1、题组层级快练(五十九)1如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆面积最大时，圆心坐标为()A(1，1)B(1，1)C(1，0) D(0，1)答案D解析r，当k0时，r最大2(2015北京，文)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22答案D解析因为圆心(1，1)且过原点，所以该圆的半径r，则该圆的方程为(x1)2(y1)22，故选D.3(2017人大附中模拟)过坐标原点O作单位圆x2y21的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得ab(a，bR)，则以下说法正确的是()A点P(a
2、，b)一定在单位圆内B点P(a，b)一定在单位圆上C点P(a，b)一定在单位圆外D当且仅当ab0时，点P(a，b)在单位圆上答案B解析由题意得|OC|1，所以点P(a，b)在单位圆上，故选B.4(2017河北徐水中学月考)已知圆C：x2y2DxEyF0，则“EF0且D0”是“圆C与y轴相切于原点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析圆C与y轴相切于原点圆C的圆心在x轴上(设坐标为(a，0)，且半径r|a|.当EF0且D0，故选A.5若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴相切，则该圆的标准方程是()A(x3)2(y)21B(x2
3、)2(y1)21C(x1)2(y3)21D(x)2(y1)21答案B解析设圆心为(a，1)，由已知得d1，a2(舍)6圆心在抛物线x22y(x0)上，并且与抛物线的准线及y轴均相切的圆的方程是()Ax2y2x2y0Bx2y2x2y10Cx2y2x2y10Dx2y22xy0答案D解析圆心在抛物线上，设圆心(a，)圆的方程为(xa)2(y)2r2.x2y22axa2ya2r20.对比A，B，C，D项，仅D项x，y前系数符合条件7(2015山东)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或答案D解析由光的反射原理知，反射光
4、线的反向延长线必过点(2，3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)即kxy2k30，又因为反射光线与圆相切，所以112k225k120k，或k，故选D项8已知圆C关于x轴对称，经过点(0，1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为21，则圆的方程为()Ax2(y)2 Bx2(y)2C(x)2y2 D(x)2y2答案C解析方法一：(排除法)由圆心在x轴上，则排除A，B，再由圆过(0，1)点，故圆的半径大于1，排除D，选C.方法二：(待定系数法)设圆的方程为(xa)2y2r2，圆C与y轴交于A(0，1)，B(0，1)，由弧长之比为21，易知OCAACB12060，则t
5、an60，所以a|OC|，即圆心坐标为(，0)，r2|AC|212()2.所以圆的方程为(x)2y2，选C.9(2017保定模拟)过点P(1，0)作圆C：(x1)2(y2)21的两条切线，设两切点分别为A，B，则过点A，B，C的圆的方程是()Ax2(y1)22 Bx2(y1)21C(x1)2y24 D(x1)2y21答案A解析P，A，B，C四点共圆，圆心为PC的中点(0，1)，半径为|PC|，则过点A，B，C的圆的方程是x2(y1)22.10(2017湖北宜昌一中模拟)设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()Ay22x B(x1)2y24Cy22
6、x D(x1)2y22答案D解析设P(x，y)，则由题意知，圆(x1)2y21的圆心为C(1，0)、半径为1，PA是圆的切线，且|PA|1，|PC|，即(x1)2y22，P点的轨迹方程为(x1)2y22.11在圆x2y22x6y0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A5 B10C15 D20答案B解析圆的标准方程为(x1)2(y3)210，则圆心(1，3)，半径r，由题意知ACBD，且|AC|2，|BD|22，所以四边形ABCD的面积为S|AC|BD|2210.12以直线3x4y120夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为_答案(x2)2(y)2解
7、析对于直线3x4y120，当x0时，y3；当y0时，x4.即以两点(0，3)，(4，0)为端点的线段为直径，则r，圆心为(，)，即(2，)圆的方程为(x2)2(y)2.13从原点O向圆C：x2y26x0作两条切线，切点分别为P，Q，则圆C上两切点P，Q间的劣弧长为_答案解析如图，圆C：(x3)2y2，所以圆心C(3，0)，半径r.在RtPOC中，POC.则劣弧PQ所对圆心角为.弧长为.14若直线l：4x3y120与x，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则AOB内切圆的方程为_答案(x1)2(y1)21解析由题意知，A(3，0)，B(0，4)，则|AB|5.AOB的内切圆半径r1，内切圆的圆
8、心坐标为(1，1)内切圆的方程为(x1)2(y1)21.15(2016浙江，文)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_答案(2，4)5解析a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，解得a1，圆的方程为x2y24x8y50，即(x2)2(y4)225.故圆心的坐标为(2，4)，半径为5.16(2017合肥一检)在不等式组表示的平面区域内作圆M，则最大圆M的标准方程为_答案(x1)2y24解析不等式组构成的区域是三角形及其内部，要作最大圆其实就是三角形的内切圆，由得交点(3，0)，由得交点(3，2)，由得交点(3，2)，可知三角形是等边三角形，所以圆心坐标
