1、3.6二倍角、简单的三角变换1公式的常见变形(1)tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan()(1tan tan )(2)sin2，cos2，sin cos sin 2.(3)1cos 2cos2，1cos 2sin2，1sin (sincos)2，1sin (sincos)2.2辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中sin ，cos .【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)y3sin x4cos x的最大值是7.()(2)设(，2)，则 sin.()(3)在非直角三角形中有：tan Atan Btan Ctan Atan
2、 Btan C()(4)设3，且|cos |，那么sin的值为.()(5)公式asin xbcos xsin(x)中的取值与a，b的值无关()(6)函数f(x)cos2xsin xcos x在区间，上的最大值为.()1化简： .答案sin 解析原式sin .2已知cos ，(，2)，则cos .答案解析(，)，cos.3如果(，)，且sin ，那么sin()cos() .答案解析由已知cos ，sin()cos()sin()cos .4(2014上海)函数y12cos22x的最小正周期是 答案解析由题意ycos 4x，T.题型一三角函数式的化简求值例1 (1)已知0，化简： .(2)已知sin
3、 cos ，且(0，)，则的值为 答案(1)cos (2)解析(1)原式cos.因为0，所以00，所以原式cos .(2)方法一sin cos ，sin cos ，sin()，sin().又(0，)，(，)，cos()，cos 2sin2()2sin()cos()2，.方法二sin cos ，sin cos ，(sin cos )212sin cos ，2sin cos ，(0，)，sin cos ，(sin cos ).思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三
4、角函数公式之间的共同点(1)若，则tan 2 .(2)设为锐角，若cos()，则sin(2)的值为 答案(1)(2)解析(1)，tan 2，tan 2.(2)为锐角，cos()，sin()，sin(2)2sin()cos()，cos(2)2cos2()1，sin(2)sin(2)sin(2)cos(2).题型二三角函数的求角问题例2(1)已知锐角，满足sin ，cos ，则 .(2)已知函数f(x)tan(2x)，若(0，)且f()2cos 2，则 .答案(1)(2)解析(1)由sin ，cos 且，为锐角，可知cos ，sin ，故cos()cos cos sin sin ，又0，故.(2)
5、由f()2cos 2，得tan()2cos 2，2(cos2sin2)，整理得2(cos sin )(cos sin )(0，)，sin cos 0.(cos sin )2，即sin 2.由(0，)，得2(0，)，2，即.思维升华(1)由三角函数值求角，一定要考虑角的范围；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好(1)已知sin ，sin()，均为锐角，则角 .(2)在ABC中，tan Atan Btan Atan
6、B，则C .答案(1)(2)解析(1)、均为锐角，.又sin()，cos().又sin ，cos ，sin sin()sin cos()cos sin()().(2)由已知可得tan Atan B(tan Atan B1)，tan(AB)，又0AB0)，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值(1)求求f(x)的周期对称中心与对称轴的最近距离T求出1(2)求f(x)在，上的最值由(1)得f(x)sin(2x)求f(x)sin(2x)在，上的最值利用换元思想，将2x作为一个整体求2x的范围由x2x结合正弦函数的图象1f(x).规
7、范解答解(1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xsin.依题意知4，0，所以1.(2)由(1)知f(x)sin.当x时，2x.所以sin1.所以1f(x).故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为和1.温馨提醒(1)讨论三角函数性质要先利用三角变换将函数化成yAsin(x)的形式；(2)解题中将2x视为一个整体，可以借助图象求函数最值.方法与技巧1三角函数的求值与化简要有联系的观点，注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换2利用三角函数值求角要考虑角的范围3与三角函数的图象与性质相结合的综合问题借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为
8、f(x)Asin(x)的形式，然后借助三角函数图象解决失误与防范1利用辅助角公式，asin xbcos x转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角2计算形如ysin(x), xa，b形式的函数最值时，不要将x的范围和x的范围混淆.A组专项基础训练(时间：40分钟)1(2013课标全国)已知sin 2，则cos2 .答案解析因为cos2，所以cos2.2若sin ，则sin()cos .答案解析sin()cos sin cos cos sincos .3在ABC中，tan B2，tan C，则A .答案解析tan Atan(BC)tan(BC)1.又A为ABC的内角故A.4若tan ，(，)
9、，则sin(2)的值为 答案解析由tan 得，sin 2.(，)，2(，)，cos 2.sin(2)sin 2cos cos 2sin ().5已知cos 2，则sin4cos4的值为 答案解析sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos21sin221(1cos22).6已知sin(45)，090，则cos .答案解析090，45450.tan x2.(当tan x，即x时取等号)即函数的最小值为.8已知tan()3，则sin 22cos2的值为 答案解析tan()3，3，解得tan .sin 22cos2sin 2cos 21111.9已知tan ，cos ，(，)，(0，)，求
10、tan()的值，并求出的值解由cos ，(0，)，得sin ，tan 2.tan()1.(，)，(0，)，.10已知函数f(x)2sin(x)，xR.(1)求f()的值；(2)设，0，f(3)，f(32)，求cos()的值解(1)由题设知：f()2sin()2sin.(2)由题设知：f(3)2sin ，f(32)2sin()2cos ，即sin ，cos ，又，0，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin .B组专项能力提升(时间：25分钟)1cos 20cos 40cos 60cos 80 .答案解析原式.2定义运算adbc，若cos ，0，则 .答案解析依题意有sin
11、cos cos sin sin()，又0，0，故cos()，而cos ，sin ，于是sin sin()sin cos()cos sin()，故.3sin()，则sin 2 .答案解析sin()sin cos ，sin cos ，(sin cos )2sin2cos22sin cos 1sin 2，故sin 2.4(2013北京)已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若，且f()，求的值解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，f(x)的最小正周期T，最大值为.(2)由f()，得sin1.，则4，所以4，故.5(2014天津)已知函数f(x)cos xsin(x)cos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间，上的最大值和最小值解(1)由已知，有f(x)cos x(sin xcos x)cos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，f()，f()，f()，所以，函数f(x)在闭区间，上的最大值为，最小值为.