1、复旦大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则的值为( )A1B 1log20132012C-log20132012D1【答案】A2设曲线y在点（1，0）处的切线与直线xay10垂直，则a( )ABC2D2【答案】A3如下图，阴影部分的面积是( )ABCD 【答案】C4设平面区域D是由双曲线的两条渐近线
2、和抛物线y2 =-8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部）.若点（x，y) D,则x + y的最小值为( )A -1B0C 1D3【答案】B5若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则( )A64B32C16D8【答案】A6设函数的定义域为，对于任意的，则不等式的解集为( )ABCD【答案】B7若，则( )ABCD【答案】D8设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为( )ABCD【答案】D9曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积( )ABCD【答案】D10由曲线，直线所围成的平面图形的面积为( )ABCD【答案】C11若在上是减函数，则b的取值范围是( )ABCD【答案】C
3、12曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )ABC3D【答案】B第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13=_【答案】14已知直线相切，则实数k的值为 。【答案】15设(其中为自然对数的底数)，则= .【答案】16已知，若，则=_【答案】3三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17设函数在及时取得极值(）求a、b的值；(）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围【答案】（1）由解得.(2）由（1）可知，当即在上递增，上递减，上递增，又，故当时，的最大值为，于是有，解得 ,因此
4、的取值范围是18定义函数(1)令函数的图象为曲线求与直线垂直的曲线的切线方程；(2)令函数的图象为曲线，若存在实数b使得曲线在处有斜率为的切线，求实数a的取值范围；(3)当，且时，证明【答案】（1）， 由，得 又，由，得，又，切点为 存在与直线垂直的切线，其方程为，即 (2）由，得 由，得 在上有解在上有解得在上有解， 而，当且仅当时取等号， (3）证明： 令，则， 当时，单调递减，当时， 又当时， 当且时，即19已知函数(1）若函数在区间上不是单调函数，试求的取值范围；(2）设函数，如果存在 ，对任意都有成立，试求的最大值【答案】（1）由题意知，在区间内有不重复的零点由，得，令，故在区间上是
5、增函数其值域为，的取值范围是(2），由已知得：在区间上恒成立，即 当时，不等式成立 当时，不等式化为： 令，由于二次函数的图像是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又 不等式恒成立的充要条件是，即， ，这个关于的不等式在区间上有解，即，又，故从而，此时唯有符合条件20设函数.(1) 求函数的最小值；(2) 设，讨论函数的单调性；(3) 斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：.【答案】，令，得. 当时，；当时， 当时，.(2) ，. 当时，恒有，在上是增函数； 当时，令，得，解得；令，得，解得 综上，当时，在上是增函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (3) . 要证
6、，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证 (*). 设，则，故在上是增函数， 当时，即. 设，则，故在上是增函数， 当时，即.由知(*)成立，得证.21已知在上是增函数，在上是减函数，且有三个根。(1）求的值，并求出和的取值范围。(2）求证。(3）求的取值范围，并写出当取最小值时的的解析式。【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数， 的根，又 因为 ,所以又因为 的根为因为 所以,所以又因为 所以即 又 所以 (2）因为, 所以且 所以(3）因为有三个根 所以 所以又因为,所以当且仅当时取最小值,此时 所以22已知函数. ()若曲线在和处的切线互相平行，求的值；()求的单调区间；()设，若对任意，均存在，使得， 求的取值范围.【答案】(），解得.(）. 当时，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故的单调递增区间是.当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是. (）由已知，在上有.由已知，由（）可知，当时，在上单调递增，故，所以，解得，故.当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知, 所以，综上所述， 的取值范围为.
