1、第九章(B) 第六讲时间:60分钟满分:100分一、选择题(8540分)1已知二面角l的大小为30,m,n为异面直线,且m,n,则m,n所成的角为()A30B90C120D150答案:A解析:两异面直线所成的角090,故排除B、C、D.2(2009吉林延边一模)正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BC1的中点,则异面直线A1E与CD1所成角等于()A90 B60 C45 D30答案:D解析:如图,A1E与CD1所成角等于BA1E,因为A1BC1为等边三角形,又E为BC1中点,所以BA1E30.故选D.3(2009黑龙江大庆一模)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AB、
2、B1C的中点,则EF和平面ABCD所成角的正切值为()A. B. C. D2答案:B解析:取BC中点M,连结FM,则FM平面ABCD,连结EM,则FEM为所求角设正方体的棱长为2,则FM1,EM,tanFEM.故选B.4在四面体ABCD中,AD平面DBC,BDDC,AD,BDDC,则二面角ABCD的大小为()A30 B45C60 D75答案:C解析:取BC中点E,易知BC2,ABAC,AE2,DE1,AE2AD2DE2,知所求角为60.5如下图所示,在三棱锥PABC中,PA平面ABC,BAC90,ABAC,D、E分别是BC、AB的中点,ACAD,设PC与DE所成的角为,PD与平面ABC所成的角
3、为,二面角PBCA的平面角为,则、的大小关系是()A BC D答案:A解析:本题考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角的概念和计算过A作AFBC于F,连结PF,则PFA为二面角PBCA的平面角,PFA,PCA为异面直线DE与PC的夹角,即PCA,连AD,PD与平面ABC的夹角为PDAPDA,ACAB,AFADAFADtantantan,又、为锐角,故选A.6(2009全国,9)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A. B. C. D.答案:D解析:如图,D为BC的中点,则由题意得A
4、1ADBAD30,由三角形余弦公式得cosA1AB,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为,故选D.7(2009保定市高三年级调研考试)在正四面体SABC中,E为SA的中点,F为ABC的中心,则直线EF与平面ABC所成的角的大小为()Aarccos B45Carctan Darctan答案:C解析:如图连接SF,则SF平面ABC.连结AF并延长交BC于H,取线段AF的中点G,连结EG,由E为SA的中点,得EGSF,EG平面ABC,EFG即为EF与平面ABC所成的角设正四面体的边长为a,则AHa,且AFAHa;在RtAGE中,AE,AGAFa,EGA90,EGa.在RtEGF中,FGAFa,E
5、Ga,EGF90,tanEFG,EFGarctan,即EF与平面ABC所成的角为arctan,故选C.8(2010东北四市联考)把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A90 B60 C45 D30答案:C解析:如图由条件可知面ABC面ACD时,三棱锥体积最大,如右图,DBE为所求的角,DEBE.DBE是等腰直角三角形,故DBE45,选C.二、填空题(4520分)9(2009上海)如图所示,若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AD所成角的大小是_(结果用反三角函数值表示)答
6、案:arctan解析:连接D1C.ADBC,D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角在RtBCD1中,BC2,CD12,tanD1BC,D1BCarctan.10(教材改编题)在正四面体ABCD中,E为AD的中点,则二面角EBCD的余弦值为_答案:解析:如图取BC的中点F,连结EF、DF,设正四面体棱长为a,则BECEDFa,DECFa,EF2CE2CF2(a)2(a)2a2,EFa.易知BCEF,BCDF,EFD即为所求二面角的平面角cosEFD.11已知一个平面与正方体的12条棱的夹角均为,那么sin_.答案:解析:如图平面与十二条棱所成的角相等,可归结为与共顶点的三条棱所成的角相等即DB
