1、第二十二章 二次函数 综合专题 二次函数与几何图形的综合 类型一 二次函数与图形面积的相关问题1.如图，已知二次函数y x24xc的图象经过点A(2，0).(1)求c的值；(2)若二次函数的图象与y轴相交于点B，且该二次函数的图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC的面积.12解：(1)把A(2，0)代入y x24xc，得c6.12(2)在y x24x6中，当x0时，y6，点B的坐标为(0，6)，OB6.抛物线对称轴为直线x 4，点C的坐标为(4，0)，OC4.点A的坐标为(2，0)，OA2，ACOCOA422，ABC的面积为 ACOB 266.12412212122.如图，已知抛
2、物线yx2bxc过点A(1，0)，C(0，3).(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；解：(1)将A(1，0)，C(0，3)代入yx2bxc，得 解得 二次函数的解析式为yx22x3.yx22x3(x1)24，顶点坐标为(1，4)c1+b+=0,c=-3,b=2,c=-3,(2)设P是该抛物线上的动点，当ABP的面积等于ABC面积的时，求出点P的坐标.53(2)当y0时，x22x30，解得x13，x21，点B的坐标为(3，0)，点A的坐标为(1，0)，AB4.点C的坐标为(0，3)，ABC的面积为 436.ABP的面积等于ABC面积的 ，ABP的面积为 610，4|yp|10，解得yp5.抛物线
3、顶点坐标为(1，4)，yp5 舍去当yp5时，x22x35，解得x14，x22，点P的坐标为(4，5)或(2，5)125353123.如图，二次函数yax2bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0).(1)求a，b的值；解：(1)将A(2，4)，B(6，0)代入yax2bx，得 解得 4a+2b=4,36a+6b=0,1a=-,2b=3,(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2x6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值.(2)如图，过点A作x轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD，过点C作CEAD，CFx轴，垂足分别为点E，F，
4、则SOAD ODAD 244，SACD ADCE 4(x2)2x4，SBCD BDCF 4(x23x)x26x，SSOADSACDSBCD 42x4x26xx28x(2x6)Sx2 8x(x4)216，当x4时，S有最大值，最大值 为16.12121212121212类型二 二次函数与线段的相关问题4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过点A(4，0)，B(1，0)，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式；解：(1)拋物线yx2bxc经过点A(4，0)，B(1，0)，y(x4)(x1)，拋物线的解析式为yx23x4.(2)点D是线段AC上一动点，过点D作DEx轴于点E，交抛物线于点F
5、，求线段DF的长度最大值.(2)yx23x4，点C的坐标为(0，4)设直线AC的解析式为ykx4，代入A(4，0)得4k40，解得k1，yx4.设点D的坐标为(m，m4)，则点F的坐标为(m，m23m4)，DF(m23m4)(m4)m24m(m2)24，当m2时，DF有最大值，最大值为4.5.如图，抛物线yax2bx(a0)过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物线上，设点A的坐标为(t，0)，当t2时，AD4.(1)求抛物线的解析式；解：(1)设抛物线的解析式为yax(x10)当t2时，AD4，点D的坐标为(2，4)将点D的坐标代入解析式，得1
6、6a4，解得a ，抛物线的解析式为y x(x10)x2 x.14141452(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(2)由抛物线的对称性得BEOAt，AB102t.当xt时，AD t2 t，矩形ABCD的周长2(ABAD)t2t20 (t1)2 ，当t1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为 .1452215102tt42t12124124126.如图，直线yx3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线yx22x2与y轴交于点C，点E在抛物线yx22x2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CEEF的最小值.34解：抛物线yx22x2的对称轴为直线x1，点C的坐标为C(
7、0，2)，点C关于抛物线的对称轴对称 的点的坐标为C(2，2)过点C作直线AB的垂线，交对称轴于点E，交直线AB于点F，连接CE，CECE，CFCEEF，此时CEEF有最小值由直线AB的解析式为y x3，C(2，2)，CFAB，易得直线CF的解析式为y x .由 解得 点F的坐标为(，)，CF ，即CEEF的最小值为 .344323344233y=-x+3,y=x+,28255425=x,y,28255425222854262+225255265类型三 二次函数与特殊三角形的相关问题7.如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与直线y2交于B，C两点，ABC为正三角形.若点A的坐标为(3
