1、高三质量检测理科数学第卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由集合，能求出AB【详解】集合,又，AB=0，1.故选：C.【点睛】本题考查交集及其运算，结合函数定义域、值域知识的考查，属于基础题.2.在复平面内，若复数所对应的点位于第一象限，则的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据复数的幂运算规律，分别计算时z所对应的点位于的象限，可得满足条件，求出最小值即可.【详解】复数，当时,此时，z的对应点在实轴
2、上，当时,此时,z的对应点在第四象限，当时,此时,z的对应点在实轴，当时,此时,z的对应点在第一象限，当时取得最小值3，故选:C.【点睛】本题考查复数的幂运算及复数的几何表示，属于基础题.3.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析给定四个函数的奇偶性和单调性，可得答案【详解】函数是偶函数，定义域，不满足条件；函数是奇函数，不满足条件；函数是偶函数,在内单调递增，满足条件；函数是偶函数,又定义域，不满足条件；故选：C.【点睛】本题考查函数单调性的判断及函数奇偶性的判断，考点为从函数解析式看函数的基本性质，属于基础题.4.在等比数列中
3、，“”是“，是方程的两根”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由韦达定理可得，且a2和a10均为负值，由等比数列的性质可得，故必要性满足充分性不满足.【详解】由，是方程的两根，a2和a10均为负值，由等比数列的性质可知a6为负值,且，故“”是“，是方程的两根”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查充分条件、必要条件，根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质、二次方程根与系数关系等进行判断即可，属于基础题.5.设变量，满足约束条件，则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题
4、主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，然后分析的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解【详解】x，y满足的约束条件表示的平面区域如图为三角形表示的区域，A,C坐标为，而,设点N，表示斜率，由图可知位置斜率最小为，位置斜率最小为，所以，故选：A【点睛】本题考查简单线性规划，先画出约束条件的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解，属于基础题.6.九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为7步，股（长直角边）长为24步，问该
5、直角三角形的容圆（内切圆）直径为多少步？”现若向此三角形内投米粒，则米粒落在其内切圆内的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，然后分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率公式即可求出所求【详解】由题意，可得直角三角形，斜边长为25，由等面积，可得内切圆半径，向此三角形内投米，则落在其内切圆内的概率是，故选：B.【点睛】本题考查几何概型求概率，分别计算出所求面积与总面积作比即可，涉及平面几何知识的应用，属于基础题.7.已知函数，若，则，的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由分段
6、函数的性质分析可得f（x）为在定义域的减函数，又由，分析可得答案【详解】因为函数，当且单调递减，当且单调递减，为单调递减的奇函数，.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的单调性与函数值大小比较，此类问题先判断函数的单调性，再根据自变量的大小关系确定答案，自变量为指对数时可以化同底或者利用特殊值判断大小，属于中等题.8.已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的最大值为( )A. 12B. 10C. 8D. 4【答案】B【解析】【分析】如图所示，设椭圆的下焦点为F，|MF|+|MF|=2a=6，利用|MA|-|MF|AF|，的周长为最大值时取得最大值即可得出【详解】如图所示, 设
7、椭圆的下焦点为,则，,当且仅当A,F,M共线且F线段上时等号成立,的周长为，所以的周长的最大值为，此时，故选：B【点睛】本题考查椭圆的简单性质，解题关键是数形结合，根据三角形的三边性质及椭圆几何性质可得最值，属于中等题.9.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用截面圆的性质即可求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离，即可计算出三棱锥的体积【详解】因为ABC是边长为6的正三角形,所以ABC外接圆的半径r=，为球的直径，且，球半径R=4，所以点O到平面ABC的距
8、离，SC为球O的直径,点S到平面ABC的距离为2d=4，此棱锥的体积为，故选C.【点睛】本题考查外接球问题及棱锥的体积计算，外接球问题一般构造直角三角形利用勾股定理解决，棱锥的体积计算需要求出高及底面积代入公式即可，属于简单题.10.已知函数的最小正周期为，对称轴为，且函数的图象与函数的图象在轴上有交点，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】函数的最小正周期为，可得，的对称轴为，可得，函数的图象与函数的图象在轴上有交点，可得，利用同角三角函数关系可解出，利用诱导公式可得值.【详解】函数的最小正周期为，可得，函数的对称轴为，可得，则，函数的图象与函数的图象在轴上的交点分别为：
