1、第 4 课时 几何计算问题课时过关能力提升基础巩固1 在ABC 中,c=2,A=30,B=120,则ABC 的面积为().A C.答案:B2 已知三角形的面积为 其外接圆的面积为 则这个三角形的三边之积为 A.1B.2C 答案:A3 已知锐角三角形 ABC 的面积为 则角 的大小为 A.75B.60C.45D.30解析:由 S BCsinC=得sinC 又 C 为锐角,故 C=60.答案:B4 已知三角形两边之差为 2,它们夹角的余弦值为 面积为 则这个三角形的这两边长分别是 A.3 和 5B.4 和 6C.6 和 8D.5 和 7解析:设 a-b=2,cosC C SABC C=14,故 a
2、b=35.由 a-b=2 和 ab=35,解得 a=7,b=5.答案:D5 已知ABC 的面积 S 则 解析:S A,即 故 A=4co 答案:26 如图,一块四边形土地 ABCD 的三边 AD=40 m,DC=30 m,CB=30 m,ADC=150,DCB=120,则该土地的面积约为 m2.(精确到 0.01 m2)答案:1 289.717 已知 a,b,c 是ABC 的三边,其面积为 则角 解析:由三角形的面积公式得 C 所以 sinC -C.所以 tanC=1,所以 C 答案:8 已知三角形的两边长分别为 5 和 3,它们夹角的余弦值是方程 5x2-7x-6=0 的根,则三角形的第三边
3、长为 .解析:设三角形的第三边长为 a(a0).解方程 5x2-7x-6=0,得 x1=舍去).因此已知两边夹角的余弦值为 由余弦定理,得 a2=52+32-253(-)故 a=即所求边长为 答案:9 在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC 的面积 S 求角 的大小(1)证明由正弦定理得 sinB+sinC=2sinAcosB,故 2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是 sinB=sin(A-B).又 A,B(0,),故 0A-B,所以,B=-(A
4、-B)或 B=A-B,因此 A=(舍去)或 A=2B,所以,A=2B.(2)解由 S 得 C 故有 sinBsinC 2B=sinBcosB.由 sinB0,得 sinC=cosB.又 B,C(0,),所以 C 当 B+C 时,A 当 C-B 时,A 综上,A 或A 能力提升1 在ABC 中,a 则ABC 的面积 S 为().A C 或 或 解析:由正弦定理 得 sinA 所以 A=60或 A=120.当 A=60时,C=90,S 当 A=120时,C=30,S C 30 答案:D2 在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,若 2b=a+c,B=30,ABC 的面积为 则 等于
5、 A.1 C 解析:由 30 得ac=6.由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos30=(a+c)2-2ac 得b 答案:A3 在ABC 中,a=1,B=45,SABC=2,则ABC 外接圆的半径为().A.C 解析:SABC B 45 又SABC=2,c=又由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=1+32-21 b=5.又 R 答案:C4 如图所示,一块三角形土地 ABC,AD 是一条小路,BC=5 m,AC=4 m,cosCAD 则该土地的面积是 解析:设 CD=xm,则 AD=BD=(5-x)m.在CAD 中,由余弦定理,可知cosCAD -解得 x=1.CD=1m,AD=
6、BD=4m.在CAD 中,由正弦定理,可知 sinC -=-()SABC BCsinC 答案:5 在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,证明 -证明由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.两式相减,得 a2-b2=b2-a2+2c(acosB-bcosA),即 a2-b2=c(acosB-bcosA),则 -B A.由正弦定理 得 故 6 在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos C+(cos A (1)求角 B 的大小;(2)若 a+c=1,求 b 的取值范围.解(1)由已知得-cos(A+B)+co
7、sAcosB AcosB=0,即有 sinAsinB AcosB=0.因为 sinA0,所以 sinB B=0,又 cosB0,所以 tanB 又 0B,所以 B (2)由余弦定理,有 b2=a2+c2-2accosB.因为 a+c=1,cosB 所以 b2=(-)又 0a1,于是有 b21,即有 b1.7 如图,在ABC 中,ABC=90,AB 为ABC 内一点,BPC=90.(1)若 PB 求 (2)若APB=150,求 tanPBA.解(1)由已知得PBC=60,所以PBA=30.在PBA 中,由余弦定理得PA2=3 30 故 PA (2)设PBA=,则PCB=PBA=,由已知得 PB=sin.在PBA 中,由正弦定理得 -化简得 =4sin.所以 tan 即tanPBA