7、,DC,DA与平面ABC所成的角相等易算得sin.12(2009北京崇文一模)如图所示,等腰梯形ABCD,E、F分别是下底边BC边上的三等分点,ADAE1,BC3,若把三角形ABE和DCF分别沿AE和DF折起,使得B、C两点重合于一点P,则二面角PEFD的大小为_答案:解析:如图为折叠后的几何体,二面角PEFD的大小即为侧面AEFD与底面EFP所成的角,显然为.三、解答题(41040分)13(2009重庆)如图所示,四棱锥PABCD中,ABAD,ADDC,PA底面ABCD,PAADDCAB1,M为PC的中点,N点在AB上且ANNB.(1)求证:MN平面PAD;(2)求直线MN与平面PCB所成的
8、角解析:(1)证明:过点M作MECD交PD于E点,连结AE.ANNB,ANABDCEM.又EMDCAB,EM綊AN,AEMN为平行四边形,MNAE,MN平面PAD.(2)解:过N点作NQAP交BP于点Q,NFCB于点F.连结QF,过N点作NHQF于H,连结MH,易知QN面ABCD,QNBC,而NFBC,BC面QNF,BCNH,而NHQF,NH平面PBC,NMH为直线MN与平面PCB所成的角通过计算可得MNAE,QN,NF,NH,sinNMH,NMH60,直线MN与平面PCB所成的角为60.14(2009广西柳州三模)如图所示,已知直平行六面体ABCDA1B1C1D1中,ADBD,ADBDa,E
9、是CC1的中点,A1DBE.(1)求证:A1D平面BDE;(2)求二面角BDEC的大小解析:(1)证明:在直平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1平面ABCD,AA1BD.又BDAD,BD平面ADD1A1,即BDA1D.又A1DBE且BEBDB,A1D平面BDE.(2)解:如图,连B1C,则B1CBE,易证RtBCERtB1BC,又E为CC1中点,BC2BB.BB1BCa.取CD中点M,连结BM,则BM平面CC1D1C,作MNDE于N,连NB,由三垂线定理知:BNDE,则BNM是二面角BDEC的平面角在RtBDC中,BMa,RtCED中,易求得MNa,RtBMN中,tanBNM,则二面角
10、BDEC的大小为arctan.15如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E为AB的中点(1)求直线B1C与DE所成的角的余弦值;(2)求证:平面EB1D平面B1CD;(3)求二面角EB1CD的余弦值解析:(1)连结A1D,则由A1DB1C知,B1C与DE所成的角即为A1D与DE所成的角连结A1E,由正方体ABCDA1B1C1D1,可设其棱长为a,则A1Da,A1EDEa,cosA1DE.直线B1C与DE所成角的余弦值是.(2)证明取B1C的中点F,B1D的中点G,连结BF,EG,GF.CD平面BCC1B1,且BF平面BCC1B1,DCBF.又BFB1C,CDB1CC,BF平面B1CD.又
11、GF綊CD,BE綊CD,GF綊BE,四边形BFGE是平行四边形,BFGE,GE平面B1CD.GE平面EB1D,平面EB1D平面B1CD.(3)连结EF.CDB1C,GFCD,GFB1C.又GE平面B1CD,EFB1C,EFG是二面角EB1CD的平面角设正方体的棱长为a,则在EFG中,GFa,EFa,cosEFG,二面角EB1CD的余弦值为.16(2009全国,18)如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE平面BCC1.(1)求证:ABAC;(2)设二面角ABDC为60,求B1C与平面BCD所成的角的大小解析:(1)证明:取BC中点F,连结EF,则
12、EF綊B1B,从而EF綊DA.连结AF,则ADEF为平行四边形,从而AFDE.又DE平面BCC1,故AF平面BCC1,从而AFBC,即AF为BC的垂直平分线,所以ABAC.(2)解:作AGBD,垂足为G,连结CG.由三垂线定理知CGBD,故AGC为二面角ABDC的平面角由题设知,AGC60.设AC2,则AG.又AB2,BC2,故AF.由ABADAGBD得2AD,解得AD,故ADAF.又ADAF,所以四边形ADEF为正方形因为BCAF,BCAD,AFADA,故BC平面DEF,因此平面BCD平面DEF.连结AE、DF,设AEDFH,则EHDF,EH平面BCD.连结CH,则ECH为B1C与平面BCD所成的角因ADEF为正方形,AD,故EH1,又ECB1C2,所以ECH30,即B1C与平面BCD所成的角为30.