1、2015-2016学年山东省威海市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|log2（x4）0，B=y|y=ax+1（a0且a0），则RAB=（）A（5，+）B（1，4（5，+）C1，4）5，+）D1，4）2（5分）（2016沈阳校级一模）i是虚数单位，复数2i=z（1+i），则z的共轭复数是（）A1+iBi+1Ci+1Di13若，且是第二象限角，则的值等于（）ABCD4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A3BCD15一次实验中测得（x，y）的四组数值如图所示，若根据该表的回
2、归方程，则m的值为（）x16171819y5034m31A39B40C41D426执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）A6B7C8D97设l，m是两条不同的直线，是一个平面，已知m，则lm是l的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8已知双曲线与抛物线有公共焦点F，F到M的一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（）ABCD9已知f（x）=2x，若，其中，ab0，则下列关系中正确的是（）AprqBqprCrpqDpqr10已知直线l：axy+2=0与圆M：x2+y24y+3=0的交点为A、B，点C是圆M上的一动点，设点P（0，1），的最大值为（）A12B10C9D
3、8二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分11设，若与2+共线，则k=12若函数的图象过点（1，2），则函数f（x）的值域为13设变量x，y满足约束条件，则z=2x2y的取值范围14以下四个命题：x0R，使；若xk（kZ），则；若命题“p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；函数y=x3+2ex在x=1处的切线过（0，2）点其中真命题的序号是（把你认为正确的命题的序号都填上）15把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设aij为图乙三角形数阵中第i行第j个数，若amn=2015，则实数对（m，n）为三解答题：本大题
4、共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）（2015秋威海期末）已知向量，且A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角（I）求角C的大小；（）若a+b=2c，且ABC的面积为，求c边的长17（12分）（2015秋威海期末）某校对该校的1000名教师的年龄进行统计分析，年龄的频率分布直方图如图所示规定年龄25，40）的为青年教师，年龄40，50）为中年教师，年龄在50，60）为老年教师（I）求年龄30，35）、40，45）的教师人数；（）现用分层抽样的方法从中、青年中抽取18人进行课堂展示，求抽到年龄在35，40）的人数（）在（）中抽取的中年教师中，随机选取2名教
5、师进行总结交流，求抽取的中年教师中甲、乙至少有一名作总结交流的概率18（12分）（2015秋威海期末）等比数列an满足a6=a2a4，且a2为2a1与的等差中项（I）求数列an的通项公式；（）设，Tn为bn的前n项和，求使成立时n的最小值19（13分）（2015秋威海期末）已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1底面ABCD，点P为DD1的中点，Q为BC边上的一点（I）若PQ面A1ABB1，求出PQ的长；（）求证：AB1面PBC20（13分）（2015秋威海期末）设函数（I）若m=1，n=3，求函数y=f（x）的单调区间；（）若x=2是f（x）
6、的极大值点，求出m的取值范围；（）在（）的条件下，试讨论y=f（x）零点的个数21（13分）（2015秋威海期末）已知椭圆的离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且（I）求出椭圆E的方程；（）过点P的直线l和椭圆E交于A，B两点（i）若，求直线l的方程；（ii）已知点Q（0，2），证明对于任意直线l，恒成立2015-2016学年山东省威海市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|log2（x4）0，B=y|y=ax+1（a0且a0），则RAB=（）A（5，+）B（1，4
7、（5，+）C1，4）5，+）D1，4）【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：log2（x4）0=log21，即0x41，解得：4x5，即A=（4，5，RA=（，4（5，+），由B中y=ax+11，得到B=（1，+），则RAB=（1，4（5，+），故选：B【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）（2016沈阳校级一模）i是虚数单位，复数2i=z（1+i），则z的共轭复数是（）A1+iBi+1Ci+1Di1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z后得答
