1、数列(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a5a1116，则a7等于()A1B2C4D8B由性质得a5a11a16，由题意知a84，a722设数列an是等比数列，公比q2，则的值是()A1 B2 C DDq2，2a1a2，2a3a4，故选D3已知Sn为等差数列an的前n项和，满足a33a1，a23a11，则数列的前10项和为()A B55 C D65C设等差数列an的公差为d，则 ，所以a11，d1，所以Snn，所以，所以，所以是以1为首项，为公差的等差数列
2、，数列的前10项和T1010，故选C4意大利数学家斐波那契(17701250)，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用已知斐波那契数列an满足：a11，a21，an2an1an，若a2a3a5a7a9a59ak，则k()A2020 B2021 C59 D60D由于an2an1an，则a2a3a5a7a9a59a4a5a7a9a59a6a7a9a59a58a59a60，因此，k60故选D5已知数列an中
3、，a32，a71，又数列是等差数列，则a11等于()A0 B C D1B设数列bn的通项公式bn，因为bn是等差数列，b3，b7公差db11b3(113)d8，即，故a116已知数列an满足a15，anan12n，则()A2 B4 C5 DB依题意得2，即2，数列a1，a3，a5，a7，是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此47九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为，得其关捩，解之为二，又合而为一”在某种玩法中，用an表示解下n(n9，nN*)个圆环所需的最少移动次数，若a11，且an ，则解下5个环所需的最少移动
4、次数为()A22 B16 C13 D7Ba11，a22a111，a32a224，a42a317，a52a4216，所以解下5个环所需的最少移动次数为16，故选B8数列an，bn满足anbn1，ann23n2，则bn的前10项和为()A B C DB依题意bn，所以bn的前10项和为S10，故选B二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9在等差数列an中，已知a310，a116，Sn是其前n项和，则()Aa72BS1054Cd2DACD由已知条件得 ，解得 对于A选项，a7a16d14622，
5、A选项正确；对于B选项，S1010a1d1409050，B选项错误；对于C选项，d2，C选项正确；对于D选项，a13d14328，a1d1427，所以，D选项正确故选ACD10已知数列an满足log3an1log3an1(nN)，且a2a4a69，则()Aan13anB3an1anCa5a7a935Da5a7a9AC由题知log3an1log3(3an)log3an1，所以an13an0，所以3，所以an是公比为3的等比数列所以a5a7a9(a2a4a6)q393335故选AC11在公比q为整数的等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，若a1a418，a2a312，则下列说法正确的是()Aq
6、2B数列lgan是公差为2的等差数列CS8254D数列Sn2是等比数列AD由等比数列通项公式得 ，解得或 ，又公比q为整数，故 ，ana1qn12n，故A选项正确；lg anlg 2nnlg 2，故数列lgan是公差为lg 2的等差数列，故B选项错误；Sn2n12，故S8292510，故C选项错误；Sn22n1，故Sn2为等比数列，即D选项正确；故选AD12等差数列an是递增数列，满足a73a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是()Ad0Ba10时n的最小值为8ABD由题意，设等差数列an的公差为d，因为a73a5，可得a16d3(a14d)，解得a13d，又由等差数列an是递增数列，可知d0
7、，则a10，解得n7，即Sn0时n的最小值为8，故D正确故选ABD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13设等差数列an的前n项和为Sn，若2a5a34，则S13_522a5a5a5a34a5(a5a3)4，即a52d4，得a74，S1313a752故答案为：5214已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S5_31由题知且an是递增数列，得所以q24，q2，所以S53115等比数列an的通项为an23n1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列bn，那么162是新数列bn的第_项13162是这个数
8、列an的第5项，则它是新数列bn的第5(51)213项16复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面规格为：A0，A1，A2，A8所有规格的纸张的幅宽(以x表示)和长度(以y表示)的比例关系都为xy1；将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格；A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格；如此对开至A8规格现有A0，A1，A2，A8纸各一张若A4纸的幅宽为2 dm，则A0纸的面积为_dm2，这9张纸的面积之和等于_dm2(本题第一空2分，第二空3分)64根据题意，A4的长、宽分别为2，2，A3的长、宽分别为4，2，A2的长、宽分别为4，4，A1的长、宽分别为8，4，A0的长
9、、宽分别为8，8，所以A0的面积为64，A0，A1，A2，A8纸张的面积是以64为首项，公比为的等比数列，所以这9张纸的面积之和等于故答案为：64；四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设数列an(n1，2，3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn解(1)由已知Sn2ana1，得anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)从而a22a1，a32a24a1因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)，所以a14a1
10、2(2a11)，解得a12所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列故an2n(2)由(1)得，所以Tn118(本小题满分12分)数列an对任意nN，满足an1an1，a32(1)求数列an的通项公式；(2)若bnann，求数列bn的通项公式及前n项和Sn解(1)由已知得an1an1，数列an是等差数列，且公差d1又a32，所以a10，所以ann1(2)由(1)得，bnn，所以Sn(11)n1(123n)19(本小题满分12分)在a11，a1a5a；S39，S525；Snn2这三个条件中任选一个补充在下面的问题中已知等差数列an的前n项和为Sn，且公差d0，若_(1)求数列an的通项公式；(2
11、)记bn，求数列bn的前n项和Tn注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解(1)若选：由a11，a1a5a，得a1(a14d)(a1d) 2即14d(1d)2，d22d，d0，d2，所以an12(n1)2n1若选：设等差数列an的首项为a1，由S39，S525，得： 解得 ，所以an12(n1)2n1 若选：当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，显然n1时也满足an2n1，an2n1(2)由(1)知an2n1，bn，则Tn20(本小题满分12分)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1(1) 求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足1
12、，nN，求bn的前n项和Tn解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d由S44S2，a2n2an1，得解得因此an2n1，nN(2)由已知1，nN，当n1时，；当n2时，1所以，nN由(1)知an2n1，nN，所以bn，nN所以Tn，Tn两式相减，得Tn，所以Tn321(本小题满分12分)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆(1)求经过n
13、年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值解(1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意知，数列an是首项为128，公比为150%的等比数列，数列bn是首项为400，公差为a的等差数列所以数列an的前n项和Sn256，数列bn的前n项和Tn400na，所以经过n年，该市更换的公交车总数S(n)SnTn256400na(2)若用7年的时间完成全部更换，则S(7)10000，即2564007a10000，即21a3082，所以a又aN，所以a的最小值为14722(本小题满分12分)已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f，nN(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(n2)，b13，Snb1b2bn，若Sn对一切nN都成立，求最小的正整数m的值解(1)an1f an，an是以a11为首项，为公差的等差数列，ann(2)当n2时，bn，当n1时，上式同样成立，bnSnb1b2bn，Sn对一切nN都成立，即对一切nN都成立又随着n的增大而增大，且，m2 021最小的正整数m的值为2 0219