人抽奖一次，中一等奖的概率；（2）某人抽奖一次，中奖的概率17（12分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x（1）求函数f（x）最大值和单调增区间；（2）已知ABC外接圆半径R=，f（）+f（+）=4sinAsinB，角A，B所对的边分别是a，b，求a+b的最小值18（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABBC，E，F分别是A1B，AC1的中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求证：平面AE
6、F平面AA1B1B；（3）若A1A=2AB=2BC=2a，求三棱锥FABC的体积19（14分）已知数列an的前n项和Sn=an2+bn，且a1=1，a2=3（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=，求数列bn的前n项和Tn，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m20（14分）已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A（2，0）到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为不过A点的动直线交椭圆O于P，Q两点（1）求椭圆的标准方程；（2）证明P，Q两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点 A，P，Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标21（14分）设aR，函数f（x）=lnx
7、ax（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若a，试判断函数f（x）在x（1，e2）的零点个数，并说明理由；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1x2e2广东省东莞市南开实验学校2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案每题5分，满分50分）1（5分）已知复数z=12i，则z的共轭复数对应的点位于复平面的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：利用共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出解答：解：复数z=12i
8、，z的共轭复数=1+2i对应的点（1，2）位于复平面的第一象限故选：A点评：本题考查了共轭复数的定义、复数的几何意义，属于基础题2（5分）记函数f（x）=+ln（x1）的定义域为集合M，函数g（x）=x22x+1的值域为集合N，则MN=（）A2，3B1，2C（1，2D（，2考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出f（x）的定义域确定出M，求出g（x）的值域确定出N，找出M与N的交集即可解答：解：由f（x）=+ln（x1），得到，解得：1x3，即M=（1，3；由g（x）=x22x+1=（x+1）2+22，得到N=（，2，则MN=（1，2故选：C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解
9、本题的关键3（5分）将2014-2015学年高一9班参加社会实践编号为：1，2，3，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是（）A12B16C17D18考点：系统抽样方法 专题：概率与统计分析：求出样本间隔，即可得到结论解答：解：抽取的样本间隔为484=12，则另外一名学生的编号为5+12=17，故选：C点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出抽取间隔是解决本题的关键4（5分）函数f（x）=xcos2x在区间0，2上的零点个数为（）A2B3C4D5考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题分析：考虑到函数y=
10、cos2x的零点一定也是函数f（x）的零点，故在区间0，2上y=cos2x的零点有4个函数y=x的零点有0，故在区间0，2上y=xcos2x的零点有5个解答：解：y=cos2x在0，2上有4个零点分别为，函数y=x的零点有0函数f（x）=xcos2x在区间0，2上有5个零点分别为0，故选D点评：本题主要考查了函数零点的意义和判断方法，三角函数的图象和性质，排除法解选择题，属基础题5（5分）在圆0中，长度为的弦AB不经过圆心，则的值为（）ABC1D考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：取AB的中点为C，可得OCAB，可得=（+）2=2+2，由数量积的运算可得解答：解：取AB的中点
11、为C，由圆的性质可得OCAB，=（+）2=2+2=2+0=1故选：C点评：本题考查平面向量数量积的运算以及向量的加减运算，同时考查转化的思想，属基础题6（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A2B1CD考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由题意可知图形的形状，求解即可解答：解：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为点评：本题考查立体图形三视图及体积公式，是基础题7（5分）已知数列an，若点（n，an）（nN*）均在直线y2=k（x6）上，则an的前11项和S11等于（）A18B20C22D24考点：数列的求和；数列的函数特性 专
