1、2.4.2 抛物线的简单几何性质课时过关能力提升基础巩固1 抛物线 2y=3x2的准线方程为()A.y=-B.y=-C.y=-D.y=-1解析:抛物线的标准方程为 x2=y,准线方程为 y=-.答案:A2 以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点,且与 x 轴垂直的弦)长为 8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x 或 y2=-8xD.x2=8y 或 x2=-8y解析:抛物线的通径为 2p=8,且以 x 轴为对称轴,其方程为 y2=8x 或 y2=-8x.答案:C3 顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程是
2、()A.x2=3yB.y2=6xC.x2=12yD.x2=6y答案:C4 如图,已知点 Q(2,0)及抛物线 y=上的动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是()A.2 B.3C.4 D.2 解析:如图所示,过点 P 作 PM 垂直抛物线的准线于点 M,则由抛物线的定义可知 y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,当且仅当 P,F,Q 三点共线时,|PF|+|PQ|最小,由 F(0,1),Q(2,0),得最小值为|QF|=-=3.故 y+|PQ|的最小值为 3-1=2.答案:A5 过抛物线 y2=2px(p0)的焦点作一条直线,交抛物线于点 A(x1,y1),B(x
3、2,y2),则 为()A.4B.-4C.p2D.-p2解析:(方法一)特例法:当直线垂直于 x 轴时,A(),B(-)-=-4.(方法二)由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得 y1y2=-p2,则 -=-4.答案:B6 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=()A.2 B.2 C.4D.2 解析:由抛物线定义,知 +2=3,即 p=2,抛物线方程为 y2=4x.因为点 M(2,y0)在抛物线上,所以 y0=2,故|OM|=2.答案:B7 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过点 F 且
4、与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为()A.y=x-1 或 y=-x+1B.y=(x-1)或 y=-(x-1)C.y=(x-1)或 y=-(x-1)D.y=(x-1)或 y=-(x-1)答案:C8 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=7,则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为 .解析:抛物线的焦点为(1,0),准线方程为 x=-1,p=2.由抛物线的定义,知|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+=x1+x2+p,即 x1+x2+p=7,故 x1+x2=5.于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为
5、,因此点 M 到抛物线准线的距离为 +1=.答案:9 若双曲线 =1(p0)的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则 p=.答案:410 求抛物线 y=x2上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离.解:设抛物线 y=x2上一点 P(x0,y0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 d,则 d=-=|(-)|.当 x0=时,dmin=.11 过点(-3,2)的直线与抛物线 y2=4x 只有一个公共点,求此直线方程.解:因为当 k 不存在时,直线方程为 x=-3 与抛物线无交点,所以直线斜率 k 存在,设直线方程为 y-2=k(x+3),由-消去 x,整理得ky2-4y+8+12k=0.(1)
6、当 k=0 时,方程化为-4y+8=0,即 y=2,此时过点(-3,2)的直线方程为 y=2,满足条件.(2)当 k0 时,方程应有两个相等的实根,所以 即 -解得 k=或 k=-1.则直线方程为 y-2=(x+3)或 y-2=-(x+3),即 x-3y+9=0 或 x+y+1=0.由(1)(2)可知所求直线有三条,其方程分别为 y=2 或 x-3y+9=0 或 x+y+1=0.能力提升1 已知直线 y=kx-k 及抛物线 y2=2px(p0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析:直线 y=kx-k
7、=k(x-1),直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线 y2=2px 的内部,当 k=0 时,直线与抛物线有一个公共点;当 k0 时,直线与抛物线有两个公共点.答案:C2 直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y2=x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的中点到直线 x+=0 的距离等于()A.B.2C.D.4解析:直线 4kx-4y-k=0,即 y=k(-),即直线 4kx-4y-k=0 过抛物线 y2=x 的焦点().设 A(x1,y2),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+=4,即 x1+x2=,则弦 AB 的中点的横坐标是 ,故弦 AB 的中点到直线 x+=0