8、案【解答】解：由2i=z（1+i），得，z的共轭复数是i+1故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3若，且是第二象限角，则的值等于（）ABCD【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan的值、再利用两角差的正切公式求得要求式子的值【解答】解：若，且是第二象限角，cos=，tan=，则=，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式，属于基础题4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A3BCD1【分析】几何体为四棱柱，底面为直角梯形，代入体积公式即可【解答】解：由三视图可知几何体为直四棱柱，棱柱的底面为直角梯形，上下
9、底分别为1，2，高为1，棱柱的高为2，棱柱的体积V=（1+2）12=3故选A【点评】本题考查了棱柱的结构特征和三视图，棱柱的体积计算，属于基础题5一次实验中测得（x，y）的四组数值如图所示，若根据该表的回归方程，则m的值为（）x16171819y5034m31A39B40C41D42【分析】求出代入回归方程解出m【解答】解： =17.5， =，=517.5+126.5，解得m=41故选C【点评】本题考查了线性回归方程与数据的关系，属于基础题6执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）A6B7C8D9【分析】模拟执行程序框图，可得S=1+=利用等比数列的求和公式解得p的值为8【解答】解：模拟执行
10、程序框图，可得S=1+=解得：p=8故当p=8时，n=8p，不成立，退出循环，输出S的值为故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，利用等比数列的求和公式解得p的值是解题的关键，属于基础题7设l，m是两条不同的直线，是一个平面，已知m，则lm是l的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】若m，l，则lm；反之不成立，可能l与平行或相交即可判断出结论【解答】解：若m，l，则lm；反之不成立，可能l与平行或相交因此lm是l的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8已知双曲线与抛物线有
11、公共焦点F，F到M的一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（）ABCD【分析】求得抛物线的焦点F（0，2），可得c=2，求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式可得b，求得a，进而得到双曲线的方程【解答】解：抛物线，即x2=8y的焦点F（0，2），即有双曲线的c=2，双曲线的渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为d=b=，即有a=1，则双曲线的方程为y2=1故选：D【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题9已知f（x）=2x，若，其中，ab0，则下列关系中正确的是（）AprqBqprCrpqDpqr【分析】由题意可得p=，q=p，
12、r=（2a+2b），可得大小关系【解答】解：f（x）=2x，ab0，p=，q=p，r=（2a+2b），pqr，故选：D【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题10已知直线l：axy+2=0与圆M：x2+y24y+3=0的交点为A、B，点C是圆M上的一动点，设点P（0，1），的最大值为（）A12B10C9D8【分析】由题意，圆M：x2+y24y+3=0可化为x2+（y2）2=1，利用=|2+|2|+|，即可得出结论【解答】解：由题意，圆M：x2+y24y+3=0可化为x2+（y2）2=1=|2+|2|+|=23+4=10，故选：B【点评】本题考查圆的方程，考查向量知
13、识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分11设，若与2+共线，则k=【分析】由题意和向量共线可得a的方程，解方程可得【解答】解：，2+=（5，4+k），与2+共线，3（4+k）25=0，解得k=故答案为：【点评】本题考查平行向量与共线向量，属基础题12若函数的图象过点（1，2），则函数f（x）的值域为（，log2【分析】把（1，2）代入f（x）求出a，得到f（x）的解析式，判断真数的取值范围，根据对数函数的单调性得出f（x）的最值，得到值域【解答】解：f（1）=log2（1+a）=2，解得a=5f（x）=log2（x2+5x）由f（x）有意义得x
14、2+5x0，又x2+5x=（x）2+，0x2+5xf（x）log2，故答案为（，log2【点评】本题考查了对数函数的性质，二次不等式的解法，属于中档题13设变量x，y满足约束条件，则z=2x2y的取值范围，【分析】作出可行域，先由线性规划求出t=x2y的取值范围，再求指数可得【解答】解：解：作出条件所对应的可行域（如图ABC），令t=x2y，则可得y=xt，平移直线y=x可知当直线经过点A时，直线的截距最小，t取最大值，当直线经过点B时，直线的截距最大，t取最小值，解方程组可得A（，），同理可得B（2，2），代入计算可得t的最大值为，最小值为2，z=2x2y的取值范围为，故答案为：，【点评】本
15、题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题14以下四个命题：x0R，使；若xk（kZ），则；若命题“p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；函数y=x3+2ex在x=1处的切线过（0，2）点其中真命题的序号是（把你认为正确的命题的序号都填上）【分析】根据特称命题结合对数函数的性质进行判断根据基本不等式的性质和条件进行判断根据复合命题真假关系进行判断根据导数的几何意义进行判断【解答】解：x2+11，ln（x2+1）ln1=0，则x0R，使错误，故错误；当x=，满足xk（kZ），但sinx+=，则错误，故错误；若命题“p”与“p或q”都是真命题，则p是假命题，则命题q一定是真
