1、第十四章 选修2 第二讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是()A1，)B(1，)C(，1 D(，1)答案：C解析：由题意知f (x)x0，x(1，)，即f (x)0，即x22xb(x1)21b0.1b0，b1.总结评述：本题主要考查函数的单调性与其导数的关系及恒成立问题本题是x22xb0在x(1，)恒成立，即x22xb在区间(1，)的最大值小于或等于0即可2函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f (x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个B2个C3个D
2、4个答案：A命题意图：本题主要考查可导函数的单调性、极值与导函数的关系解析：观察yf (x)的图象，设yf (x)的图象与x轴的交点依次为x1，x2，x3，则x(a，x1)时，f (x)0，函数yf(x)是增函数；x(x1，x2)时，f (x)0，函数yf(x)是减函数；x(x2，x3)时，f (x)0，函数yf(x)是增函数；x(x3，b)时，f (x)0，函数yf(x)是减函数xx2时，yf(x)取得极小值，另无其它极小值，A成立总结评述：本题考查了考生对极值的理解和判断方法，从近几年高考情况看这种类型的题目已多次出现，反映了高考不回避对重点知识重复考查的导向，符合高考对于支撑学科知识体系
3、的重点内容进行重点考查，不刻意追求知识覆盖面的命题方向3函数y2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分别是()A5，15 B5,4C4，15 D5，16答案：A解析：y6x26x126(x2)(x1)，令y0，得x2或x1(舍)f(0)5，f(2)15，f(3)4，ymax5，ymin15，故选A.4(2009天津)设函数f(x)xlnx(x0)，则yf(x)()A在区间(，1)，(1，e)内均有零点B在区间(，1)，(1，e)内均无零点C在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点答案：D解析：f()10，f(1)00，f(e)1
4、0，根据闭区间上根的存在性定理，故选D.5(2009崇文模拟)已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f (x)的图象如图所示，则()Af(x)在x1处取得极小值Bf(x)在x1处取得极大值Cf(x)是R上的增函数Df(x)是(，1)上的减函数，(1，)上的增函数答案：C解析：由图象易知f (x)0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数6已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是()Am BmCm Dm答案：A解析：因为函数f(x)x42x33m，所以f (x)2x36x2，令f (x)0，得x0或x3，经检验如x3是函数的一个最小值点，所以函数的最小
5、值为f(3)3m，不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m.7(2010河南省实验中学)函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则点(a，b)为()A(3，3) B(4,11)C(3，3)或(4,11) D不存在答案：B解析：f (x)3x22axb，由已知得f (x)0，f(1)10即，解得或.当a3，b3时，f (x)3(x1)2无极值点8若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A(2,2) B2,2C(，1) D(1，)答案：A解析：由f (x)3x233(x1)(x1)，且当x1时，f (x)0；当1x1时，f (x)0；当x
6、1时，f (x)0.所以当x1时函数f(x)有极大值，当x1时函数f(x)有极小值要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足解之，得2a2.二、填空题(4520分)9函数yx2ex的单调递增区间是_答案：(0,2)解析：y(2xx2)ex00x2，故选填(0,2)总结评述：本题重点考查利用导数求函数单调区间的方法求导后解不等式时，要注意二次项系数10若函数f(x)x3x在(a,10a2)上有最小值，则实数a的取值范围为_答案：2,1)解析：f (x)x21，函数f(x)x3x在(a,10a2)上有最小值，则1(a,10a2)3a1，且a10a2a，且f(a)f(1)(a1)(a2a2)0a2a
