1、第二部分专题六第4讲专题训练二十四导数的综合应用一、解答题1(2020河南模拟)已知函数f(x)xex，g(x)(e1)x2xln xx.(1)求曲线yf(x)在点(1，e)处的切线方程；(2)证明：f(x)g(x)【解析】(1)解：由f(x)xex，得f(x)(x1)ex，则f(1)2e.又切点为(1，e)，曲线yf(x)在点(1，e)处的切线方程为ye2e(x1)，即2exye0；(2)证明：要证f(x)g(x)，即证xex(e1)x2xln xx，也就是证：e1令h(x)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递减，当x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递增h(x)h(
2、1)e.令(x)e1，则(x).当x(0,1)时，(x)0，(x)单调递增，当x(1，)时，(x)0，(x)单调递减(x)(1)e.h(x)(x)即f(x)g(x)2(2020安徽省十四校联盟段考)已知函数f(x)x2(2a2)x2aln x(a0)(1)当a1时，证明：f(x)有且只有一个零点；(2)求函数f(x)的极值【解析】(1)当a1时，f(x)x24x2ln x，定义域为(0，)，f(x)2x4220，f(x)在(0，)上单调递增，f(x)至多有一个零点又f(1)14030，则f(1)f(4)0，f(x)在(0，)上有且只有一个零点(2)由题意得，x(0，)，f(x)2x(2a2)，
3、当0a0，当x(a,1)时，f(x)0，函数f(x)在(0，a)和(1，)上单调递增，在(a,1)上单调递减，极大值为f(a)a2(2a2)a2aln aa22a2aln a，极小值为f(1)12a212a；当a1时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增，无极值；当a1时，当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，a)时，f(x)0，函数f(x)在(0,1)和(a，)上单调递增，在(1，a)上单调递减，极大值为f(1)12a，极小值为f(a)a22a2aln a.3(2020海东市模拟)已知函数f(x)a(aR)(1)若f(x)有三个不同的零点，求a的取值范围；(2)当x3时，不等式ex
4、f(x)(a3)x0恒成立，求a的取值范围【解析】(1)令f(x)a0，则a.设h(x)，则h(x)，令h(x)0，得0x2；令h(x)0，得x0或x2，则h(x)在(，0)和(2，)上单调递减，在(0,2)上单调递增，故h(x)极小值h(0)0，h(x)极大值h(2).故a的取值范围为.(2)不等式exf(x)(a3)x0，即x2aex(a3)x0，整理得a(exx)x23x.设g(x)exx，则g(x)ex1因为x3，所以g(x)e310，所以g(x)g(3)e330，则a.设m(x)，则m(x).因为x3，所以(3x)ex0，x2(ex1)0，所以m(x)0，所以m(x)在3，)上单调递
5、减，所以m(x)m(3)，故a，即a的取值范围是.4(2020北京昌平区期末)已知函数f(x)xx23ln x.(1)求曲线yf(x)的斜率为2的切线方程；(2)证明：f(x)2x2；(3)确定实数k的取值范围，使得存在x01，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1)【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，)由f(x)xx23ln x得f(x)12x.令f(x)2，即12x2，得x1，x(舍)又f(1)0，所以曲线yf(x)的斜率为2的切线方程为y2x2(2)设g(x)f(x)(2x2)3ln xx2x2，则g(x)2x1.令g(x)0得x1，x(舍)当g(x)0时，0x1；当g(x)1所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减所以g(x)g(1)0所以f(x)2x2(3)由(2)可知，当k2时，f(x)2(x1)，所以不存在x01，当x(1，x0)时，恒有f(x)2(x1)；所以k2不符合题意当k2时，对于x1，f(x)2(x1)1，当x(1，x0)时，恒有f(x)2(x1)；所以k2不符合题意当k0，解得x1，x2.又因为k2，所以x11取x0x2当x(1，x0)时，h(x)0；所以h(x)在(1，x0)上单调递增所以h(x)h(1)0即f(x)k(x1)所以k2符合题意所以实数k的取值范围是(，2)