1、 反函数的概念基础巩固 站起来，拿得到！1.函数y=的反函数是( )A.y=(xR且x-4) B.y=(xR且x3)C.y=(xR且x) D.y=(xR且x-)答案：C解析：由y=,得x=.故所求反函数为y=(xR且x3).2.函数y=的反函数是( )A.y= B.y=C.y= D.y=答案：A解析：当x0).当x0时,由y=-x,得x=-2y.故反函数为y=f-1(x)=-2x(x0).y=f-1(x)=-x,x0,-2x,x0.3.若函数f(x)的反函数f-1(x)=1+x2(x0),则f(2)等于( )A.1 B.-1 C.1和-1 D.5答案：B解法一:由y=1+x2(x0),f(2)
2、=-=-1.解法二:令1+x2=2(x0),则x=-1,即f(2)=-1.4.若函数y=f(x)的反函数是y=-(-1x0),则原函数的定义域是( )A.(-1,0) B.-1,1 C.-1,0 D.0,1答案：C解析：原函数的定义域为反函数的值域,又-1x0,01-x21,即y-1,0.5.设y=+m和y=nx-9互为反函数,那么m、n的值分别是( )A.-6,3 B.2,1 C.2,3 D.3,3答案：D解析：求出y=+m的反函数y=3x-3m,再与y=nx-9对比系数即得.6.已知f(x)=x2-1(x2),则f-1(4)=_.答案：解析：因为f(x)=x2-1,x2,所以其反函数为f-
3、1(x)=(x3).所以f-1(4)=.7.求下列函数的反函数:(1)y=-(-1x0);(2)y=-x2-2x+1(1x2);(3)y=解：(1)由y=-,得y2=1-x2,即x2=1-y2.-1x0,x=-.又y=-,-1x0,-1y0.所求反函数为y=-(-10),得x=-y-1,即y=-x-1(x0)的反函数为y=-x-1(x-1).由可知f(x)=的反函数为f-1(x)=能力提升 踮起脚,抓得住!8.函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是( )A.0,+) B.(-,0) C.-4,4 D.2,4答案：C解法一:函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y=2|x|在0,+
4、),(-,0,2,4上单调.解法二:当x=4时,y=8,知不是一一映射.9.函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则下面结论中正确的是( )A.ab D.无法确定答案：A解析：f(x)是增函数,故其反函数f-1(x)也是增函数,f(3)f(2),f-1(3)f-1(2),即ba.10.已知f(x)=3x-2,则f-1f(x)=_;ff-1(x)=_.答案：x x解析：f-1(x)=,f-1f(x)=(3x-2)+2=x,ff-1(x)=3-2=x.一般地,ff-1(x)与f-1f(x)的表达式总为x,但两个函数定义域不一定相同
5、,故不一定是同一个函数.11.函数f(x)=ax2+(a+2)x-1在xR上存在反函数,则f-1(1)=_.答案：1解析：依题意a=0,f(x)=2x-1,令f-1(1)=b,则f(b)=1,即2b-1=1b=1.12.已知函数f(x)=(x-a,a).(1)求它的反函数;(2)求使f-1(x)=f(x)的实数a的值;(3)当a=-1时,求f-1(2).解：(1)设y=,x-a,反解得(y-3)x=2-ay.若y=3,则a=与a矛盾.y3.x=.f-1(x)=(x3,a).(2)当f-1(x)=f(x)时,有,整理得(a+3)x2+(a2-9)x-2(a+3)=0.a+3=0,即a=-3.(3
6、)当a=-1时,由(1)知f-1(x)=.f-1(2)=-4.13.已知f(x)=()2(x1),(1)求f(x)的反函数f-1(x),并求出反函数的定义域;(2)判断并证明f-1(x)的单调性.解：(1)设y=()2x=,又x1,10y1,即f-1(x)=,f-1(x)的定义域为0,1.(2)f-1(x)在0,1)上单调递增.证明如下:设0x1x21,01.f-1(x1)-f-1(x2)=0.f-1(x)在0,1上单调递增.拓展应用 跳一跳,够得着!14.要使函数y=x2-2ax+1在区间1,2上存在反函数,则a的取值范围是( )A.a1 B.a2 C.a1或a2 D.1a2答案：C解析：由
7、已知得函数y=x2-2ax+1在区间1,2上单调,则a1或a2.15.已知函数y=f(x-1)的反函数为y=f-1(x-1),且f(1)=2,则f(2)的值为_.答案：1解析：y=f-1(x-1)x-1=f(y)x=f(y)+1,故y=f-1(x-1)的反函数为y=f(x)+1.故f(x-1)=f(x)+1,即f(x)=f(x-1)-1,则f(2)=f(1)-1=1.16.(1)已知f(x)=(a、b、c是常数)的反函数是f-1(x)=,求a+b+c的值.(2)设点P(-1,-2)既在函数f(x)=ax2+b(x0)的图象上,又在f(x)的反函数的图象上,求f-1(x).解：(1)设y=,解得x=,即f-1(x)=,因此,由对应项系数相等得a=3,b=5,c=-2,a+b+c=6.(2)点P(-1,-2)在f(x)=ax2+b上,则-2=a(-1)2+b, 又点P(-1,-2)在f-1(x)上,点(-2,-1)在f(x)上.-1=a(-2)2+b. 由联立,解得a=,b=-.f(x)= x2-(x0).f-1(x)=-(x-).