8、，0)，则此抛物线与y轴的交点坐标为()A.B.C.(0，9)D.(0，19)90 2，2702，B 8.如图，抛物线y(x1)(x3)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点M，D为抛物线的对称轴上的点.若ADM为等腰三角形，求点D的坐标.解：由题意，得A(1，0)，M(0，3)，抛物线的对称轴为直线x 2.设点D的坐标为(2，y)当MDDA时，MD2DA2，即(02)2(3y)2(21)2y2，解得y2，此时点D的坐标为(2，2)当MDMA时，MD2MA2，即(02)2(3y)2(01)2(30)2，解得y13 ，y23 ，此时点D的坐标为(2，3 )或(2，3 )当DAMA
9、时，DA2MA2，即(21)2y2(01)2(30)2，解得y13，y23，此时点D的坐标为(2，3)或(2，3)(点A，D，M共线，舍去)综上所述，符合条件的点D的坐标为(2，2)或(2，3 )或(2，3 )或(2，3)1326666669.如图1，已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，直线l经过B，C两点，抛物线的顶点为D.(1)求抛物线和直线l的解析式；解：(1)将B(3，0)，C(0，3)代入yx2bxc，得 解得 抛物线的解析式为yx22x3.直线l经过点B(3，0)，C(0，3)，可设直线l的解析式为ykx3，将点B(3，0)代入，得03k3
10、，解得k1，直线l的解析式为yx3.-9+3b+c=0,c=3,b=2,c=3,(2)判断BCD的形状并说明理由；(2)BCD是直角三角形理由如下：如图1，过点D作DHy轴于点H.yx22x3(x1)24，顶点D的坐标为(1，4)点C的坐标为(0，3)，点B的坐标为(3，0)，OCOB3，HDHC1，DHC和OCB都是等腰直角三角形，HCDOCB45，DCB180HCDOCB90，BCD是直角三角形(3)如图2，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过点E作EFx轴于点F，EF交线段BC于点G，当ECG是直角三角形时，求点E的坐标.(3)EFx轴，OBC45，FGB90OBC45，EGC4
11、5，若ECG是直角三角形，只可能CEG90或ECG90.如图21，当CEG90时，EFx轴，EFy轴，ECOCOFCEF90，四边形OFEC为矩形，yEyC3.在yx22x3中，当y3时，x22x33，解得x10，x22，点E的坐标为(2，3)如图22，当ECG90时，由(2)知，DCB90，此时点E与点D重合，点E的坐标为(1，4)综上所述，当ECG是直角三角形时，点E 的坐标为(2，3)或(1，4)类型四 二次函数与角的相关问题10.如图，直线yx1与抛物线yx26x5相交于A，D两点.抛物线的顶点为C，连接AC.P为该抛物线上一动点(与点A，D不重合)，连接PA，PD.当PDACAD时，
12、点P的坐标为_.(0，5)或 3724，类型五 二次函数与特殊四边形的相关问题11.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线yx24x6上运动，过点A作ACx轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为()A.1B.2C.D.32B 12.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上.若抛物线yax210ax8(a0)经过点C，D，则点B的坐标为_.(4，0)13.如图，C，D是抛物线y(x1)25上两点，抛物线的顶点为E，CDx轴，四边形ABCD为正方形，AB边经过点E，则正方形ABCD的边长为_.5624514.如图，二次函数
13、yax2bxc(a0)的图象交x轴于点A(1，0)，B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，直线CD平行于x轴，与抛物线的另一个交点为D.(1)求二次函数的解析式；解：(1)二次函数的图象交x轴于点A(1，0)，B(3，0)，可设二次函数的解析式为ya(x1)(x3)将点C(0，3)代入，得3a(01)(03)，解得a1，二次函数的解析式为y(x1)(x3)x22x3.(2)若M是x轴上的动点，N是抛物线上的动点，求使以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标.(2)在yx22x3中，当y3时，x22x33，解得x10，x22，点D的坐标为(2，3)当以B，D，M，N为顶点四边形是平
14、行四边形时，有两种情况：当BD是平行四边形的边时，如图1，由 解得xN1 或1 ，此时xM1 1 或xM1 1 ，点M的坐标为(，0)或(，0)当y3时，点N与点C重合，此时点M的坐标为(1，0)2y=-3,y=-x+2x+3,77777777当BD是平行四边形的对角线时，如图2，点B的坐标为(3，0)，点D的坐标为(2，3)，线段BD的中点坐标为(，)设点M的坐标为(m，0)，则可得点N的坐标为(5m，3)将点N的坐标为(5m，3)代入yx22x3，得3(5m)22(5m)3，解得m13(舍去)，m25，点M的坐标为(5，0)综上所述，点M的坐标为(，0)或(，0)或(1，0)或(5，0)523277