1、第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 学 习 目 标核 心 素 养 1掌握复数代数形式的乘法和除法运算(重点、难点)2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(易混点)3了解共轭复数的概念(难点)1通过学习复数乘法的运算律，培养逻辑推理的素养2借助复数代数形式的乘除运算，提升数学运算的素养.自 主 预 习 探 新 知 1复数代数形式的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知 z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，则 z1z2(abi)(cdi).(acbd)(adbc)i 思考 1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？提示
2、 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2 换成1，再把实部、虚部分别合并(2)复数乘法的运算律对于任意 z1，z2，z3C，有交换律z1z2 结合律(z1z2)z3 乘法对加法的分配律z1(z2z3)z2z1z1(z2z3)z1z2z1z3思考 2：|z|2z2，正确吗？提示 不正确例如，|i|21，而 i21.2共轭复数 如果两个复数满足实部，虚部时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用 z表示即 zabi，则z.3复数代数形式的除法法则(abi)(cdi)acbdc2d2 bcadc2d2 i(cdi0)abi相等互为相反数1复数(32i)i 等于()A2
3、3i B23iC23iD23iB(32i)i3i2ii23i，选 B.2设 z 3i12i，则|z|()A2 B 3C 2D1C 由 z 3i12i，得|z|3i12i|3i|12i|105 2.故选 C.3若 x2yi 和 3xi 互为共轭复数，则实数 x_，y_.1 1 由题意可知 x23x，y1，x1，y1.合 作 探 究 释 疑 难 复数代数形式的乘法运算【例 1】(1)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是()A(，1)B(，1)C(1，)D(1，)(2)计算：(12i)(34i)(2i)；(34i)(34i)；(1i)2.(1)B z(1i)(
4、ai)(a1)(1a)i，因为对应的点在第二象限，所以a10，解得 a1，故选 B.(2)解：(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i.(34i)(34i)32(4i)29(16)25.(1i)212ii22i.1两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等2常用公式(1)(abi)2a22abib2(a，bR)；(2)(abi)(abi)a2b2(a，bR)；(3)(1i)22i.跟进训练1(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是()Ai(1i)2Bi2(1i)C(1i)2Di(1i)(2
5、)复数 z(12i)(3i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_(1)C(2)5(1)A 项，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是纯虚数 B 项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数 C 项，(1i)212ii22i，是纯虚数 D 项，i(1i)ii21i，不是纯虚数 故选 C.(2)(12i)(3i)3i6i2i255i，所以 z 的实部是 5.复数代数形式的除法运算【例 2】(1)3i1i()A12iB12iC2iD2i(2)若复数 z 满足 z(2i)117i(i 是虚数单位)，则 z 为()A35iB35iC35iD35i(1)D(2)A(1)3i1i3i1i1i1i42i
6、22i.(2)z(2i)117i，z117i2i 117i2i2i2i 1525i535i.1两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式2常用公式(1)1ii；(2)1i1ii；(3)1i1ii.跟进训练2(1)如图，在复平面内，复数 z1，z2 对应的向量分别是OA，OB，则复数z1z2对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)计算：1i1i8.(1)B 由复数的几何意义知，z12i，z2i，所以z1z22ii12i，对应的点在第二象限(2)解：法一：1
7、i1i81i1i2 42i2i4(1)41.法二：因为1i1i1i21i1i2i2i，所以1i1i8i81.共轭复数及其应用 探究问题1若 zz，则 z 是什么数？这个性质有什么作用？提示：zzzR，利用这个性质可证明一个复数为实数2若 z0 且 zz0，则 z 是什么数？这个性质有什么作用？提示：z0 且 zz0，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数3三个实数|z|，|z|，z z具有怎样的关系？提示：设 zabi，则zabi，所以|z|a2b2，|z|a2b2 a2b2，z z(abi)(abi)a2(bi)2a2b2，所以|z|2|z|2z z.【例 3】(1)已知复数
8、 z3i1 3i2，z是 z 的共轭复数，则 z z等于()A14B12C1D2(2)已知复数 z 满足|z|5，且(12i)z 是实数，求 z.思路探究：可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解(1)A 法一：z3i1 3i2 3i2i1 3i2i1 3i1 3i2i1 3ii1 3i4 34 i4，z 34 i4，z z14.法二：z3i1 3i2，|z|3i1 3i2|3i|1 3i2|2412，z z14.(2)解：设 zabi(a，bR)，则(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2a)i.又因为(12i)z 是实数，所以 b2a0，即 b
9、2a，又|z|5，所以 a2b25.解得 a1，b2.所以 z12i 或12i，所以z12i 或12i，即z(12i)1在题设(1)条件不变的情况下，求zz.解 由例题(1)的解析可知 z 34 i4，z 34 i4，z z14，zz z2zz 34 i421412 32 i.2把题设(2)的条件“(12i)z 是实数”换成“(12i)z 是纯虚数”，求 z.解 设 zabi，则zabi，由例题(2)的解可知 a2b，由|z|a2b2 5b2 5，得 b1，a2；或 b1，a2.所以z2i，或z2i.1由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代
10、数形式，再写出其共轭复数2注意共轭复数的简单性质的运用课 堂 小 结 提 素 养 1复数代数形式的乘法运算类似于多项式的乘法，同时注意 i21 的应用.2复数代数形式的除法运算采用了分母实数化的思想，即应用z z|z|2 解题3记住几个常用结论：(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)(2)(1i)22i.(3)若 zzz 是实数；若 z z0，则 z 是纯虚数；z z|z|2|z|2.1判断正误(1)实数不存在共轭复数()(2)两个共轭复数的差为纯虚数()(3)若 z1，z2C，且 z21z220，则 z1z20.()答案(1)(2)(3)2已知复数 z2i，则 z z的值
11、为()A5 B.5C3 D.3A z z(2i)(2i)22i2 415.3若复数 z 满足 z(1i5)2i25(i 为虚数单位)，则|z|()A1B2C.2D.3C 因为 z(1i5)2i25，所以 z(1i)2i，所以 z 2i1i2i1i21i，故|z|1212 2.4已知复数 z1(1i)(1bi)，z2a2i1i，其中 a，bR.若z1 与 z2 互为共轭复数，求 a，b 的值解 z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i,z2a2i1i a2i1i1i1i aai2i22a22 a22 i.由于 z1 和 z2 互为共轭复数，所以有 a22 b1，a22 1b，解得a2，b1.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