16、命题，成立，故正确；当x=1时，y=1+2e，即切点坐标为（1，1+2e），函数y=x3+2ex在x=1处的导数f（x）=3x2+2ex，则f（1）=3+2e，则切线方程为y（1+2e）=（3+2e）（x1），即y=（3+2e）x32e+1+2e=（3+2e）x2，则当x=0时，y=2，即此时切线过（0，2）点故正确，故答案为：【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数，不等式以及导数的内容，综合性较强，难度中等15把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设aij为图乙三角形数阵中第i行第j个数，若amn=2015，则实数对（m，
17、n）为（45，40）【分析】观察图乙找出每行数字的规律，即可使用数列知识解出【解答】解：观察图乙可发现以下规律：（1）第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有3个数字，故可归纳得出第i行有i个数字；（2）每一行的数字从左到右都是等差为2的等差数列；（3）每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大1；（4）每一行的最后一个数字都是该行数的平方442=19362015，452=20252015，2015是第45行的数字，设第45行第n个数字为an，则a1=1937，d=2，an=1937+2（n1）=2n+1935令an=2n+1935=2015，解得n=402015是第45行第40个数字，
18、故答案为（45，40）【点评】本题考查了归纳推理，寻找图中数字的规律是解题的关键三解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）（2015秋威海期末）已知向量，且A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角（I）求角C的大小；（）若a+b=2c，且ABC的面积为，求c边的长【分析】（）根据平面向量的数量积的运算法则及两角和的余弦函数公式化简，得到cos2C等于cosC，化简后即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（）利用已知及三角形面积公式可求ab=60，结合已知利用余弦定理即可解得c的值【解答】（本题满分为12分）
19、解：（I）=cosAcosBsinAsinB=cos（A+B）=cosC，cos2C=cosC，整理可得：2cos2CcosC1=0，cosC=或1，C（0，），C=6分（）SABC=absinC=absin=15，ab=60，a+b=2c，c2=a2+b22abcosC=（a+b）22ab（1+cosC）=20，解得：c=212分【点评】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题17（12分）（2015秋威海期末）某校对该校的1000名教师的年龄进行统计分析，年龄的
20、频率分布直方图如图所示规定年龄25，40）的为青年教师，年龄40，50）为中年教师，年龄在50，60）为老年教师（I）求年龄30，35）、40，45）的教师人数；（）现用分层抽样的方法从中、青年中抽取18人进行课堂展示，求抽到年龄在35，40）的人数（）在（）中抽取的中年教师中，随机选取2名教师进行总结交流，求抽取的中年教师中甲、乙至少有一名作总结交流的概率【分析】（I）根据频率=，求出对应的频率与频数；（）根据分层抽样原理，计算出从中青年教师中抽取的18人年龄在35，40）中的人数；（）利用列举法求出从7名教师中随机选取2名的可能情况，计算甲、乙至少有1名作总结交流的概率【解答】解：（I）年
21、龄在40，45）的教师人数为10000.045=200人；年龄在30，35）的教师频率为 1（0.07+0.04+0.03）5=0.15年龄在30，35）的教师人数为10000.15=150人；（）中青年教师共有1000（10.025）=900，其中年龄在35，40）中有10000.075=350人，设抽取的18人年龄在35，40）中的有x人，则18：900=x：350，解得x=7；（）中年教师共350人，所以抽出的18人中，中年教师有7人，不妨设7名教师分别为甲、乙、A、B、C、D、E，从7人中随机选取2名教师的可能情况有甲乙，甲A，甲B，甲C，甲D，甲E，乙A，乙B，乙C，乙D，乙E，AB
22、，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共21种，其中甲乙至少有1人有11种情况，所以抽取的中年教师中甲、乙至少有一名作总结交流的概率为【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目18（12分）（2015秋威海期末）等比数列an满足a6=a2a4，且a2为2a1与的等差中项（I）求数列an的通项公式；（）设，Tn为bn的前n项和，求使成立时n的最小值【分析】（I）通过设数列an的公比为q，利用a6=a2a4化简可知a1=q，利用a2为2a1与的等差中项可知q=2，进而可得结论；（）通过（I）裂项可知bn=，进而并项相加可知Tn=1，
