1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角班级:_姓名:_设计人:_日期:_课前预习 预习案温馨寄语人生太短，要干的事太多，我要争分夺秒。爱迪生学习目标 1理解掌握平面向量数量级的坐标表达式，会进行数量积的坐标运算.2理解掌握相连的模、夹角等公式，能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.学习重点 利用平面向量数量积的坐标运算求向量的夹角、模等学习难点 平面向量数量积坐标运算的灵活应用自主学习 1平面向量的数量积的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=_.2两个向量垂直的坐标表示设两个非零的向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 _.3三个重要公式(1)向量模的公
2、式：若 a=(x,y)，则 =_.(2)两点间的夹角公式：A=(x1,y1),B=(x2,y2),，则 =_.(3)向量的夹角公式：设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a与b的夹角为，则cos=_.预习评价 1若向量b与向量a=(1,-2)的夹角为180，且 ,则b=A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)2若a=(3,4),b=(2,-1)则 = , = ,ab= .3若a=(4,-2),b=(k,-1)且ab则k=_.4已知 ，则向量a，b的夹角=_.知识拓展 探究案合作探究 1平面向量数量积的坐标运算及向量模的坐标表示根据平面向量数量积的坐
3、标表示公式ab=x1x2+y1y2，(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)，探究下列问题：(1)如何用向量a与向量b的坐标推导表示ab？(2)平面向量数量积的坐标表示的作用是什么？2如何利用向量的数量积坐标表示公式推导 ？3平面向量的夹角与垂直的坐标表示设a，b为非零向量，已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且a与b的夹角为，回答下列问题：(1)能否用向量a与b的坐标表示其夹角？(2)当90即ab时，利用向量a与b的坐标能得到什么关系？教师点拨 平面向量的夹角与垂直的坐标表示的四点说明已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)且a与b的夹角为.(1)夹角公式： 其作用是求
4、两个向量的夹角，证明两个向量垂直；判断两个向量夹角的范围.(2)垂直的等价形式： .(3)平面向量的夹角公式与垂直的坐标表示的前提条件是：a0且b0.(4)因为 ，所以 .交流展示平面向量数量积与模的坐标运算 1在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则=A.5B.4C.3D.22已知平面向量a与b的夹角为60,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=.变式训练 1向量，且与方向相同，则的范围是A.B.C.D.2已知向量a=(2，l)，ab=10，则|b|=A.B.C.5D.25交流展示应用数量积解决垂直与夹角问题 已知向量，.()当时，求的
5、值；()当时，求向量与的夹角的余弦值；()当时，求.变式训练 3已知中，、,为边上的高，则点的坐标为_.4已知向量a=(4,2),b=(1,1),则向量a-b与向量a+b的夹角的余弦值是.交流展示平面向量数量积的综合运算与应用 4平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，DAB=60，M是线段DC上一点，且满足，若N为平行四边形ABCD内任意一点(含边界), 则的最大值为A.13B.0C.8D.55如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,cR,a0)是偶函数,其图象过点C(t,2)且与x轴交于A,B两点,若ACBC,则a的值为.变式训练 5已知三个点，(1)求证：；(2)要使四边形为矩
6、形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值6在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin ,t)( 0).(1)若a,且|=|,求向量;(2)若向量与向量a共线,当k4,且tsin 取最大值为4时,求.学习小结 1求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤:(2)注意事项:在个别合有|a|,|b|与ab的等量关系式中,常利用消元思想计算的值.2求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.(2)aa= a2=|a|2或此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量
7、运算的相互转化.(3) 一些常见的等式应熟记,如等.3利用数量积求两向量夹角的步骤(1)求数量积:利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.(2)求模:利用计算出这两个向量的模.(3)求余弦值:由公式直接求出的值.(4)求角:在内,由的值求角.4求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则aa=a2=|a|2 =x2+y2,于是有.类型二 平面向量的夹角和垂直问题5数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时,要正确使用公式并能灵活运用以下几个关系:|a|2=aa.(
