1、山东省宁阳县第四中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1.复数的虚部为（ ）A. B. C. 3D. -7【答案】C【解析】【分析】先求得，再利用复数运算法则，化简复数后，求其虚部即可.【详解】因为，故，故其虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘法运算，复数的模长求解，以及虚部的辨识，属综合基础题.2.为了了解某高校学生喜欢使用手机支付是否与性别有关，抽取了部分学生作为样本，统计后作出如图所示的等高条形图，则下列说法正确的是（ ）A. 喜欢使用手机支付与性别无关B. 样本中男生喜欢使用手机支付的约C. 样本中女生喜欢使用手机支
2、付的人数比男生多D. 女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些【答案】D【解析】【分析】根据等高条形图可得喜欢使用手机支付与性别有关，样本中男生喜欢使用手机支付的约为40%，女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些，由于不知道男女生人数，所以不能认定女生喜欢使用手机支付的人数是否比男生多.【详解】A错误，根据等高条形图，喜欢和不喜欢使用手机支付比例因性别差距很明显，所以喜欢使用手机支付与性别有关；B错误，样本中男生喜欢使用手机支付的约为40%；女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些，由于不知道男女生人数，所以不能认定女生喜欢使用手机支付的人数是否比男生多.所以C错误，D正确.故选：D【点睛】此题考
3、查等高条形图的辨析，根据条形图认识喜欢使用手机支付与性别的关系，关键在于准确识图正确辨析.3.函数的导函数为，的图象如图所示，则关于的判断错误的是（ ）A. 在上单调递减B. 是函数的极小值点C. 在处的切线斜率小于零D. 是函数的极大值点【答案】D【解析】【分析】根据导函数图像可得，得出单调区间和极值点，即可得出结论.【详解】由图象可得，单调递减区间是，单调递增区间是，取得极小值，所以选项正确，选项错误.故选:D【点睛】本题考查导函数的应用，涉及到导数的几何意义、函数的单调性和极值，属于基础题.4.下列等式中，错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：计算每一选项的左右两
4、边，检查它们是否相等.详解：通过计算得到选项A,B,D的左右两边都是相等的.对于选项C,所以选项C是错误的.故答案为C.点睛：本题主要考查排列组合数的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本计算能力.5.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.详解：先排乙，有种，再排甲，有种，最后排剩余三人，有种因此共有，选D.点睛
5、：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题“间接法”； （5） “在”与“不在”问题“分类法”.6.若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（ ）A. B. C. D. 9【答案】C【解析】【分析】令x1可得其展开式各项系数的和为2n512，解得n9，进而可得其展开式的通项，在其中令x的指数为0，可得r的值为6，即可得其展开式中的常数项，即可得答案【详解】在中，令x1可得，其展开式各项系数的和是2n，又由题意，可
6、得2n512，解可得n9，则二项式的展开式的通项为Tr+1C9r（3x2）9r（）r（1）rC9r39rx183r，令183r0可得，r6，则其展开式中的常数项为第7项，即T7（1）6C963327C93.故选：C【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和，属于基础题7.设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知当时，有恒成立，可判断函数 为减函数，由是定义在R上的奇函数，可得g（x）为（-，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，结合g（
7、x）的图象，解不等式即可【详解】设则g（x）的导数为 当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）0，当x0时，函数为减函数，又，函数g（x）为定义域上的偶函数又 函数g（x）的图象如图：数形结合可得xf（x）0且，f（x）=xg（x）（x0）x2g（x）0g（x）0 0x1或-1x0 故选D【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题8.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数排除,当时,利用导数得在上递减,在上递增,根据单调性分析不正确,故只能选.【详解】令,则,所以函数为偶函数,其
8、图像关于轴对称,故不正确,当时,由,得,由,得,所以在上递减,在上递增,结合图像分析,不正确.故选:D【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）A. 若复数，则B. 复数满足，在复平面内对应的点为，则C. 若复数，满足，则D. 复数的虚部是3【答案】ABC【解析】【分析】直接运算可判断A；由复数的几何意义和复数模的概念可判断B；由共
9、轭复数的概念，运算后可判断C；由复数虚部的概念可判断D；即可得解.【详解】由，故A正确；由在复平面内对应的点为，则，即，则，故B正确；设复数，则，所以，故C正确；复数的虚部是-3，故D不正确.故选：A、B、C【点睛】本题综合考查了复数的相关问题，属于基础题.10.已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256B. 展开式中第6项的系数最大C. 展开式中存在常数项D. 展开式中含项的系数为45【答案】BCD【解析】【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和