12、题：等差数列与等比数列分析：根据条件求出数列an的通项公式，利用等差数列的性质即可得到结论解答：解：点n，an（nN*）在直线y2=k（x6）上，an2=k（n6），即an=k（n6）+2=kn+26k，则数列an是等差数列，数列an的前11项和：S11=11a6，an=k（n6）+2=kn+26k，a6=2，S11=211=22，故选：C点评：本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前n项和的计算，利用条件判断数列an是等差数列是解决本题的关键8（5分）已知双曲线=1（a0）的一条渐近线与圆（x3）2+y2=8相交于M，N两点且|MN|=4，则此双曲线的离心率为（）ABCD5考点：双曲线的简单
13、性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，则c可得，即可求出双曲线的离心率解答：解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为y=x，即2xay=0，|MN|=4，圆的半径为2圆心到渐近线的距离为2，即=2，解得a=c=3，双曲线的离心率为e=故选：B点评：本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离9（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=的最大值为（）A4B3C4D3考
14、点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：不等式的解法及应用分析：首先画出可行域，z=代入坐标变为z=x+y，即y=x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值解答：解：如图所示：z=x+y，即y=x+z首先做出直线l0：y=x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大因为B（，2），故z的最大值为4故选：C点评：本题考查线形规划问题，考查数形结合解题10（5分）对于集合M，定义函数fM（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M*N=x|fM（x）fN（x）=1，已知A=2，4，6，B=1，2，4，则下列结论不
15、正确的是（）A1A*BB2A*BC4A*BDA*B=B*A考点：元素与集合关系的判断 专题：综合题；集合分析：由定义得出两个集合A=2，4，6，B=1，2，4中不在A*B中的元素，再结合四个选项即可得出正确答案解答：解：由定义“对于集合M，定义函数fM（x）=”若A=2，4，6，B=1，2，4，则当x=2，4，6时fA（x）=1，x=1时，fA（x）=1；当x=1，2，4时fB（x）=1，当x=6时，fB（x）=1又由定义集合M*N=x|fM（x）fN（x）=1，知fM（x）与fN（x）值必一为1，一为1，由上列举知，x=2，4时fA（x）fB（x）=1，故2，4A*B考查四个选项，B选项不正
16、确故选B点评：本题考查对新定义的理解及元素与集合关系的，此类题正确理解定义是解答的关键，考查了分析与理解的能力二、填空题：（本题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.）（一）必做题（1113题）11（5分）若=（2，3），=（4，7），则在方向上的投影为考点：向量的投影 专题：计算题分析：根据向量投影的公式，写出向量投影的表达式，进而用向量的数量积除以向量的模长来表示，代入数据求出结果解答：解：=（2，3），=（4，7），在方向上的投影|cos=故答案为：点评：本题考查向量的投影，本题解题的关键是记住向量投影的公式，并且能够熟练应用公式，本题是一个基础题12（5分）执行如图所示的程
17、序框图，输出的S的值为考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，寻找规律，得出答案解答：解：模拟执行如图所示的程序框图，是计算S的值，S=+0+（）+（）+0+0+（）+（）+0+；由此得出S的值是以6为周期的函数，又20146=335余4，当n=2014时，S=+0+（）=，且2014+1=20152014，输出的S是；故答案为：点评：本题考查了程序框图的执行情况的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，发现规律，解答问题，是基础题13（5分）已知函数f（x）=在区间1，m上的最大值是2，则m的取值范围是（1，4考点：分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析
18、：可以利用函数的图象，观察即可，或分别利用函数的单调性，求出最大值是2的自变量的范围，继而得到m的范围解答：解：法一，画出函数f（x）的图象，如图所示，在区间1，m上的最大值是2，由图象可知，m的取值范围是（1，4法二，因为f（x）=3x1在（，0为减函数，所以3x12，解得1x0，因为f（x）=在（0，+）为增函数，所以12，解得0x4，所以当x在1，4上的最大值为2，故m的取值范围是（1，4故答案为：（1， 4点评：本题主要考查了函数的分段函数问题，本题的关键是判断出函数的单调区间，属于中档题(二)选做题（1415题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在直角坐标系
