1、基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).第6讲 双曲线基础诊断考点突破课堂总结1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线这两个_叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)若_时，则集合P为双曲线；(2)若ac时，则集合P为_；(3)若_时，则集合P为空集知 识 梳 理定点ac两条射线基础诊断考点突破课堂总结2双
2、曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形性质 范围 xa 或 xa，yR_xR，ya或ya基础诊断考点突破课堂总结对称性对称轴：_；对称中心：_顶点_A1(0，a)，A2(0，a)渐近线ybax_离心率e_，e(1，)性质实虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c 的关系c2_(ca0，cb0)坐标轴原点A1(a,0)，A2(a,0)yabxcaa2b2基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1判断
3、正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8的点的轨迹是双曲线()(2)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()(3)双曲线方程x2m2y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()基础诊断考点突破课堂总结2(2014新课标全国卷)已知双曲线x2a2y231(a0)的离心率为 2，则 a()A2B.62 C.52D.1解析 由双曲线方程知 b23，从而 c2a23，又 e2，因此c2a2a23a2 4，又 a0，所以
4、 a1，故选 D.答案 D基础诊断考点突破课堂总结3设 a1，则双曲线x2a2y2a121 的离心率 e 的取值范围是()A(2，2)B.(2，5)C(2,5)D.(2，5)解析 ecab2a2a21a1a2111a2，a1，01a1，111a2，2e 5.答案 B基础诊断考点突破课堂总结4(2014广东卷)若实数 k 满足 0k5，则曲线x216 y25k1与曲线x216ky251 的()A实半轴长相等B.虚半轴长相等C离心率相等D.焦距相等基础诊断考点突破课堂总结解析 若 0k5，则 5k0,16k0，故方程x216 y25k1表示焦点在 x 轴上的双曲线，且实半轴的长为 4，虚半轴的长为
5、 5k，焦距 2c2 21k，离心率 e 21k4；同理方程x216ky251 也表示焦点在 x 轴上的双曲线，实半轴的长为16k，虚半轴的长为 5，焦距 2c2 21k，离心率 e21k16k.可知两曲线的焦距相等故选 D.答案 D基础诊断考点突破课堂总结5(人教A选修11P54A6改编)经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_解析 设双曲线的方程为：x2a2y2a21(a0)把点 A(3，1)代入，得 a28，故所求方程为x28y281.答案 x28y281基础诊断考点突破课堂总结考点一 双曲线的定义及应用【例1】(1)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y
6、29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_(2)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，基础诊断考点突破课堂总结所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点 M 到两定点 C1，C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与
7、C2 的距离大，与 C1 的距离小)，其中 a1，c3，则 b28.故点 M 的轨迹方程为 x2y281(x1)基础诊断考点突破课堂总结(2)设 P 在双曲线的右支上，|PF2|x(x0)，|PF1|2x，因为PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，所以 x 31，x2 31，所以|PF2|PF1|2 3.答案(1)x2y281(x1)(2)2 3规律方法 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系
8、基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)(2014大连模拟)设 P 是双曲线x216y2201 上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|()A1B.17C1 或 17D.以上答案均不对(2)已知 F 是双曲线x24y2121 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A5B.54 3 C7D.9基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由双曲线定义|PF1|PF2|8，又|PF1|9，|PF2|1 或 17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为 ca6421，|PF2|17.(2)如图所示，设双曲线的右焦点为 E，则 E(
9、4,0)由双曲线的定义及标准方程得|PF|PE|4，则|PF|PA|4|PE|PA|.由图可得，当 A，P，E 三点共线时，(|PE|PA|)min|AE|5，从而|PF|PA|的最小值为 9.答案(1)B(2)D基础诊断考点突破课堂总结考点二 双曲线的标准方程【例 2】(1)(2014天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线平行于直线 l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为()A.x25y2201B.x220y251C.3x2253y21001D.3x21003y2251(2)设双曲线与椭圆x227y2361 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交
10、点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由题意知，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线为 y2x，所以ba2，即 b24a2.又双曲线的一个焦点是直线l 与 x 轴的交点，所以该焦点的坐标为(5,0)，所以 c5，即a2b225，联立得b24a2，a2b225，解得 a25，b220，故双曲线的方程为x25y2201.基础诊断考点突破课堂总结(2)设双曲线的方程为x227y2361(2736)，由于双曲线过点(15，4)，故 1527 16361，解得 132，20.经检验 132，20 都是分式方程的根，但 0 不符合题意，应舍去，所以