10、为1024可得,则二项式为,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,又展开式的各项系数之和为1024,即当时,所以,所以二项式为,则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,故选: BCD【点睛】本题考查二项式的
11、定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.11.下列说法正确的是（ ）A. 某班位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，不同的结果共有种；B. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是；C. 某校名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取人；D. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是.【答案】CD【解析】【分析】根据选项涉及的概率、统计等相关性质进行逐一判断分析得解.【详解】对于A，第一个同学可以参加三个课外兴趣小组任意一个，有3种报名方法，同
12、理其他的三名学生也都有3种报名方法，则不同的报名方法有333381种，故A错；对于B，他们各自解出的概率分别是，则此题不能解出的概率为（1）（1），则此题能解出的概率为1，故B错；对于C，高级教师应抽取5020%10人，故C正确对于D，两位女生和两位男生站成一排照相，基本事件总数n24，两位女士不相邻包含的基本事件个数m12，两位女生不相邻的概率P，故D正确故选：CD【点睛】本题考查命题真假性的判断，涉及概率统计的计算，分层抽样的性质等知识点，属于基础题12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则下列命题正确的是（ ）A. 当时，B. 函数有3个零点C. 的解集为D. ，都有【答案】BCD【解
13、析】【分析】设，则，则由题意得，根据奇函数即可求出解析式，即可判断A选项，再根据解析式分类讨论即可判断B、C两个选项，对函数求导，得单调性，从而求出值域，进而判断D选项【详解】解：（1）当时，则由题意得， 函数是奇函数， ，且时，A错； ，（2）当时，由得，当时，由得， 函数有3个零点，B对；（3）当时，由得，当时，由得， 的解集为，C对；（4）当时，由得，由得，由得， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上有最小值，且，又 当时，时，函数在上只有一个零点，当时，函数的值域为，由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为， 对，都有，D对；故选：BCD【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查已知
14、奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，考查函数零点的定义及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，属于较难题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若，则曲线在点处的切线方程是_【答案】【解析】【分析】对函数进行求导，令求得，从而得到函数解析式，进一步求得，再由直线的点斜式方程并化简得到直线的一般方程【详解】，则，即，则曲线在点处的切线方程是，即故答案【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，由已知函数解析式求得，再得到函数的解析式是求解的关键14.近两年来，以中国诗词大会为代表的中国文化类电视节目带动了一股中国文化热潮.某台举办
15、闯关答题比赛，共分两轮，每轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰，若全部回答正确，就能获得一枚复活币并进行下一轮答题，两轮都通过就可以获得最终奖金.选手在第一轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮答题中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型.若某选手每轮的4类题型的通过率均分别为、，则该选手进入第二轮答题的概率为_；该选手最终获得奖金的概率为_.【答案】 (1). ； (2). .【解析】【分析】选手要进入第二轮答题，则第一轮要全部回答正确，根据相互独立同时发生的概率，即可求出其概率；该选手要获得奖金，须两轮都要过关，获
16、得奖金的概率为两轮过关的概率乘积，第二轮通过，答题中可能全部答对四道题，或答错其中一道题，分别求出概率相加，即可得出结论.【详解】选手进入第二轮答题，则第一轮中答题全部正确，概率为，第二轮通过的概率为，该选手最终获得奖金的概率为.故答案为:；.【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率以及互斥事件的概率，考查计算求解能力，属于中档题.15.汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有_种（用数字作答）.【答案】420【解析】【分析】根
17、据题意设五个区域分别为，再分两步讨论和的情况，最后由分步计数原理计算即可.【详解】由题意，假设五个区域分别为，对于区域，三个区域两两相邻，共有种情况；对于区域，若与颜色相同，则有3种情况，若与颜色不同，则有2种情况，有2种情况，共有种情况，所以共有种情况，则一共有种情况.故答案为：420【点睛】本题主要考查排列组合的应用和分步乘法计数原理的应用，属于基础题.16.已知定义域为的偶函数的导函数为，对任意，均满足：.若，则不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】先根据已知得出函数的单调性，再根据单调性解不等式.【详解】因为是上的偶函数，所以是上的偶函数， 在 上单调递增， ，即 解得 ，解集为.【