9、，所以，可得，利用诱导公式化简可得，又，联立可得：，故选：D.【点睛】本题考查三角函数图象及性质，属于综合题，涉及到知识点包括三角函数周期性、对称性、诱导公式、同角三角函数关系等等，属于中等题.11.已知，是双曲线的两个焦点，点是双曲线的右顶点，是双曲线渐近线上一点，满足，若以为焦点的抛物线经过点，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】设F1（-c，0），F2（c，0），由MF1MF2以及点M（x0，y0）在直线上，列出方程，根据抛物线的定义可知|MA|=x0+a=2a，然后最后求解双曲线的离心率即可【详解】设F1（-c，0），F2（c，0），A(a,0
10、)，M（x0，y0），由可知，又点M（x0，y0）在直线上，所以，解得，所以M（a，b），轴，于是根据抛物线的定义可知，所以b=2a，即，由，则双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，涉及抛物线的基本性质，圆锥曲线问题的基本思路是利用题目条件得出a、b、c的等量关系，确定离心率，属于简单题.12.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f（x）0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围【详解】由函数，且f(x)在区间上单调递减，在区间上,f(x)=sin2x+3a(cosx
11、sinx)+2a10恒成立，设，当x时,t1,1，即1cosxsinx1，令t1,1,sin2x=1t20,1，原式等价于t2+3at+2a20，当t1,1时恒成立，令g(t)=t2+3at+2a2，只需满足或或，解得或或，综上，可得实数a的取值范围是，故选：A.【点睛】本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.第卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应题的横线上.13.已知，若向量与共线，则在方向上的投影为_.【答案】【解析】【分析】根据向量共线求出，计算在及夹
12、角余弦值，代入投影公式即可【详解】因为，向量与共线，可得，得则，设与的夹角为，则，则在方向上的投影为：，故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算及向量的投影，解题关键是灵活掌握向量共线定理及向量投影公式，属于基础题.14.的展开式中各项系数之和为，则该展开式中的系数为_.【答案】-48【解析】【分析】令x=1，解得a=1，再利用的通项公式，进而得出【详解】令x=1,=2，解得a=1.又的通项公式，令52r=3，52r=5.解得r=1，r=0.该展开式中的系数为=80+32=48，故答案为：48.【点睛】本题考查二项式定理的应用，根据通项公式求系数，属于中等题.15.若直线被圆截得的弦长
13、为，则的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】先求圆的圆心和半径，求弦心距，用弦心距、半径、半弦长的关系得到a、b关系，再通过均值不等式求的最小值【详解】圆的圆心坐标(1,1),半径是1,直线被圆截得的弦长为，所以直线过圆心，即：ab+3=0,a+b=3,因为a0,b0，将a+1+b=4代入得,，当且仅当a+1=b时等号成立.故答案为：1.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及基本不等式的应用，综合性强，难度中等.16.对于数列，定义为的“优值”.现已知某数列的“优值”为 ，记数列的前项和为，若对一切的，都有恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】本题可根据优值Hn的特点构造数列b
14、n：令bn=2n-1an，nN*，然后可通过先求出数列bn的通项公式来求出数列an的通项公式，再可根据数列an的通项公式写出数列的前n项和Sn的表达式，根据Sn为递增数列转化为求Sn最值问题，由此可得m的取值范围【详解】由题意，可知对于数列:.可构造数列:令,nN.设数列的前n项和为Tn.nN.当n=1时,；当n2时,.由,可得：，nN.，nN.数列是以4为首项，2为公差的等差数列.对于数列通项为:，令，则单调递增，当，则恒成立，故答案为：.【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到的知识有递推公式求通项、裂项相消求和、函数单调性及最值思想，属于综合题，题目较复杂计算量大，属于难题.三、解答题：共
15、70分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.内角，的对边分别为，已知的外接圆半径为，且.（1）求；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据可得，即可求出角A；（2）由（1）可得，利用及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得，最后利用正切和角公式代入，可求出结果.【详解】（1），由正弦定理得：，即，即得，.（2）由（1）知：，由余弦定理得：.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的
16、互化，属于中等题.18.已知平面，分别为，上的点，且，.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明BC平面PAB，可得BCAD，证明AD平面PBC，得PCAD，再证明PC平面ADE，即可证明PCDE；（2）过点B作BEAP，则BZ平面ABC，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，根据PC平面ADE，可得是平面ADE的一个法向量，从而向量与所成的角的余弦值的绝对值为，可求PA的值，利用题目条件求出平面的一个法向量，利用夹角公式可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为平面
