1、第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理 学 习 目 标核 心 素 养 1理解演绎推理的含义(重点)2掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理(重点、易混点)1通过学习演绎推理，提升逻辑推理的素养2借助三段论，提升数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 1演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出的结论，我们把这种推理称为演绎推理(2)特点：演绎推理是由的推理某个特殊情况下一般到特殊2三段论 一般模式常用格式 大前提_M 是 P小前提_S 是 M 结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S 是 P 所研究的特殊情况已知的一般原理思考：如何分清大前提、小前提和
2、结论？提示 在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义1“四边形 ABCD 是矩形，所以四边形 ABCD 的对角线相等”，补充该推理的大前提是()A正方形的对角线相等B矩形的对角线相等C等腰梯形的对角线相等D矩形的对边平行且相等B 得出“四边形 ABCD 的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”2三段论：“小宏在 20
3、18 年的高考中考入了重点本科院校；小宏在2018 年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；小宏在2018 年的高考中正常发挥”中，“小前提”是_(填序号)在这个推理中，是大前提，是小前提，是结论3下列几种推理过程是演绎推理的是_两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果A 和B是两条平行直线的内错角，则AB；金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；由圆的性质推测球的性质；科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 是演绎推理；是归纳推理；是类比推理合 作 探 究 释 疑 难 把演绎推理写成三段论的形式【例 1】将下列演绎推理写成三段论的形式(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行
4、四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，A，B 是等腰三角形的底角，则AB；(3)通项公式为 an2n3 的数列an为等差数列解(1)大前提：平行四边形的对角线互相平分，小前提：菱形是平行四边形，结论：菱形的对角线互相平分(2)大前提：等腰三角形的两底角相等，小前提：A，B 是等腰三角形的底角，结论：AB.(3)大前提：数列an中，如果当 n2 时，anan1 为常数，则an为等差数列，小前提：通项公式为 an2n3 时，若 n2，则 anan12n32(n1)32(常数)，结论：通项公式为 an2n3 的数列an为等差数列 把演绎推理写成“三段论”的一般方法 1用“三
5、段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.2在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟进训练1下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理
6、数B 对于 A，小前提与大前提之间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于 B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于 C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式用三段论证明几何问题【例 2】如图所示，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 边上的点，BFDA，DEBA，求证：DEAF.写出“三段论”形式的演绎推理解(1)同位角相等，两直线平行，(大前提)BFD 和A 是同位角，且BFDA，(小前提)所以 DFAE.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DEBA 且 DFEA，(小前提)所以四边形 AFDE 为平行四
7、边形(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE 和 AF 为平行四边形的对边，(小前提)所以 DEAF.(结论)1用“三段论”证明命题的格式 (大前提)(小前提)(结论)2用“三段论”证明命题的步骤理清楚证明命题的一般思路；找出每一个结论得出的原因；把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来跟进训练2如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD的中点求证：EF平面 BCD.证明 三角形的中位线平行于第三边，(大前提)点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，(小前提)所以 EFBD.(结论)若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则这条直线与此平面平行，(大前提)EF 平
8、面 BCD，BD平面 BCD，EFBD，(小前提)EF平面 BCD.(结论)用三段论证明代数问题 探究问题1数的大小比较常见方法有哪些？提示：作差法、作比法、函数性质法(单调性、奇偶性等)、图象法、中间量法(常取 0 或 1 作为媒介)等2证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是什么？试以函数单调性给予说明提示：证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是函数性质的相关定义及有关的知识原理如函数单调性的证明，常依据函数单调性的定义及单调性与导数的关系给予证明【例 3】(1)设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则()A2x3y5z B5z2x3yC3y5z2xD3y2x1)，证明：
9、函数 f(x)在(1，)上为增函数思路探究：(1)借助于指数函数、对数函数互化及不等式大小的比较方法求解；(2)利用函数的单调性或导数法求解(1)D 法一：取对数：xln 2yln 3zln 5，xyln 3ln 232，2x3y；xln 2zln 5，则xzln 5ln 252，2x5z，3y2x1，则 2x3y，2x5z2lg klg 2 lg 55lg klg 25lg 321，则 2x5z，故选 D.(2)解：法一：(定义法)任取x1，x2(1，)，且x10，且 a1，所以 ax2x11，而1x10，x210，所以 f(x2)f(x1)0，所以 f(x)在(1，)上为增函数 法二：(导
10、数法)f(x)axx13x1 ax1 3x1.所以 f(x)axln a3x12.因为 x1，所以(x1)20，所以3x120.又因为 a1，所以 ln a0，ax0，所以 axln a0.所以 f(x)0.于是得 f(x)axx2x1在(1，)上是增函数1(变条件)把本例(1)的条件变换如下：“已知 2a3,2b6,2c12”，则 a，b，c 的关系是()A成等差数列但不成等比数列B成等差数列且成等比数列C成等比数列但不成等差数列D不成等比数列也不成等差数列A 由条件可知 alog2 3，blog2 6，clog2 12.因为 aclog2 3log2 12 log2 362log2 62b
11、，所以 a，b，c 成等差数列 又因为 aclog2 3log2 12(log2 6)2b2，所以 a，b，c 不成等比数列故选 A.2(变条件)把本例(2)的函数换成“y2x12x1”，求证：函数 y2x12x1是奇函数，且在定义域上是增函数证明 y2x122x1122x1，所以 f(x)的定义域为 R.f(x)f(x)122x1 122x1 222x122x1 222x1 22x2x1 222x12x1 220.即 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数 任取 x1，x2R，且 x1x2.则 f(x1)f(x2)122x11 122x21 212x2112x11 22x12x22x212
12、x11.由于 x1x2，从而 2x12x2，2x12x20，所以 f(x1)f(x2)，故 f(x)为增函数五类代数问题中的三段论(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.2导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等.3三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式.4数列问题：数列的通项公式，前 n 项和公式的应用，证明等差数列和等比数列.5不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题.课 堂 小 结 提 素 养 1三段论的形式：大前提：M 是 P；小前提：S 是 M；结论：S 是 P.2应用
13、三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论1判断正误(1)“三段论”就是演绎推理()(2)演绎推理的结论是一定正确的()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理()(4)演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关()答案(1)(2)(3)(4)2若大前提是：任何实数的平方都大于 0，小前提是：aR，结论是：a20，那么这个演绎推理出错在()A大前提B小前提C推理过程D没有出错A 要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，
14、若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确因为任何实数的平方都大于 0，又因为 a 是实数，所以 a20，其中大前提是：任何实数的平方都大于 0，它是不正确的3函数 y2x5 的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_.小前提：_.结论：_.一次函数的图象是一条直线 y2x5 是一次函数 函数 y2x5 的图象是一条直线 本题忽略了大前提和小前提大前提为：一次函数的图象是一条直线小前提为：函数 y2x5 为一次函数结论为：函数 y2x5 的图象是一条直线4.用三段论证明：直角三角形两锐角之和为 90.证明 因为任意三角形内角之和为 180，(大前提)而直角三角形是三角形，(小前提)所以直角三角形内角之和为 180.(结论)设直角三角形两个锐角分别为A、B，则有AB90180，因为等量减等量差相等，(大前提)(AB90)9018090，(小前提)所以AB90.(结论)点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!