18、点睛】本题主要考查函数与单调性的关系，注意构造的新函数的奇偶性及单调性的判断.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分17.已知复数，（，是虚数单位）.（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.【答案】（1）； （2）13.【解析】【分析】（1）由复数在复平面上对应点落在的象限列不等式求解即可；（2）由虚数是实系数一元二次方程的根，则也是实系数一元二次方程的根，再结合根与系数的关系求解即可.【详解】解：（1）由条件得，因为在复平面上对应点落在第一象限，故有，即，即，解得.（2）因为虚数是实系数一元二次
19、方程的根，所以也是实系数一元二次方程的根，所以，即，把代入，则，所以.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了根与系数的关系，属基础题.18.在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有有理项的系数之和.【答案】（1）（2）-【解析】【分析】（1）由二项式定理展开式中的通项公式求出前三项，由前三项系数的绝对值成等差数列列方程即可求得，问题得解（2）由，对赋值，使得的指数为正数即可求得所有理项，问题得解【详解】（1）由二项式定理得展开式中第项为，所以前三项的系数的绝对值分别为1，由题意可得，整理得，解得或（舍去），则展开式中二项式系数
20、最大的项是第五项，（2）因，若该项为有理项，则整数，又因为，所以或或，所以所有有理项的系数之和为【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，考查分析能力，转化能力及计算能力，属于基础题19.已知函数当时，求的单调增区间；若在上是增函数，求得取值范围【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；（2）已知在区间（0，1）上是增函数，即在区间（0，1）上恒成立，然后用分离参数求最值即可【详解】（1）当时，所以，由得，或，故所求的单调递增区间为.（2）由，在上是增函数，所以在上恒成立，即恒成立，（当且仅当时取等号），所以，即.【点睛】本题考
21、查利用导数研究函数的单调性和对勾函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力20.改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.安全意识强安全意识不强合计男性女性合计（）求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；（）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1，完成22列联表，并判断
22、有多大把握认为交通安全意识与性别有关；（）在（）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数的分布列及期望.附：，其中0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（）.0.2（）见解析，有的把握认为交通安全意识与性别有关（）见解析，【解析】【分析】（）直接根据频率和为1计算得到答案.（）完善列联表，计算，对比临界值表得到答案.（）的取值为，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.【详解】（） ，解得.所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率.（）安全意识强安全意识不强合计男性163450女性44650合计2080100，所以有的把握认为交通安全意识
23、与性别有关（）的取值为 所以的分布列为期望.【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知函数.（1）若，证明：；（2）当时，判断函数有几个零点.【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】【分析】（1）时，对函数求导，求出函数的最大值，这样就可以证明出；（2）当时，对函数求导，列表求出函数的单调性与极值，根据单调性和极值情况，可以判断出函数的个数.【详解】（1）当时，.1+0-单调递增极大值单调递减函数的最大值为，即当，时，.（2）当时，.+0-单调递增极大值单调递减，函数在上只有一个零点.当时，函数在上只有一个零点.22.已知函数 （1）当
24、时，讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，证明: 【答案】（1）时，在单调递增；时，在区间，单调递增；在区间单调递减（2）见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，然后根据方程的判别式得到导函数的符号，进而得到函数的单调性；（2）由题意得到方程有两个根，故可得，且然后可得，最后利用导数可证得，从而不等式成立【详解】（1），当，即时，所以在单调递增； 当，即时，令，得，且，当时，；当时，；单调递增区间为，；单调递减区间为综上所述：当时，在单调递增；时，在区间，单调递增；在区间单调递减（2）由（1）得函数有两个极值点，方程有两个根，且，解得 由题意得 令，则，在上单调递减，【点睛】（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性时，若解析式中含有参数时，解题中一定要弄清参数对导函数在某一区间内的符号是否有影响，若有影响则必须进行分类讨论（2）解答第二问的关键在于求出的表达式后将问题转化，通过构造新函数并利用单调性可得结论成立