19、中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，设曲线C：（为参数），直线l：（cos+sin）=4点P为曲线C上的一动点，则P到直线l的距离最大时的极坐标为（1，）考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程 专题：选作题；坐标系和参数方程分析：先把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，然后在曲线C上任取一点，由点到直线的距离公式可表示出点P到直线l的距离d，利用三角函数公式即可求得d的最大值，即可得出结论解答：解：（cos+sin）=4，l：x+y4=0点P到直线l的距离为d=，sin（+）=1时，P到直线l的距离最大，此时可取，P到直线l的距离最大时的极坐标为（1，）故答案
20、为：（1，）点评：本题考查参数方程、极坐标方程、点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属中档题【几何证明选讲选做题】15如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B，E，F，C四点共圆，且DC=2，DB=1，则ABC外接圆的半径为考点：与圆有关的比例线段 分析：（1）由已知条件得AFECBD，从而AFE=CBD，又B，E，F，C四点共圆，得CBD=CBE=90，由此能证明CA是ABC外接圆的直径解答：解：BCAE=DCAF又 DC为圆的切线DCB=EAFAFECBDAFE=CBD又又B，E，F，C四点共圆AF
21、E=CBECBD=CBE=90CA是ABC外接圆的直径CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D利用切割线定理：DC2=DBDA DC=2，DB=1解得：DA=4 BA=3在RtCBD中，利用勾股定理求得CB=在RtCBA中，利用勾股定理求得AC=则ABC外接圆的半径为 点评：本题应用三角形相似，四点共圆，切割线定理等知识知识来证明CA是ABC外接圆的直径三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）某商场搞促销抽奖活动，规则如下：箱内放有3枚白棋子和2枚黑棋子，顾客从中取出2枚棋子，如果两位棋子都是黑棋子或者都是白棋子，则中奖奖励方法如下
22、：若取出2枚黑棋子则中一等奖，奖励价值100元的商品；若取出2枚白棋子中则中二等奖，奖励价值50元的商品求（1）某人抽奖一次，中一等奖的概率；（2）某人抽奖一次，中奖的概率考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 专题：计算题；概率与统计分析：利用古典概型概率公式，即可求出结论解答：解：（1）由题意，抽奖一次，中一等奖的概率为=；（2）抽奖一次，中奖的概率为+=点评：本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，比较基础17（12分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x（1）求函数f（x）最大值和单调增区间；（2）已知ABC外接圆半径R=，f（）+f（+）=4sinAsinB，角A，B所对的边
23、分别是a，b，求a+b的最小值考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域；余弦定理 专题：解三角形分析：（1）对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数的最大值和递增区间（2）根据已知等式求得sinA和sinB的关系式，再利用正弦定理转化为a和b的关系式，最后利用基本不等式求得a+b的最小值解答：解：（1）f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），f（x）max=2，由2k2x+2k+，得kxk+（kZ），函数的单调增区间为k，k+（kZ）（2）依题意知2sin（A+）+2sin（B+）=2sinA+2cosB=4sinAsinB，+=2，ABC外接圆半径R=，sinB=
24、，+=2a+b=ab，ab，求得a+b2，a=b时取等号即a+b的最小值为2点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理的运用考查了学生基础知识的综合运用能力18（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABBC，E，F分别是A1B，AC1的中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求证：平面AEF平面AA1B1B；（3）若A1A=2AB=2BC=2a，求三棱锥FABC的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）证明EFBC，可得EF平面ABC；（2）证明平面AEF平面AA1B1B，只需证明EF平面ABB
25、1A1；（3）VEABC=，即可求三棱锥FABC的体积解答：（1）证明：连结A1C直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1C1C是矩形，点F在A1C上，且为A1C的中点在A1BC中，E，F分别是A1B，A1C的中点，EFBC （2分）又BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC （4分）（2）证明直三棱柱A1B1C1ABC中，B1B平面ABC，B1BBCEFBC，ABBC，ABEF，B1BEF （6分）B1BAB=B，EF平面ABB1A1 （8分）EF平面AEF，平面AEF平面ABB1A1 （10分）（3）解：VEABC= （14分）点评：本题考查线面平行、垂直的判定，考查面面垂直，考查锥