11、 32.故所求双曲线的方程为y24x251.答案(1)A(2)y24x251深度思考 本例第(2)小题可采用三种解法，为了更好地掌握双曲线的定义及标准方程，建议同学们这三种方法都要试一试基础诊断考点突破课堂总结规律方法 待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x2a2y2b2(0)，再由条件求出 的值即可基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为 12，离心率为54；(2)焦
12、距为 26，且经过点 M(0,12)；(3)经过两点 P(3,2 7)和 Q(6 2，7)解(1)设双曲线的标准方程为x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)由题意知，2b12，eca54.基础诊断考点突破课堂总结b6，c10，a8.双曲线的标准方程为x264y2361 或y264x2361.(2)双曲线经过点 M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12.又 2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为 y2144x2251.基础诊断考点突破课堂总结(3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)9m28n1，72m49n1，解得m
13、175，n 125.双曲线的标准方程为y225x2751.基础诊断考点突破课堂总结考点三 双曲线的几何性质【例 3】(1)设 F1，F2 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点 P，满足|PF2|F1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0B.3x5y0C4x3y0D.5x4y0(2)(2014浙江卷)设直线x3ym0(m0)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A，B.若点 P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)设 P
14、F1 的中点为 M，由|PF2|F1F2|，故 F2MPF1，即|F2M|2a，在 RtF1F2M 中，|F1M|2c22a22b，故|PF1|4b，根据双曲线的定义 4b2c2a，即 2bac，即(2ba)2a2b2，即 3b24ab0，即 3b4a，故双曲线的渐近线方程是 ybax，即 4x3y0.(2)由x3ym0，ybax，得点 A 的坐标为am3ba，bm3ba，基础诊断考点突破课堂总结由 x3ym0，ybax，得点 B 的坐标为am3ba，bm3ba，则 AB 的中点 C 的坐标为a2m9b2a2，3b2m9b2a2，kAB13，kCP3b2m9b2a2a2m9b2a2m3，化简得
15、ba214，所以双曲线的离心率 e1ba2114 52.答案(1)C(2)52基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 kba满足关系式 e21k2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c 的方程或不等式，利用 b2c2a2 和 eca转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(2014湖北七市(州)联考)已知双曲线x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为
16、F1(c,0)，F2(c,0)，若双曲线存在一点 P 使sinPF1F2sinPF2F1ac，则该双曲线的离心率的取值范围是_解析 在PF1F2 中，由正弦定理知|PF2|sinPF1F2|PF1|sinPF2F1，又sinPF1F2sinPF2F1ac，|PF2|PF1|ac，所以 P 在双曲线右支上，基础诊断考点突破课堂总结设 P(x0，y0)，如图，又|PF1|PF2|2a，|PF2|2a2ca.由双曲线几何性质知|PF2|ca，则 2a2caca，即 e22e10，1e1 2.答案(1,1 2)基础诊断考点突破课堂总结考点四 直线与双曲线的位置关系【例 4】已知中心在原点的双曲线 C
17、的右焦点为(2,0)，实轴长为 2 3.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l：ykx 2与双曲线 C 左支交于 A，B 两点，求 k 的取值范围解(1)设双曲线 C 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)由已知得：a 3，c2，再由 a2b2c2，得 b21，双曲线 C 的方程为x23y21.基础诊断考点突破课堂总结(2)设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，将 ykx 2代入x23y21，得(13k2)x26 2kx90.由题意知 13k20，361k20，xAxB 6 2k13k20，解得 33 k1.当 33 k0，b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x2a2y2b2t(t
18、0)基础诊断考点突破课堂总结3已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x2a2y2b20 就是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线方程易错防范1在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支2双曲线中 c2a2b2，说明双曲线中 c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆基础诊断考点突破课堂总结3求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错4双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程是 ybax，y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程是 yabx.5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.