8、a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2.(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.当堂检测 1已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与bA.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向2已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则向量a与b的夹角为A.B.C.D.3如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 .4已知点A(-3，-4)，B(5，-12)，O为坐标原点.(1)求的坐标及.(2)若，求及的坐
9、标.(3)求.5已知向量的夹角为.(1)求；(2)若,求的值.知识拓展 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 .2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角详细答案课前预习 预习案【自主学习】1x1x2y1y22x1x2y1y203(1) (2) (3) 【预习评价】1A25 234120知识拓展 探究案【合作探究】1(1)设i，j是x轴、y轴上的单位向量，即i(1，0)，j(0，1)，则ax1iy1j，bx2iy2j，所以ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2y1y2.(2)引入向量的坐标表示后，实现了向量的数量积的运算与两向量坐标的运算的转化，从而将两者联系起来.同时向量的
10、坐标表示与运算可以简化数量积的运算.2由向量的数量积公式的坐标表示，得a2aa(x，y)(x，y)x2y2，又向量模的坐标公式a ,得a2x2y2，所以a2a2.3(1)提示:由向量的数量积公式ababcos，得 ，根据向量数量积与向量模的坐标表示，得cos .(2)根据向量夹角的坐标公式，当90时，cos90 0，x1x2y1y20，即ab x1x2y1y20.【交流展示平面向量数量积与模的坐标运算】1A【解析】本题主要考查平面向量的基本运算.由+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),得=(2,1)(3,-1)=5,故选A.【备注】平面向量的基本运算,首先要注意应用向量的加减法产生必要的
11、向量,然后结合向量的乘法及一些其他运算.22【解析】本题主要考查平面向量的基础知识,考查考生的运算求解能力.由a=(2,0),|b|=1,可知|a|=2,ab=|a|b|cos 60=1,又|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4+4=12,故|a+2b|=2.【变式训练】1C【解析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及平行向量，两个向量与方向相同，我们可以判断存在实数使得：，然后根据已知条件，将条件中的等量(不等)关系转化为方程(不等式)，解方程(不等式)即可求得答案与同向，可设，则有，又，的范围是，故应选C.2C【解析】，得，故选C.【交流展示应用数量积解决垂直与夹角问题】()，即
12、.()，又，.向量与向量的夹角的余弦值为.()依题意 .，.即，.【解析】本题主要考查了平面向量的数量积.如果两个向量垂直，则它们对应坐标乘积的和等于0.如果求两个向量夹角的余弦值则会用两个向量数量积去求解.【变式训练】3(1，1)【解析】本题主要考查了向量共线和垂直的坐标表示.设D点坐标为，则向量，因为点D在BC上，所以向量和共线，所以有，整理得；又因为为边上的高，所以，所以有，即，整理得，把联立解得：.所以点D的坐标为(1，1).4【解析】因为向量a=(4,2),b=(1,1),所以向量a-b=(3,1),a+b=(5,3),所以|a-b|=,|a+b|=,(a-b)(a+b)=15+3=
13、18,所以cos=.【交流展示平面向量数量积的综合运算与应用】4A【解析】本题考查平面向量的数量积. 如图建立平面直角坐标系. 令则. ，令,当它过点时，=.选A5-【解析】由题意可知b=0,故函数图象与x轴交点的坐标分别为A(-,0),B(,0);点C的坐标为C(-,2),则=(-+,-2),=(+,-2),故=+4=+4=0,可得a=-.【变式训练】5(1)证明：由题意，.，.(2)由(1)及四边形ABCD为矩形，得，设，则(1，1)=(x+1，y-4)，即C(0，5)；，得：，.设与夹角为，则，该矩形对角线所夹的锐角的余弦值【解析】本题考查两向量垂直的充要条件并利用向量垂直证明两线垂直；
14、利用向量的数量积求向量的夹角. (1)求出向量的坐标，利用向量的数量积为0，两向量垂直证出两线垂直(2)利用向量相等对应的坐标相等求出点C的坐标，求出两对角线对应的向量坐标，利用向量的数量积公式求出向量的夹角6(1)=(n-8,t),a,8-n+2t=0.又|=|,564=(n-8)2+t2=5t2,得t=8.=(24,8)或=(-8,-8).(2)=(ksin -8,t),向量与a共线,t=-2ksin +16,tsin =(-2ksin +16)sin =-2k(sin -)2+,k4,10,当sin =时,tsin 取得最大值.由=4,得k=8,此时=,=(4,8),=(8,0)(4,8
15、)=32.【解析】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直、向量的数量积运算和三角函数的最值问题,考查考生的运算求解能力.【当堂检测】1A【解析】ab= (-5,6)(6,5)=(-5)6+65=0,a b.2B【解析】因为a(b-a)=ab-a2=2,所以ab=3,所以cos=,所以=.3【解析】本题考查平面向量的数量积。以顶点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(,0),E(,1)；设F(x,2)，所以=(,0)(x,2)=x=，可得：x=1；所以= (,1)(1-,2)(1)2。4（1）因为，所以，.（2）由，所以，.（3）.5(1)的夹角为,;(2),【解析】本题主要考查平面向量的数量积运算,以及两个向量垂直的充要条件.(1)求,展开后可得,只需求出即可；(2),若,则,利用向量的数量积运算即可求出【备注】向量的数量积运算,以及两向量平行,垂直的充要条件是重点考查内容.【知识拓展】且【解析】本题主要考查平面向量的数量积和夹角.,.由于与的夹角为钝角，当，向量共线，应舍去，因此的取值范围是且.
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