9、为(1，0)，半径为(1，0)到直线x3的距离，即半径为2，所以圆的方程为(x1)2y24.17一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，求此圆的方程答案x2y26x2y10或x2y26x2y10解析方法一：所求圆的圆心在直线x3y0上，且与y轴相切，设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r3|a|.又圆在直线yx上截得的弦长为2，圆心C(3a，a)到直线yx的距离为d.有d2()2r2.即2a279a2，a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.方法二：设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线xy0的距离为.r
10、2()2()2.即2r2(ab)214.由于所求的圆与y轴相切，r2a2.又因为所求圆心在直线x3y0上，a3b0.联立，解得a3，b1，r29或a3，b1，r29.故所求的圆的方程是(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.方法三：设所求的圆的方程是x2y2DxEyF0，圆心为(，)，半径为.令x0，得y2EyF0.由圆与y轴相切，得0，即E24F.又圆心(，)到直线xy0的距离为，由已知，得()2r2，即(DE)2562(D2E24F)又圆心(，)在直线x3y0上，D3E0.联立，解得D6，E2，F1或D6，E2，F1.故所求圆的方程是x2y26x2y10或x2y26x2y10.18
11、已知直线l与直线xy20垂直，且过点P(2，1)(1)求直线l的方程；(2)若圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程答案(1)yx1(2)(x3)2y24解析(1)直线l与直线xy20垂直，kl1.直线l过点P(2，1)，直线l的方程为y1x2，即yx1.(2)设圆C的标准方程为(xa)2y2r2(a0)，则解得a3，r2，圆的标准方程为(x3)2y24.1(2017山东潍坊一模)若圆C经过(1，0)，(3，0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A(x2)2(y2)23B(x2)2(y)23C(x2)2(y2)24D(x2)2(y)24答
12、案D解析设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，因为圆C经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线x2上，a2.又圆C与y轴相切，所以半径r2，则(12)2b24，b23，b，应选D.2(2017山东青岛一模)若过点P(1，)作圆O：x2y21的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|()A. B2C. D4答案A解析如图所示，PA，PB分别为圆O：x2y21的切线，OAAP.P(1，)，O(0，0)，|OP|2.又|OA|1，在RtAPO中，cosAOP.AOP60，|AB|2|AO|sinAOP.3已知点P在圆x2y25上，点Q(0，1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是()Ax2y2x
13、0 Bx2y2y10Cx2y2y20 Dx2y2xy0答案B解析设P(x0，y0)，PQ中点的坐标为(x，y)，则x02x，y02y1，代入圆的方程即得所求的方程是4x2(2y1)25，化简，得x2y2y10.4已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30 Bx2y24x0Cx2y22x30 Dx2y24x0答案D解析设圆心C(a，0)(a0)，由2，得a2.故圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0.5设圆C同时满足三个条件：过原点；圆心在直线yx上；截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是_答案(x2)2(y2)28或(x2)2
14、(y2)28解析由题意可设圆心A(a，a)，如图，则22222a2，解得a2，r22a28.所以圆C的方程是(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28.6在平面直角坐标系内，若圆C：x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为()A(1，) B(2，)C(0，1) D(0，2)答案B解析圆C可化为(xa)2(y2a)24，要使得圆C上所有的点均在第四象限，则圆心C(a，2a)在第四象限，圆心C到坐标轴的距离大于半径所以解得a2.7已知圆C的圆心在曲线y上，圆C过坐标原点O，且分别与x轴、y轴交于A，B两点，则OAB的面积是()A2 B3C4 D8答案C解析设
15、圆心的坐标是C(t，)因为圆C过坐标原点，所以|OC|2t2，所以圆C的方程是(xt)2(y)2t2.令x0，得y10，y2，所以B点的坐标为(0，)；令y0，得x10，x22t，所以A点的坐标为(2t，0)，所以SOAB|OA|OB|2t|4，即OAB的面积为4.8已知点A(1，1)和圆C：x2y210x14y700，一束光线从点A出发，经过x轴反射到圆周C上的最短路程为_答案8解析如图，A(1，1)关于x轴的对称点A(1，1)，设圆C 的半径为r，由题意可知，最短路程为|AC|r，又圆的方程可化为(x5)2(y7)24，则圆心C(5，7)，r2，则|AC|r21028，即最短路程为8.9已知点A(3，0)，点P是圆x2y21上的一点，AOP的角平分线交AP于Q，求点Q的轨迹方程答案(x)2y2解析设Q点坐标为(x，y)，P点坐标为(x，y)OQ是AOP的平分线，.又|AO|3，|OP|1，3，即3，(x3，y)3(xx，yy)代入圆的方程，得1，即(x)2y2为所求方程