1、1.2 导数的计算1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时过关能力提升基础巩固1 函数 f(x)=0 的导数是()A.0B.1C.不存在D.不确定答案 A2 已知 f(x)=x,f(-1)=-4,则=()A.4B.-4C.5D.-5解析f(x)=(x)=x-1,f(-1)=(-1)-1.又 f(-1)=-4,(-1)-1=-4.将各选项代入检验,知当=4 时等式成立.故选 A.答案 A3 已知曲线 y=f(x)=x3在某点处的切线的斜率等于 9,则这样的点()A.有一个B.有两个C.多于两个D.不能确定解析f(x)=3x2,令 3x2=9,得
2、x=.可得切点坐标为(,3)和(-,-3).故满足条件的点有两个.答案 B4y=cos x 在 x=处的切线斜率为()A.B.-C.-D.解析y=(cos x)=-sin x,y =-sin =-.答案 C5 曲线 y=ln x 在点 M(e,1)处的切线的斜率是 ,切线方程为 .解析y=(ln x)=,y|x=e=.切线方程为 y-1=(x-e),即 x-ey=0.答案 x-ey=06 若函数 f(x)=logax,f(1)=-1,则 a=.解析f(x)=,f(1)=-1.ln a=-1.a=.答案 7 曲线 y=sin x 在点()处的切线方程为 .解析因为 y=(sin x)=cos x
3、,所以 y .所以切线方程为 y-(-),即 x-2y+=0.答案 x-2y+=08 求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=log4x;(3)y=.解(1)y=()=(x-4)=-4x-5=-.(2)y=(log4x)=.(3)y=()=()=-.9 若质点 P 的运动方程是 s=(s 的单位为 m,t 的单位为 s),求质点 P 在 t=8 s 时的瞬时速度.分析求质点 P 在 t=8 s 时的瞬时速度,根据瞬时速度的概念以及幂函数导数的求法知,求瞬时速度即是求在 t=8 s 时的导数.解s=()=()=-,s|t=8=-2-1=.故质点 P 在 t=8 s 时的瞬时速度为 m/s.能力提
4、升1 下列结论正确的个数为()若 y=ln 2,则 y=;若 y=,则 y|x=3=-;若 y=2x,则 y=2xln 2;若 y=log2x,则 y=.A.0B.1C.2D.3解析y=ln 2 为常数,所以 y=0,错;均正确,直接利用公式即可验证.答案 D2 曲线 y=ex在(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B.2e2C.e2D.解析因为 y=ex,所以 y|x=2=e2.所以切线方程为 y-e2=e2(x-2),即 y=e2x-e2.当 x=0 时,y=-e2;当 y=0 时,x=1,所以所围成的三角形的面积 S=1|-e2|=.答案 D3 若函数 y=f(x
5、)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3答案 A4 正弦曲线 y=sin x(x(0,2)上切线的斜率等于 的切点坐标为 .解析设切点坐标为(x0,y0)(x0(0,2),则由题意可得 cos x0=,所以 x0=,y0=或 x0=,y0=-.故切点坐标为()或(-).答案()或(-)5 已知 P,Q 为抛物线 x2=y 上的两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过点 P,Q 分别作抛物线的切线,两条切线交于点A,则点 A 的纵坐标为 .解析由已
6、知可设 P(4,y1),Q(-2,y2),点 P,Q 在抛物线 x2=y 上,-即 P(4,16),Q(-2,4),如图所示.又抛物线为 y=x2,y=2x.过点 P 的切线斜率为 y|x=4=8.过点 P 的切线方程为 y-16=8(x-4),即 y=8x-16.又过点 Q 的切线斜率为 y|x=-2=-4,过点 Q 的切线方程为 y-4=-4(x+2),即 y=-4x-4.联立 -得 -故点 A 的纵坐标为-8.答案-86 设曲线 y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,若 an=lg xn,则 a1+a2+a99的值为 .解析曲线 y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线斜率 k=y|x=1=(n+1)1n=n+1,则曲线在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1).令 y=0,得 xn=.an=lg .a1+a2+a99=lg +lg +lg =lg()=lg =-2.答案-27 已知直线 y=kx 是曲线 y=ln x 的一条切线,试求 k 的值.解设直线 y=kx 与曲线 y=ln x 相切时的切点坐标为(x0,y0).y=ln x,y=,y =k.点(x0,y0)既在直线 y=kx 上,也在曲线 y=ln x 上,把 k=代入式得 y0=1,再把 y0=1 代入式得 x0=e.k=.
