1、3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时过关能力提升基础巩固1(6-2i)-(3i+1)等于()A.3-3iB.5-5iC.7+iD.5+5i解析(6-2i)-(3i+1)=(6-1)+(-2-3)i=5-5i.故选B.答案B2若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析z+i-3=3-i,z=(3-i)-(i-3)=(3+3)+(-i-i)=6-2i,故选D.答案D3在复平面内,已知点A对应的复数为2+3i,向量OB对应的复数为-1+2i,则向量BA对应的复数为()A.1+5iB.3+iC.-3-iD.1+i解析因为B
2、A=OA-OB,所以BA对应的复数为(2+3i)-(-1+2i)=(2+1)+(3-2)i=3+i.故选B.答案B4若z1=2+i,z2=3+ai(aR),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1解析z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.z1+z2所对应的点在实轴上,1+a=0.a=-1.答案D5若在复平面内的ABCD中,AC对应复数6+8i,BD对应复数-4+6i,则DA对应的复数是()A.2+14iB.1+7iC.2-14iD.-1-7i解析设AB,AD对应的复数分别为z1与z2,则有z1+z2=6+8i,z2-z1=-4
3、+6i,得2z2=2+14i,z2=1+7i,故DA对应的复数是-1-7i.答案D6已知复数z1=3+2i,z2=1-3i,则复数z=z1-z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的第象限.答案一7已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i(mR).若z1-z2=0,则m=.解析z1-z2=(m2-3m+m2i)-4+(5m+6)i=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i=0,m2-3m-4=0,m2-5m-6=0.m=-1.答案-18已知z1=32a+(a+1)i,z2=-33b+(b+2)i(a,bR).若z1-z2=43,则a+b=.解析z1-z2=32a+(a+1)i-33b
4、+(b+2)i=32a+33b+(a-b-1)i=43,由复数相等的条件,知32a+33b=43,a-b-1=0,解得a=2,b=1.故a+b=3.答案39若|z-1|=1,试说明复数z对应点的轨迹.分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解.解根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|=1表示复数z对应的点到点(1,0)的距离为1,所以复数z对应的点的轨迹是以点(1,0)为圆心,以1为半径的圆.能力提升1已知复数z1=12-32i,复数z2=cos 60+isin 60,则z1+z2等于() A.1B.-1C.12-32iD.12+32i答案A2已知z1=3-4i,z2=-5+2i,z1
5、,z2对应的点分别为P1,P2,则P2P1对应的复数为()A.-8+6iB.8-6iC.8+6iD.-2-2i解析由复数减法的几何意义知:P2P1对应的复数为z1-z2=3-4i-(-5+2i)=(3+5)+(-4-2)i=8-6i,故选B.答案B3已知A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点.若|z1+z2|=|z1-z2|,则AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析因为|z1+z2|=|z1-z2|,所以由复数加减运算的几何意义知,以OA,OB为邻边的平行四边形是矩形,故AOB是直角三角形.答案B4已知zC,|z-2|=1,则|z+
6、2+5i|的最大值和最小值分别是()A.41+1和41-1B.3和1C.52和34D.39和3解析由|z-2|=1知z对应的点在以(2,0)为圆心,半径为1的圆上,而|z+2+5i|=|z-(-2-5i)|表示z对应的点到点(-2,-5)的距离.而圆心(2,0)与(-2,-5)间的距离为41,故最大值为41+1,最小值为41-1.答案A5已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=3,则|z1-z2|=.解析在平面直角坐标系内以原点O为起点作出z1,z2对应的向量OZ1,OZ2,则向量OZ对应z1+z2,Z2Z1对应z1-z2.由题意知|OZ1|=1,|OZ2|=1,|OZ|=3,可得OZ
7、1Z=120,所以Z2OZ1=60,即Z2OZ1是等边三角形.所以在Z2OZ1中,|Z2Z1|=1,即|z1-z2|=1.答案16已知集合A=z1|z1+1|1,z1C,B=z2|z2=z1+i+m,z1A,mR.(1)当AB=时,求实数m的取值范围;(2)是否存在实数m,使得AB=A?解因为|z1+1|1,所以z1所对应的点构成的集合A是以(-1,0)为圆心,以1为半径的圆面(圆周及其内部).又z2=z1+i+m,所以z1=z2-i-m.所以|z2-i-m+1|1,即|z2-(m-1)+i|1.所以z2所对应的点的集合B是以点(m-1,1)为圆心,1为半径的圆面(圆周及其内部).(1)若AB
8、=,说明上述两圆外离,其圆心距d=(m-1+1)2+122,解得m的取值范围是m|mR,且m3或m-3.(2)若AB=A,因为两圆半径相等,所以两圆重合,但由圆心的坐标(-1,0)及(m-1,1)可知它们不可能重合,所以不存在实数m,使AB=A.7在复平面内,复数z1对应的点在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,设复数z2对应的点在以原点为圆心,半径为1的圆周上移动,求复数z1+z2对应的点在复平面上移动的范围的面积.解设=z1+z2,则z2=-z1,所以|z2|=|-z1|.因为|z2|=1,所以|-z1|=1.此式说明对于给定的z1,对应的点在以z1对应的点为圆心,1为半径的圆上运动.
9、又z1对应的点在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,所以对应点的移动范围的面积为S=22+12=4+,即复数z1+z2对应的点在复平面上移动的范围的面积是4+.8已知复数z1=1-2i和z2=4+3i分别对应复平面内的A,B两点.求:(1)A,B两点间的距离;(2)线段AB的垂直平分线方程的复数形式,并化为实数表示的一般形式.解(1)|AB|=|z2-z1|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|=34.(2)线段AB的垂直平分线上任一点Z到A,B两点的距离相等,设点Z对应的复数为z,由复数模的几何意义,知|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|.设z=x+yi(x,yR),代入上式,知|(x-1)+(y+2)i|=|(x-4)+(y-3)i|,即(x-1)2+(y+2)2=(x-4)2+(y-3)2.整理上式可得线段AB的垂直平分线的方程为3x+5y-10=0.所以线段AB的垂直平分线方程的复数形式为|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|,实数表示的一般形式为3x+5y-10=0.