1、第八章 第五讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1已知M(2,0)、N(2,0)，|PM|PN|4，则动点P的轨迹是()A双曲线B双曲线左边一支C一条射线 D双曲线右边一支答案：C2已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线答案：B解析：本题考查椭圆的第一定义如下图所示，由题知|PF1|PF2|2a，(设椭圆方程：1，其中ab0). 连结MO，由三角形的中位线可得：|F1M|MO|a(a|F1O|)，则动点M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆，故选B.3.经过抛物线y22px焦点的弦的中点的
2、轨迹是 ()A抛物线 B椭圆 C双曲线 D直线答案：A解析：设抛物线的焦点是F(，0)弦AB的中点为M(x，y)将A(x1，y1)、B(x2，y2)代入抛物线方程并作差得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，kAB.又kMF，由kABkMF，得y2p(x)，它是抛物线y2px沿向量(，0)平移所得4(2009石家庄市高中毕业班复习教学质量检测)设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|5，则点M的轨迹方程为()A.1 B.1 C.1 D.1答案：A解析：设M(x，y)，A(m,0)，B(0，n)，由，得(x，y)(m,0)(0，n)，所以m，ny，又|AB|5，所以m2n
3、225，(x)2(y)225，即1.5已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()Ay21(y1) By21Cy21 Dx21答案：A解析：由题意|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2，故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支，又c7，a1，b248所以轨迹方程为y21(y1)6已知定点A(2,0)，B(2,0)，动点P与A、B连线的斜率之积满足kAPkBPm，当m1时，ABP的形状是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不能确定答案：B解析：
4、如图，kAP1kBP11，此时ABP1为直角三角形，kAP2kBP21，此时ABP为锐角三角形故选B.7设A1、A2是椭圆1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案：C解析：设交点P(x，y)，A1(3,0)、A2(3,0)、P1(x0，y0)、P2(x0，y0)，因为A1、P1、P共线，所以，因为A2、P2、P共线，所以.解得x0，y0，代入1，化简得1.8已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(0，1)，B(0,1)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点F的轨迹方程是()A.1(y0) B.1(y0)
5、C.1(x0) D.1(x0)答案：C解析：如图，l为圆的切线，切点为M，l也是抛物线的准线，过切点M与圆心O的直线为抛物线的对称轴，焦点F(x，y)在对称轴上，ACl，BDl，则|AC|BD|2|OM|4，|FA|FB|AC|BD|4.即F的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(不含y轴上的点)，其方程为1(x0)，故选C.二、填空题(4520分)9(2009浙江杭州学军中学月考)设P是以F1、F2为焦点的双曲线1上的动点，则F1PF2的重心的轨迹方程是_答案：y21(y0)解析：设重心为(x，y)，设P(x，y)，F1(4,0)、F2(4,0)，则代入双曲线方程得y21(y0)10平面上有三个点A(
6、2，y)，B(0，)，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_答案：y28x解析：(2，)，(x，)2x0，即：y28x.11已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，由动点P向O和O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_答案：x解析：设P(x，y)，由已知O(0,0)，r，O(4,0)，r，|PO|2r2|PO|2r2，即x2y22(x4)2y26.解得x.12过原点的双曲线以F(4,0)为一个焦点，且实轴长为2，则此双曲线的中心的轨迹方程为_答案：(x2)2y21或(x2)2y29解析：设双曲线中心为(x，y)，另一焦点坐标为(2x4,2y)由于双曲线过原点，因此有：|4
7、|2，3或1所以轨迹方程为：(x2)2y29或(x2)2y21.三、解答题(41040分)13如图，设点A和B为抛物线y24px(p0)上除原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线. 解析：解法一：设M(x，y)A，B两点在抛物线上，则A(，y1)，B(，y2)由OAOBkOAkOB1y1y216p2.由OMABkOMkAB11y1y2.又动点M在直线AB上，直线AB方程：yy1(x)，故M(x，y)适合方程：y(x)y1整理得(x2p)2y24p2(x0)，点M的轨迹是以C(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆(去掉原点)解法二：设M(x，y)，A(，
8、y1)，B(，y2)kOAkOB1，y1y216p2，又直线AB的方程为yy1(x)，令y0有xy1，x，x4p，故直线AB恒过定点Q(4p,0)，根据kOMkMQ1，有1，整理得(x2p)2y24p2(x0)解法三：点A、B在抛物线y24px上，设A(，yA)，B(，yB)，M(x，y)，则(，yA)，(，yB)，0(，yA)(，yB)，yAyB0，yAyB0，yAyB16p2，又，0(x，y)(，yByA)，x(yByA)y0，依题意，yAyB，yByA0，xy0，即yByA，与共线，而(x，yyA)，(x，yBy)，(x)(yBy)(x)(yyA)0，x0，将式代入，化简得x2y24px
9、0，(x2p)2y24p2(x0)，故M的轨迹是以(2p,0)为圆心，2p为半径的圆，去掉(0,0)分析：解法一通过整理过程，寻找机会将y1y2和y1y2整体代入消参；解法二关键得出直线AB恒过定点(4P,0)，再运用kOMkMQ1；解法三利用向量知识求解14在ABC中，已知B(3,0)，C(3,0)，ADBC于D，ABC的垂心H分有向线段所成的比为.(1)求点H的轨迹方程；(2)设P(1,0)，Q(1,0)，那么、能成等差数列吗？为什么？解析：(1)设H(x，y)，则A(x，y)故1.化简，得所求的轨迹方程为1(y0)(2)因c1，故P、Q分别为椭圆的左、右焦点，且e.于是，|HP|3x，|
10、HQ|3x.假设、能成等差数列，则，解之，得x227.从而，10，矛盾故假设不成立，于是、不能成等差数列15如图，已知圆A：(x2)2y21与点A(2,0)，B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程(1)PAB的周长为10；(2)圆P过点B(2,0)且与圆A外切(P为动圆圆心)；(3)圆P与圆A外切且与直线x2相切(P为动圆圆心)解析：(1)根据题意，知|PA|PB|AB|10.即|PA|PB|64|AB|，故P点的轨迹是椭圆，且2a6,2c4，即a3，c2，b.因此其方程为1(y0)(2)设圆P的半径为r，则|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|1.由双曲线的定义知，P点的
11、轨迹为双曲线的右支，且2a1,2c4，即a，c2，b.因此其方程为4x2y21(x)(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p4.因此其方程为y28x.反思归纳：(1)本题为利用圆锥曲线定义求动点轨迹方程问题若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程(2)圆锥曲线的定义提示了其本质特征，而圆锥曲线的方程随坐标系的不同而不同，因而掌握定义是根本16如图，已知点F(1,0)，直线l：x1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点
12、F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知1，2，求12的值命题意图：本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运用能力和综合解题能力解析：解法一：(1)设点P(x，y)，则Q(1，y)，由，得(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得C：y24x.(2)设直线AB的方程为：xmy1(m0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(1，)联立方程组消去x得y24my40，(4m)2120，由1，2，得：y11y1，y22y2，整理得：11，21，122()220.解法二：(1)由得：()0，()()0，220，|.所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为y24x.(2)由已知1，2，得120，则，过点A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，则有，由得：，即120.