1、02第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程课时过关能力提升基础巩固1.若动点M到两个定点F1,F2的距离之和为定值m,则点M的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.以上都可能解析:|MF1|+|MF2|=m,当m|F1F2|时,点M的轨迹为椭圆;当m=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当m|F1F2|时,点M的轨迹不存在.答案:D2.椭圆x216+y225=1的焦点坐标是()A.(4,0)B.(0,4)C.(3,0)D.(0,3)答案:D3.在椭圆的标准方程中,a=6,b=5,则椭圆的标准方程是()A.x236+y225=1B.y236+x225=1C.x236+y
2、2=1D.x236+y225=1或y236+x225=1解析:因为题中给出的条件不能确定椭圆的焦点所在的坐标轴,所以椭圆的方程应有两种形式.答案:D4.已知椭圆x225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是()A.2B.4C.8D.32答案:B5.若方程x225-m+y2m+9=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是()A.-9m25B.8m25C.16m8解析:由题意,得m+90,25-m0,m+925-m,解得8mb0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1PF2.若PF1F2的面积为9,则b=.解析:依题意,有|PF1|
3、+|PF2|=2a,|PF1|PF2|=18,|PF1|2+|PF2|2=4c2,解得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.答案:39.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于6,求椭圆的方程;(2)椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的方程.解:(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则由题意,a=3,c=2,得b2=5.故椭圆方程为x29+y25=1.(2)因为焦点为F1(0,-5),F2(0,5),所以可设椭圆方程为y2a2+x2b2=1
4、(ab0).2a=32+(4+5)2+32+(4-5)2=410,所以a=210,c=5,b2=40-25=15,故椭圆方程为y240+x215=1.10.一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.解:两定圆的圆心和半径分别是O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题设条件,可知|MO1|=1+R,|MO2|=9-R,则|MO1|+|MO2|=10|O1O2|=6.由椭圆的定义,知M在以O1,O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,则b2=a2-c2=25-9=16.故动圆圆
5、心的轨迹方程为x225+y216=1.能力提升1.椭圆mx2+ny2+mn=0(mn0)的焦点坐标是()A.(0,m-n)B.(m-n,0)C.(0,n-m)D.(n-m,0)解析:化为标准方程是x2-n+y2-m=1.mn0,0-n0,n0,mn),代入A,B两点的坐标,列出方程组,求出m,n即可.(2)先求出公共焦点,再结合过点(-3,2)求解.解:(1)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).椭圆过点A63,3和B223,1,m632+n(3)2=1,m2232+n12=1,解得m=1,n=19.所求椭圆的标准方程为x2+y29=1.(2)已知椭圆x29+y24=1中a=
6、3,b=2,且焦点在x轴上,c2=9-4=5.设所求椭圆方程为x2a2+y2a2-5=1.点(-3,2)在所求椭圆上,9a2+4a2-5=1.a2=15或a2=3(舍去).所求椭圆方程为x215+y210=1.8.已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),点P是椭圆上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且F1PF2=,求PF1F2的面积.解:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.又|F1F2|=2c,F1PF2=,则4c2=m2+n2-2mncos ,4c2=(m+n)2-2mn(1+cos ),2mn(1+cos )=4a2-4c2=4b2,mn=2b21+cos.SF1PF2=12mnsin =b2sin1+cos=2b2sin2cos22cos22=b2tan2.