23、问题转化为11，比较即得结论【解答】解：（I）设数列an的公比为q，由a6=a2a4可知a1a5=a1qa1qq3，解得：a1=q，又a2为2a1与的等差中项，2a1+a3=2a2，解得q=2，数列an是首项、公比均为2的等比数列，故其通项公式an=2n；（）由（I）可知=，Tn=+=1，要使，即11，2n+12017，n+111，n的最小值为10【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题19（13分）（2015秋威海期末）已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1底面ABCD，点P为DD1的中点，Q为B
24、C边上的一点（I）若PQ面A1ABB1，求出PQ的长；（）求证：AB1面PBC【分析】（I）取AA1的中点M，连接BM，PM，由P，M分别为D1D，A1A的中点，可得PMBC，由PQ面A1ABB1，可得PQBM，可得PQ=BM，在RtBAM中，利用勾股定理即可解得PQ=BM的值（）先证明AA1BC，ABBC，即可证明AB1BC，利用ABMA1B1A，可得：AB1BM，从而可判定AB1面PBC【解答】（本题满分为12分）解：（I）取AA1的中点M，连接BM，PM，P，M分别为D1D，A1A的中点，PMAD，PMBC，PMBC四点共面，2分由PQ面A1ABB1，可得PQBM，PMBQ为平行四边形，
25、PQ=BM，4分在RtBAM中，BM=2可得：PQ=BM=26分（）AA1面ABCD，BC面ABCD，AA1BC，ABCD为正方形，ABBC，BC面AA1BB1，AB1面AA1BB1，AB1BC，8分通过ABMA1B1A，可得：AB1BM，10分BMBC=B，AB1面PBC12分【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养属于中档题20（13分）（2015秋威海期末）设函数（I）若m=1，n=3，求函数y=f（x）的单调区间；（）若x=2是f（x）的极大值点，求出m的取值范围；（）在（）的条件下，试
26、讨论y=f（x）零点的个数【分析】（）将m=1，n=3代入f（x），求出f（x）的导数，得到函数的单调区间；（）求出f（x）的导数，通过讨论m的范围判断函数的极大值的情况，进而判断出m的范围；（）先求出f（x）max=f（2）=2ln2+2m2，通过讨论m的范围去掉函数的零点问题【解答】解：（）由m=1，n=3，得：f（x）=2lnx+x23x，（x0），f（x）=，（x0），x2或0x1时，f（x）0，1x2时，f（x）0，f（x）在（0，1），（2，+）递增，在（1，2）递减；（）f（x）=mxn，（x0），由已知得f（2）=0，整理得2m+n=1，f（x）=，m0时，mx10恒成立，x2
27、时，f（x）0，0x2时，f（x）0，f（x）在x=2处取得极大值，满足题意，m0时，令f（x）=0，解得：x=2或x=，要使f（x）在x=2处取得极大值，只需2，解得：m0，综上，m时，f（x）在x=2处取得极大值；（）由（）得m0时，f（x）在（0，2）递增，在（2，+）递减，f（x）max=f（2）=2ln2+2m2，当f（2）0即m1ln2时，f（x）有2个零点，当f（2）=0即m=1ln2时，f（x）有1个零点，当f（2）0即m1ln2时，f（x）没有零点，当m0时，f（x）在（0，2），（，+）递增，在（2，）递减，f（2）0，f（x）至多1个零点，法一：在（，+）取一点x=4=，
28、代入f（x）得：f（4）=2ln（4）m+（2m2）=2ln（4）0，f（x）在（，+）上必有1个零点，法二：y=2lnx在（0，+）递增，y=mx2（12m）x是开口向上的二次函数，f（x）在（，+）上必有正值，即f（x）在（，+）上必有1个零点，综上，m1ln2时，f（x）有2个零点，m=1ln2或m0时，f（x）有1个零点，0m1ln2时，f（x）没有零点【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数的零点问题，考查分类讨论思想，是一道综合题21（13分）（2015秋威海期末）已知椭圆的离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且（I）求出椭圆E的方程；（）过点P的直线l和椭
29、圆E交于A，B两点（i）若，求直线l的方程；（ii）已知点Q（0，2），证明对于任意直线l，恒成立【分析】（）由已知得e=， b2=2，由此能求出椭圆E的方程（）（i）当直线l斜率不存在时，不存在这样的直线，当直线l斜率存在时，设方程为y=kx+1，与椭圆联立得（1+2k2）x2+4kx2=0，由此利用韦达定理，能求出直线l的方程（ii）当直线l与x垂直时，对于任意直线l，欲证明恒成立只需证明：kQB+kQA=0【解答】解：（）椭圆的离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且，e=，a=，又C（0，b），D（0，b），b2=2，a=2，椭圆E的方程为（）（i）当直线l斜率不存在时， =， =，不符合题意，不存在这样的直线，当直线l斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，整理，得（1+2k2）x2+4kx2=0，由韦达定理得，由，得，代入韦达定理，整理得，解得，k=，直线l的方程为证明：（ii）当直线l与x垂直时，命题成立下面证明对任意斜率存在的直线l，均有=，即证：y轴为AQB的角平分线所在直线，只需证明：kQB+kQA=0=， =k，=2k，由（1）中韦达定理得=2k，kQB+kQA=2k2k=0，对任意直线l，恒成立【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查两组线段比值相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用
