1、3.2.2半角的正弦、余弦和正切明目标、知重点1.了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式的过程.2.能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.1.半角公式(1)S：sin ；(2)C：cos ；(3)T：tan (无理形式)(有理形式).2.半角公式变形(1)sin2；(2)cos2；(3)tan2.情境导学三角变换不同于代数式变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角
2、之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.例如，在二倍角公式中2是的二倍，是的二倍，那么cos 能用的三角函数表示出来吗？反过来，你能用cos 表示出sin2，cos2，tan2吗？探究点一半角公式的推导思考1如何用cos 表示sin 、cos 、tan ？答cos cos2sin212sin2，2sin21cos ，sin2，sin ；cos 2cos21，cos2，cos ；tan2，tan .思考2半角公式中根号前面的正负号怎样确定？答在半角公式中，根号前面的正负号，由角所在的象限来确定.思考3利用倍角公式，半角的正切公式
3、还可以作如何变形？答tan .证明：tan ，tan ，同理可证tan .tan .思考4倍角公式和半角公式有何联系？答倍角公式和半角公式功能各异，本质相同，对立统一.例1求sin 15，cos 15，tan 15的值.解因为15是第一象限的角，所以sin 15 ；cos 15 ；tan 15 2.跟踪训练1求cos 的值.解因为是第一象限的角，所以cos .例2已知cos ，为第四象限角，求sin 、cos 、tan 的值.解sin ，cos ，tan .为第四象限角，为第二、四象限角.当为第二象限角时，sin，cos，tan；当为第四象限角时，sin，cos，tan.反思与感悟在运用半角公
4、式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan ，还要注意运用公式tan 来求值.跟踪训练2已知cos ，且180270，求tan 的值.解方法一180270，90135，tan 0，tan 2.方法二180270，sin 0，sin ，tan 2.探究点二半角公式的应用例3如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记COP，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.解在RtOBC中，OBcos ，BCsin .在RtOAD中，tan 60，OADABCsin ，ABOBOAcos sin
5、 .设矩形ABCD的面积为S，则SABBCsin sin cos sin2sin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin.由0，得2，所以当2，即时，S最大.因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.反思与感悟从本例可以看到，通过三角变换，我们把形如yasin xbcos x的函数转化为形如yAsin(x)的函数，从而使问题得到简化，这个过程蕴含了化归思想.跟踪训练3已知函数f(x)2cos x(sin xcos x)1，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值.解(1)f(x)2cos x(sin xcos x)1sin 2xcos 2
6、xsin.因此，函数f(x)的最小正周期为.(2)因为f(x)sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f0，f，fsincos 1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为1.1.设56，cos a，那么sin 等于()A. B. C. D.答案B解析由cos 12sin2，得sin2，又56，.sin 0.sin .2.已知cos ，且270360，则cos 的值为()A. B.C. D.答案B解析cos 2cos21，cos2，270360，135180 ，cos 0，cos .3.已知sin ，且为第三象限的角，则tan 等于()A. B.C. D.答案A解析由sin ，且为第三象
7、限的角，则cos .所以tan .4.若cos 22a，则sin 11 ，cos 11 .答案 解析cos 222cos211112sin211，cos 11 ，sin 11 .呈重点、现规律1.半角公式前面的正负号的选择(1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号；(2)若给出角的具体范围时，则根号前的符号由角所在象限确定；(3)若给出的角是某一象限的角时，则根据下表确定符号：sin cos tan 第一象限第一、三象限、第二象限第一、三象限、第三象限第二、四象限、第四象限第二、四象限、2.半角公式的三个变式：sin2，cos2，tan2.在实际进行三角函数的化简、求值、证明时经
8、常用到.一、基础过关1.cos2的值为()A.1 B. C. D.答案D解析cos2(2cos21)cos .2.下列各式与tan 相等的是()A. B.C. D.答案D解析由于tan .3.已知180270，且sin(270)，则tan 的值为()A.3 B.2 C.2 D.3答案D解析sin(270)，cos .又180270，90135.tan 3.4.已知tan 3，则cos 为()A. B. C. D.答案B解析cos .5.化简： (2) .答案sin 解析原式 |sin |，2，0，故原式sin .6.函数y2cos2xsin 2x的最小值是 .答案1解析y2cos2xsin 2
9、x1cos 2xsin 2xsin(2x)1，ymin1.7.已知0，且，求sin cos 的值.解sin cos .又00，cos 0.sin cos .二、能力提升8.已知cos ，且2，则tan 等于()A. B.C.或 D.3答案A解析2，.cos ，sin ，tan .故选A.9.已知为锐角，且sin sin 32，则tan 的值为()A. B.C. D.答案C解析2cos ，cos ，为锐角，sin ，tan .10.已知tan()2，则的值是 .答案解析tan()tan 2，tan 2，原式.11.已知tan 2，求：(1)tan()的值；(2)的值.解(1)tan 2，tan
10、，tan().(2)由(1)知，tan ，所以.12.已知cos()，sin()，且(，)，(0，).求：(1)cos；(2)tan().解(1)，0，sin() ，cos() ，coscos()()cos()cos()sin()sin().(2)，sin ，tan，tan().三、探究与拓展13.已知函数f(x)cos xsin(x)cos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间，上的最大值和最小值.解(1)由已知，有f(x)cos x(sin xcos x)cos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x).所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，f()，f()，f()，所以，函数f(x)在闭区间，上的最大值为，最小值为.