26、体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（14分）已知数列an的前n项和Sn=an2+bn，且a1=1，a2=3（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=，求数列bn的前n项和Tn，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得数列an是首项为a1=1，公差为d=2的等差数列，由此求出an=2n1（2）由bn=，利用裂项求和法得Tn=，由Tn对所有nN*都成立，得，由此能求出最小正整数m解答：解：（1）数列an的前n项和Sn=an2+bn，且a1=1，a2=3，数列an是首项为a1=1，公差为d=2的
27、等差数列，an=1+（n1）2=2n1（2）bn=，Tn=（1）=，Tn对所有nN*都成立，解得m10，最小正整数m为10点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查最小正整数m的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用20（14分）已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A（2，0）到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为不过A点的动直线交椭圆O于P，Q两点（1）求椭圆的标准方程；（2）证明P，Q两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点 A，P，Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1
28、）利用椭圆的第二定义及其顶点坐标即可得出；（2）把直线方程代入椭圆方程，利用根与系数的关系即可得出；（3）解法一：设圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心为（），利用弦的垂直平分线经过圆心、过定点A及经过点P、Q，即可求出定点解法二：设圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，将代入的圆的方程： 方程与方程为同解方程得到.，以下同解法一解答：（1）解：设椭圆的标准方程为由题意得，b=1，椭圆的标准方程为（2）证明：设点将代入椭圆，化简得：x2+2mx+2（m21）=0 ，P，Q两点的横坐标的平方和为定值4（3）（法一）设圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆
29、心为（），PQ中点M（），PQ的垂直平分线的方程为：，圆心（）满足， ，圆过定点（2，0），4+2D+F=0 ，圆过，则两式相加得：，y1+y2=m，52mD+mE+2F=0 动直线与椭圆C交与P，Q（均不与A点重合）m1，由解得：，代入圆的方程为：，整理得：， 解得：或（舍）所以圆过定点（0，1）（法二） 设圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，将代入的圆的方程： 方程与方程为同解方程.，圆过定点（2，0），4+2D+F=0，动直线与椭圆C交与P，Q（均不与A点重合）m1解得：，（以下相同）点评：本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题；考查运算求
30、解能力和推理论证能力21（14分）设aR，函数f（x）=lnxax（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若a，试判断函数f（x）在x（1，e2）的零点个数，并说明理由；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1x2e2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：先求导对第（1）问，将a的值代入，得切线的斜率，接着求切点，利用点斜式得切线方程；对第（2）问，考虑方程f（x）=0，将参数a分离，将零点问题转化为两函数图象交点问题，再利用导数研究函数的单调性，从而由两函数图象的位置关系确定零点个数；对
31、第（3）问，根据已知，将求证式进行等价转换，最后通过构造函数，利用函数的单调性达到证明的目的解答：（1）解：当a=2时，f（x）=lnx2x，f（1）=2，f（1）=1曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y+2=1（x1）即x+y+1=0；（2）由f（x）=lnxax，由f（x）=0，得a=，函数f（x）在x（1，e2）的零点个数等价于函数y=a的图象与函数y=的图象的交点个数，令g（x）=，则g（x）=，由g（x）=0，得x=e，在区间（1，e）上，g（x）0，则函数g（x）是增函数，g（1）g（x）g（e），即0g（x）；在区间（e，e2）上，g（x）0，则函数g（x）是减函数，g（e2
32、）g（x）g（e），即g（x）a，当a0时，f（x）在x（1，e2）没有零点；当0a时，函数f（x）有且只有一个零点（3）原不等式x1x2e2lnx1+lnx22不妨设x1x20，f（x1）=0，f（x2）=0，lnx1ax1=0，lnx2ax2=0，lnx1+lnx2=a（x1+x2），lnx1lnx2=a（x1x2），a（x1+x2）2ln 令=t，则t1，于是ln设函数h（t）=lnt（t1），则h（t）=0，故函数h（t）在（1，+）上为增函数，h（t）h（1）=0，即不等式lnt成立，故所证不等式x1x2e2成立点评：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值，考查了分类讨论的数学转化思想方法，是压轴题
