1、专题三三角函数与平面向量第 3讲平面向量主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查.2.平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力考情解读主干知识梳理1.平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).(4)如果直线l的斜率为k，则a(1，k)是直线l的一个方向向量.(5)向量的投
2、影：|b|cosa,b叫做向量b在向量a方向上的投影.2.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底.3.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0 x1x2y1y20.4.平面向量的三个性质 热点一平面向量的概念及线性运算 热点二平面向量的数量积 热点三平面向量与三角函数的综合热点分类突破例1(
3、1)(2014福建)在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()A.e1(0,0)，e2(1,2)B.e1(1,2)，e2(5，2)C.e1(3,5)，e2(6,10)D.e1(2，3)，e2(2,3)热点一平面向量的概念及线性运算思维启迪根据平面向量基本定理解题.解析由题意知，A选项中e10，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a(3,2)2e1e2).答案 B(2)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若m n ，则mn的取值范围是()A.(0,1)B.(1，)C.(，1)D.(1,0)思维启迪构造三点共线
4、图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与对应.答案 D对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆.如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则.同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现.思维升华变式训练1(1)(2014陕西)设0 ，向量a(sin 2，cos)，b(cos，1)，若ab，则tan _.解析 因为ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因为00，得2sin cos，tan.解析 如图，设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的
5、中点，M为FB的中点，所以MDCF.因为AFAB，所以F为AM的中点，E为AD的中点.热点二平面向量的数量积思维启迪图O的半径为1，可对题中向量进行转化答案 B思维启迪答案 D(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.思维升华变式训练2答案 22解析 在ABC中，延长AG交BC于D，点G是ABC的重心，热点三平面向量与三角函数的综合思维启迪应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值.例3已知向量a(
6、cos，sin)，b(cos x，sin x)，c(sin x 2sin，cos x 2cos)，其 中0 x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；解 b(cos x，sin x)，c(sin x2sin，cos x2cos)，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x).(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan 2的值.思维启迪由夹角公式及ac可得关于角的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果.ac，cos(sin x2sin)sin(cos x2cos)0，在平面向量与三角函数的综合问
7、题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.思维升华变式训练3(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b2，sin B，求f(x)4cos(2A)(x0，)的取值范围.本讲规律总结1.当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一
8、个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量(其中O为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直.3.两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.4.平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解
9、题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.真题感悟 押题精练真题与押题12真题感悟即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.12真题感悟12真题感悟真题感悟21真题感悟21真题感悟21答案 C押题精练123押题精练123押题精练123又因为P为AB边上的点，所以01，答案B押题精练123押题精练123又因为AOB60，OAOB，押题精练123押题精练1233.已知向量m(sin x，cos x)，n()，xR，函数f(x)mn.(1)求f(x)的最大值；押题精练123(2)在ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B2A，且b2af(A)，求角C的大小.押题精练123而A是三角形的内角，