7、202a1，故2a1.11函数f(x)ex(sinxcosx)在区间0，上的值域为_答案：，e解析：f (x)ex(sinxcosx)ex(cosxsinx)excosx，当0x时，f (x)0.f(x)在0，上是增函数，f(x)的最大值为f()e.f(x)的最小值为f(0).12(2009西城高三抽样测试14)如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间(3，)内单调递增；函数yf(x)在区间(，3)内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值则上述判断中正确的是_答案：解析：函数的单调
8、性由导数的符号确定，当x(，2)时，f (x)0，f(x)在(，2)上为减函数同理f(x)在(2,4)上为减函数f(x)在(2,2)上是增函数，在(4，)上是增函数所以可排除和，选择，由于函数在x2的左侧递增，在右侧递减，所以x2时，函数有极大值；而在x的左右两侧函数的导数都是正数，故函数在x的左右两侧均为增函数，所以x不是函数的极值点排除，故填.三、解答题(41040分)13已知函数f(x)，求导函数f (x)，并确定f(x)的单调区间解析：f (x)令f (x)0，得xb1且x1.当b11，即b2时，f (x)的变化情况如下表：x(，b1)b1(b1,1)(1，)f (x)0当b11，即b
9、2时，f (x)的变化情况如下表：x(，1)(1，b1)b1(b1，)f (x)0所以，当b2时，函数f(x)在(，b1)上单调递减，在(b1,1)上单调递增，在(1，)上单调递减当b2时，函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1，b1)上单调递增，在(b1，)上单调递减当b11，即b2时，f(x)，所以函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递减14已知函数f(x)ln(x2)(a为常数且a0)(1)求f(x)的导数f (x)；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)在x0处取得极值，且x0e2，e32，而f(x)0在e2，e32上恒成立，求实数a的取值范围(其中e为自然对数的
10、底数)解析：(1)f (x).(2)f (x)(x1)2(a1)，f(x)的定义域为x(2，)，当x2时，x20，当a0时，(x1)2(a1)x(x2)a0在x2时成立当x2时f (x)恒大于0，故f(x)在(2，)上是增函数；当a0时，f (x)(x1)(x1)，x2，x10，a(x2)0.当x1时， f (x)0，f(x)为减函数；当2x1时， f (x)0，f(x)为增函数综上所述：当a0时， f(x)在(2，)上为增函数；a0时， f(x)在2,1)上为增函数，在1，)上为减函数(3)由(2)知x0处有极值，故a0且x01.x0e2，e32且e22，f(x)在e2，e32上单调递调当e
11、2，e32为增区间时，f(x)0恒成立，则有ae62e3；当e2，e32为减区间时，f(x)0恒成立，则有无解综上所述：当ae62e3时满足条件15(2009陕西)已知函数f(x)ln(ax1)，x0，其中a0.(1)若f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围解析：(1)f (x)，f(x)在x1处取得极值，f (1)0，即a12a20，解得a1.(2)f (x)，x0，a0，ax10.当a2时，在区间(0，)上f (x)0，f(x)的单调增区间为(0，)当0a2时，由f (x)0解得x，由f (x)0解得x，f(x)的单调减
12、区间为(0，)，单调增区间为(，)(3)当a2，由(2)知，f(x)的最小值为f(0)1；当0a2时，由(2)知，f(x)在x处取得最小值f()f(0)1，综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是2，)16(2009宁夏、海南)已知函数f(x)(x33x2axb)ex.(1)若ab3，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(，)，(2，)上单调增加，在(，2)，(，)上单调减少，证明6.解析：(1)当ab3时，f(x)(x33x23x3)ex，故f (x)(x33x23x3)ex(3x26x3)exex(x39x)x(x3)(x3)ex.当x3或0x3时，f (x)0；当3x0或x3时，f (x)0.从而f(x)在(，3)，(0,3)上单调增加，在(3,0)，(3，)上单调减少(2)f (x)(x33x2axb)ex(3x26xa)exexx3(a6)xba由条件得：f (2)0，即232(a6)ba0，故b4a.从而f (x)exx3(a6)x42a因为f ()f ()0，所以x3(a6)x42a(x2)(x)(x)(x2)x2()x将右边展开，与左边比较系数得，2，a2，故.又(2)(2)0，即2(4)0.由此可得a6.于是6.