1、2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式【选题明细表】知识点、方法题号向量数量积的坐标运算2,7有关向量共线与垂直问题4,5,6,8向量的长度和夹角问题1,3,9向量数量积的综合应用10,111.向量a=(2,-4),与b=(-1,2)的夹角的大小为(D)(A)零角(B)直角(C)钝角(D)平角解析:ab=2(-1)+(-4)2=-10,|a|=2,|b|=,cos =-1,故=180.故选D.2.已知向量a=(1,-1),b=(2,x).若ab=1,则x等于(D)(A)-1 (B)- (C) (D)1解析:因为ab=2-x=1,所以x=1.故选D.3.设xR,向量a=(x,1),b=(1,-
2、2),且ab,则|a+b|等于(B)(A) (B) (C)2 (D)10解析:因为ab,所以有x-2=0,解得x=2,所以a=(2,1),所以a+b=(3,-1),|a+b|=.故选B.4.设m,n是两个非零向量,且m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下等式中与mn等价的个数是(D)mn=0,x1x2=-y1y2,|m+n|=|m-n|,|m+n|=.(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由两非零向量垂直的条件可知正确,由模的计算公式与向量垂直的条件可知,正确,故选D.5.已知向量a=(1,3),b=(sin ,cos ),ab,则tan 的值为(B)(A)3 (B)-3 (C) (D
3、)-解析:因为ab,所以sin +3cos =0,所以sin =-3cos ,所以tan =-3.选B.6.已知a=(1,-1),b=(-2,1),c=a+b,d=a-b,且cd,则实数=.解析:因为c=a+b=(1,-1)+(-2,1)=(-2,-+1),d=a-b=(1,-1)-(-2,1)=(1+2,-1-)又因为cd,所以cd=0,即(-2)(1+2)+(-1)(+1)=0,所以2-1=0,解得=.答案:7.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为(C)(A) (B)2 (C)5 (D)10解析:因为=(1,2)(-4,2)=1(-4)+22=0,所以,且|
4、=,|=2,所以S四边形ABCD=|=2=5.故选C.8.(2017长春外国语学校月考)设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y), c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|等于(B)(A) (B) (C)2 (D)10解析:因为ac,所以ac=2x-4=0,所以x=2,又bc,所以2y=-4,所以y=-2,所以a=(2,1),b=(1,-2),所以a+b=(3,-1),所以|a+b|=.选B.9.已知向量a=(1,0),b=(1,1),则向量b-3a与向量a夹角的余弦值为.解析:由a=(1,0),b=(1,1),得b-3a=(-2,1).设向量b-3a与向量a的夹角为,则cos =-
5、.答案:-10.(2017诸城一中高一下期中)已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.解:(1)设c=(x,y),由|c|=2得,=2,即x2+y2=20,因为ca,a=(1,2),所以2x-y=0,所以y=2x,由所以或所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)因为(a+2b)(2a-b),所以(a+2b)(2a-b)=0,所以(a+2b)(2a-b)=2|a|2+3ab-2|b|2=0,(*)将|a|2=5,|b|2=()2=代入(*)中,所以25+3ab-2=0,所以
6、ab=-,因为|a|=,|b|=,所以cos =-1,因为0,所以=.11.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可以用v=f(u) 表示.(1)证明对于任意a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(3)求使f(c)=(p,q)(p、q为常数)的向量c的坐标.解:(1)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),所以f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(2)f(a)=f(1,1)=(1,21-1)=(1,1),f(b)=f(1,0)=(0,20-1)=(0,-1).(3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q),所以y=p,2y-x=q,所以x=2p-q,故向量c=(2p-q,p).