1、第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 学 习 目 标核 心 素 养 1理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点(重点、易混点)2会用综合法、分析法解决问题(重点、难点)通过学习综合法和分析法体现了数学逻辑推理的素养，提升学生的数学运算的素养.自 主 预 习 探 新 知 1综合法 定义推证过程特点 利用和某些数学、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法PQ1Q1Q2 Q2Q3 QnQ(P表示、已有的、等，Q表示)顺推证法或由因导果法 已知条件定义公理定理推理论证已知条件定义公理定理所要证明的结论2.分析法 定义框
2、图表示特点 一般地，从要证明的，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、等)为止这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法结论出发充分条件定理定义公理思考：综合法与分析法有什么区别？提示 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因1命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”，其过程应用了()A分析法 B综合法C综合法、分析法综合使用D间接证法B 从证明过程来看，是从已知条件入手，经过
3、推导得出结论，符合综合法的证明思路2要证明 AB，若用作差比较法，只要证明_AB0 要证 AB，只要证 AB0.3将下面用分析法证明a2b22ab 的步骤补充完整：要证a2b22ab，只需证 a2b22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立a2b22ab0(ab)20(ab)20 用分析法证明a2b22ab 的步骤为：要证a2b22ab 成立，只需证 a2b22ab，也就是证 a2b22ab0，即证(ab)20.由于(ab)20 显然成立，所以原不等式成立合 作 探 究 释 疑 难 综合法的应用【例 1】在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin
4、 Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.求证：a，b，c 成等差数列证明 因为 sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1，所以 sin B(sin Asin C)(cos 2B1)0，即 sin B(sin Asin C)2sin2B0，所以 sin B(sin Asin C2sin B)0，由于在ABC 中，sin B0，因此 sin Asin C2sin B0，由正弦定理可得 a2R c2R2b2R0，于是 ac2b，故 a，b，c 成等差数列综合法的解题步骤跟进训练1设数列an的前 n 项和为 Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)，其中 m 为常数，且 m3
5、.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比为 qf(m)，数列bn满足 b1a1，bn32f(bn1)(nN*，n2)，求证：1bn 为等差数列证明(1)由(3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3，两式相减，得(3m)an12man，an1an 2mm3(m3)，又 m 为常数，an为等比数列(2)(3m)Sn2manm3，(3m)a12ma1m3，又 m3，a11，b1a11，由(1)，可得 qf(m)2mm3(m3)，nN*且 n2 时，bn32f(bn1)32 2bn1bn13，bnbn13bn3bn1，又易知 bn0，1bn 1bn113.数列1bn 是首项为
6、 1，公差为13的等差数列.分析法的应用【例 2】设 a，b 为实数，求证：a2b2 22(ab)证明 当 ab0 时，a2b20，a2b2 22(ab)成立当 ab0 时，用分析法证明如下：要证 a2b2 22(ab)，只需证(a2b2)222 ab2.即证 a2b212(a2b22ab)，即证 a2b22ab.a2b22ab 对一切实数恒成立，a2b2 22(ab)成立 综上所述，不等式得证用分析法证明不等式的三个关注点 1分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式等.2分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际
7、上是要寻找它的充分条件或充要条件.3分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性.其格式一般为“要证，只要证，只需证，显然成立，所以成立”.跟进训练2已知 a，b 是正实数，求证：ab ba a b.证明 要证 ab ba a b，只要证 a ab b ab(a b)即证(ab ab)(a b)ab(a b)，因为 a，b 是正实数，即证 ab ab ab，也就是要证 ab2 ab，即(a b)20.而该式显然成立，所以 ab ba a b.综合法和分析法的综合应用 探究问题1在实际解题时，综合法与分析法是否可以结合起来使用？提示：在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用
8、分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程2你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路吗？提示：用框图表示如下：其中 P 表示已知条件、定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论【例 3】已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0 x1.求证：logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc.思路探究：解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成整式不等式证明 证明 要证明：logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc，只需要证明 logxab2 bc2 ac2logx(abc)由已知 0 xabc.由公式a
9、b2 ab0，bc2 bc0，ac2 ac0，又a，b，c 是不全相等的正数，ab2 bc2 ac2 a2b2c2abc.即ab2 bc2 ac2 abc 成立 logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc 成立 1(变条件)删掉本例条件“0 x1”，求证：lg ab2 lg bc2 lg ca2 lg alg blg c.证明 要证 lg ab2 lg bc2 lg ca2 lg alg blg c，只需证 lgab2 bc2 ca2lg(abc)，即证ab2 bc2 ca2 abc.因为 a，b，c 为不全相等的正数，所以ab2 ab0，bc2 bc0，c
10、a2 ac0，且上述三式中等号不能同时成立，所以ab2 bc2 ca2 abc 成立，所以 lg ab2 lg bc2 lg ca2 lg alg blg c 成立2(变条件)把本例条件“0 x a b c.证明 法一：由左式推证右式 abc1，且 a，b，c 为互不相等的正数，1a1b1cbcacab bcac2acab2abbc2 bcac acab abbc c a b.1a1b1c a b c.法二：由右式推证左式 a，b，c 为互不相等的正数，且 abc1，a b c1bc1ac1ab 1b1c2 1a1c2 1a1b2(基本不等式)1a1b1c.分析综合法的解题思路分析综合法的解题
11、思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P；若由 P 可推出 Q，即可得证.课 堂 小 结 提 素 养 1综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知2分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知3实际证题时，常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来1判断正误(1)综合法是执果索因的逆推证法()(2)分析法就是从结论推向已知()(3)所有证明的题目均可使用分析法证明()答案(1)(2)(3)2欲证 2 3 6 7成立，只需证()A(2 3)2(6 7)2B(2 6)2(3 7)2C(2 7)2(3 6)2D(2 3 6)2
12、(7)2C 2 30，6 70，故 2 3 6 7 2 7 3 6(2 7)20，求证：3a32b33a2b2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)证明 法一(综合法)：3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因为 ab0，所以 ab0,3a22b20，从而(3a22b2)(ab)0，所以 3a32b33a2b2ab2.法二(分析法)：要证 3a32b33a2b2ab2，只需证 3a2(ab)2b2(ab)0，只需证(3a22b2)(ab)0，ab0.ab0,3a22b22a22b20，上式成立点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!