17、，又，平面，.又，平面，.又，平面，.（2）过点作，则平面，如图所示分别以，所在直线轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设，则，因为平面，是平面的一个法向量，向量与所成的角的余弦值的绝对值为，又，.在中，又，为中点，设平面的一个法向量为，则，又是平面的法向量，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间垂直关系的证明与二面角所成平面角的计算，考查空间推理能力与空间建模思想，对学生计算求解能力要求较高，属于中等题.19.某校高三期中考试后，数学教师对本次全部学生的数学成绩按120进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分
18、数段（分）总计频数频率0.25（1）求表中，的值及成绩在范围内的样本数；（2）从成绩在内的样本中随机抽取4个样本，设其中成绩在内的样本个数为随机变量，求的分布列及数学期望；（3）若把样本各分数段的频率看作总体相应各分数段的概率，现从全校高三期中考试数学成绩中随机抽取5个，求其中恰有2个成绩在内的概率.【答案】（1），成绩在，范围内的样本数分别为2人，3人；（2）分布列见解析，；（3）.【解析】【分析】（1）由茎叶图知成绩在50，70）范围内的有2人，成绩在有人，在有人，即，根据茎叶图数据作差可得出成绩在范围内的样本数；（2）由茎叶图知成绩在内的共有8人，其中成绩在内的共有3人，于是X的可能取值
19、为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望E（X）；（3）该校高三期中考试数学成绩在的概率为，设随机抽取5个，其中恰有2个成绩在的事件为，由二项分布概率公式能求概率【详解】（1）由茎叶图知成绩在范围内的有人，得，在有人，在有人，即，在范围内的样本数为人，在范围内的样本数为人；（2）由茎叶图知成绩在内的共有人，其中在内的共有人，于是的可能取值为0，1，2，3.得，.得的分布列为：故.（3）该校高三期中考试数学成绩在的概率为，设随机抽取5个，其中恰有2个成绩在的事件为，则根据题设有.【点睛】本题考查茎叶图、频率分布直方表、离散型随机变量及其分布列、期望等知识，考点较多，考
20、查学生分析求解能力，属于中等题.20.过点做圆的切线，切点分别为，.直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上一点，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用圆的切线的性质即可求直线方程，可得椭圆的右顶点和上顶点，进而即可得到椭圆的方程；（2）设出点Q的坐标，易求得、方程，求得M、N坐标即可得出，代入关系式，利用Q点满足椭圆方程，化简即可证明【详解】（1）因为点在圆外，所以，且，连结，.由题意知，其中一个切点为，所以直线的方程，所以椭圆的方程为.（2）设，则，方程为，令，同理，方程为，令，由于点在椭圆上，所
21、以，.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题，求椭圆方程一般思路是根据题意列关系式解a、b，椭圆中定值问题一般思路为设参数、代入求值、消参、定值出现，但是过程复杂且计算量大，属于中等题.21.已知函数，.曲线在处的切线平行于轴.（1）讨论的单调性；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）对求导，根据题意可得，即可得到解析式，在上单增，且，可得在上单调递减，在上单调递增；（2）令，不等式转化为，对求导进行分类讨论可得实数的取值范围.【详解】（1），由题意，.，在上单增，且，时，时，所以在上单调递减，在上单调递增.（2
22、）令，即恒成立，必有.，.（i）当时，恒成立，在单调递增，满足题意，所以.（ii）当时，由得，由得，在单调递减，在单调递增.又，所以当时恒成立，在上单调递减.而，时与恒成立不符，不满足题意.综上所述，的取值范围.【点睛】本题考查导数的应用问题，利用导数求参数、利用导数求单调性、利用导数研究不等式恒成立参数取值问题，难点为求参数取值范围问题，此类问题通常利用构造函数法将问题转化，利用分类讨论方法求新构造的函数最值存在时参数的取值范围，属于难题.请考生在2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修44：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参
23、数，）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线经过点，与曲线交于，两点，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）等式两边同时乘，再利用极坐标与直角坐标关系x=cos，y=sin，即可得曲线的直角坐标方程；（2）由直线经过点，得，可求出直线的参数方程，代入，利用韦达定理及弦长公式可得.【详解】（1）由得：，即曲线的直角坐标方程为.（2）由直线经过点，得，可得直线的参数方程为，代入，得，设方程两根为，则，.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的转化及圆锥曲线弦长问题，极坐标方程利用公式进
24、行转化即可得到直角坐标方程，圆锥曲线弦长问题通常联立求出利用韦达定理代入弦长公式即可，属于中等题.选修45：不等式选讲23.设函数，.（1）求不等式的解集；（2）若，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）两边平方求出不等式的解集即可；（2）通过讨论x的范围，去掉绝对值，分离参数a，结合x的范围从而求出a的范围即可【详解】（1）由两边平方得：即，解得，或，不等式的解集为（2），当时，即在上有解，故，当时，不成立，当时，即在上有解，故，当时，即在上有解，故，综上：或.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及不等式能成立问题参数取值问题，解绝对值不等式一般利用分类讨论或者平方法去绝对值求解，不等式能成立问题参数取值问题综合性较强，可以用分离参数法转化为求函数最值问题，属于中等题.