8、的距离是 .答案:C3 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上,且|AK|=|AF|,则AFK的面积为()A.4B.8C.16D.32解析:抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2,K(-2,0).设 A(x0,y0),如图所示,过点 A 向准线作垂线,垂足为 B,则 B(-2,y0).|AK|=|AF|,且|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得 =(x0+2)2,即 8x0=(x0+2)2,解得 x0=2,y0=4.AFK 的面积为|KF|y0|=44=8.答案:B4 过
9、抛物线 y=x2的准线上任意一点作抛物线的两条切线,若切点分别为 M,N,则直线 MN 过定点()A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)解析:y=x2可化为 x2=4y,则抛物线的准线方程为 y=-1.取准线上的特殊点(0,-1),并设过点(0,-1)与抛物线相切的切线方程为 y+1=kx,代入到 x2=4y 中并消去 y,得 x2-4kx+4=0.令=(-4k)2-16=0,则 k=1.求得 M,N 的坐标分别为(2,1),(-2,1).结合选项可知直线 MN 必过点(0,1).答案:D5 若抛物线过点(1,2),则抛物线的标准方程为 .解析:当焦点在 x 轴正半轴时,
10、设其方程为 y2=2p1x(p10),则 4=2p1,即 p1=2,故抛物线的标准方程为 y2=4x.当焦点在 y 轴正半轴时,设其方程为 x2=2p2y(p20),则 1=4p2,即 p2=,故抛物线的标准方程为 x2=y.答案:y2=4x 或 x2=y6 设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则点 B 到该抛物线准线的距离为 .解析:如图所示,由已知可得点 B()在抛物线 y2=2px 上,即 1=2p ,故 p=.故 B(),准线为 x=-.因此,点 B 到准线的距离为 .答案:7 抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-
11、8=0 的距离的最小值是 .解析:设 P(x,-x2)为抛物线上任一点,则点 P 到直线 4x+3y-8=0 的距离d=-|-3x2+4x-8|=|-(-)-|,故当 x=时,d 取最小值,为 .答案:8 过点 A(-2,-4)作倾斜角为 的直线,交抛物线 y2=2px(p0)于 M,N 两点,且|AM|,|MN|,|AN|成等比数列,求抛物线的方程.解:设 M(x1,y1),N(x2,y2),则由题意知 MN 的方程为 y=x-2.由 -消去 x,得 y2-2py-4p=0,故 y1+y2=2p,y1y2=-4p.又根据|AM|AN|=|MN|2,可得(y1+4)(y2+4)=(y1-y2)
12、2,即 5y1y2+4(y1+y2)+16=(y1+y2)2,即 p2+3p-4=0,解得 p=1 或 p=-4(舍去).故所求抛物线的方程为 y2=2x.9 已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A,B 两点.(1)求证:OAOB.(2)当OAB 的面积等于 时,求 k 的值.(1)证明如图所示,由 -消去 x 得,ky2+y-k=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1y2=-1,y1+y2=-.因为 A,B 在抛物线 y2=-x 上,所以 =-x1,=-x2.所以 =x1x2.因为 kOAkOB=-1,所以 OAOB.(2)解:设直线与 x
13、轴交于点 N,显然 k0.令 y=0,得 x=-1,即 N(-1,0).因为 SOAB=SOAN+SOBN=|ON|y1|+|ON|y2|=|ON|y1-y2|,所以 SOAB=1 -=(-).因为 SOAB=,所以 ,解得 k=.10 已知 A,B 是抛物线 x2=2py(p0)上的两个动点,O 为坐标原点,非零向量 满足|=|.(1)求证:直线 AB 经过一定点;(2)当线段 AB 的中点到直线 y-2x=0 的距离的最小值为 时,求 p 的值.(1)证明|=|,OAOB.设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 =2py1,=2py2.经过 AB 两点的直线方程(x
14、2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),由 y1=,y2=,得(x2-x1)(y-y1)=(-)(x-x1).x1x2,y-y1=(x-x1).令 x=0 得 y-y1=(-x1),y=-.OAOB,x1x2+y1y2=0.x1x2+=0.x1x20(否则 中有一个为零向量),x1x2=-4p2代入得 y=2p.直线始终经过定点(0,2p).(2)解:设线段 AB 中点的坐标为(x,y),则 x1+x2=2x,y1+y2=2y.故 =2py1+2py2=2p(y1+y2).=(x1+x2)2-2x1x2=(x1+x2)2+8p2,4x2+8p2=4py,即 y=x2+2p.线段 AB 的中点到直线 y-2x=0 的距离 d=-,将代入得 d=|-|-|-.又 d 的最小值为 ,.p=2.