1、3.3 函数的应用(一)第三章 函数 学 习 任 务核 心 素 养 1了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用2能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题(重点、难点)1 通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养2借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.情境导学探新知 NO.1随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：年份2017 2018 2019 销量/万辆81830 结合以上三年的销量及人们生活的需要，2020 年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售 4
2、3 万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2020 年实际销售 44 万辆，圆满完成销售目标问题(1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？(2)如果我们分别将 2017,2018,2019,2020 年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数模型 f(x)ax2bxc(a0)，一次函数模型 g(x)axb(a0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量 y 与第 x 年的关系？(3)依照目前的形势分析，你能预测一下 2021 年，该公司预销售多少辆汽车吗？知识点 常见的几类函数模型函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)axb(a，b 为常数，a0)
3、二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0)分段函数模型f(x)f1x，xD1f2x，xD2fnx，xDn1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)甲、乙两人在一次赛跑中，路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示，判断下列说法的对错(1)甲比乙先出发()(2)乙比甲跑的路程多()(3)甲、乙两人的速度相同()(4)甲先到达终点()答案(1)(2)(3)(4)2.某物体一天中的温度 T 与时间 t 满足函数关系：T(t)t33t60，时间单位是小时，温度单位是，t0 表示中午 12：00，其前 t 值为负，其后 t 值为正，则上午 8 时的温度是()A8 B12 C58 D18
4、A 求上午 8 时的温度，即求 t4 时的值，所以 T(4)(4)33(4)608.故选 A3.(对接教材 P122 例 3)某商店进货单价为 45 元，若按 50 元一个销售，能卖出 50 个；若销售单价每涨 1 元，其销售量就减少 2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_元 60 设涨价 x 元，销售的利润为 y 元，则 y(50 x45)(502x)2x240 x250 2(x10)2450，所以当 x10，即销售价为 60 元时，y 取得最大值合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 一次函数模型的应用【例 1】某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(
5、套)之间的关系为 y6x30 000，而出厂价格为每套 12 元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒()A2 000 套 B3 000 套C4 000 套D5 000 套D 因为利润 z12x(6x30 000)，所以 z6x30 000，由z0 解得 x5 000，故至少日生产文具盒 5 000 套1一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则 2一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式 axb0(或0)，解答时，注意系数 a 的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值跟进训练1如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费
6、y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系图像，根据图像填空：(1)通话 2 分钟，需要付电话费_元；(2)通话 5 分钟，需要付电话费_元；(3)如果 t3，则电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系式为_(1)3.6(2)6(3)y1.2t(t3)(1)由图像可知，当 t3 时，电话费都是 3.6 元(2)由图像可知，当 t5 时，y6，需付电话费 6 元(3)易知当 t3 时，图像过点(3,3.6)，(5,6)，求得 y1.2t(t3)类型 2 二次函数模型的应用【例 2】某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，假设每箱售价不得低于 50 元且不得高于 55 元市场调查
7、发现，若每箱以50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱(1)求平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？思路点拨 本题中平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然 x50,55，xN，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题 解(1)根据
8、题意，得 y903(x50)，化简，得 y3x240(50 x55，xN)(2)因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润 所以 w(x40)(3x240)3x2360 x9 600(50 x55，xN)(3)因为 w3x2360 x9 6003(x60)21 200，所以当 x60 时，w 随 x 的增大而增大 又 50 x55，xN，所以当 x55 时，w 有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为 55 元时，可以获得最大利润，且最大利润为 1 125 元利用二次函数求最值的方法二次函数模型的解析式为 g(x)ax2bxc(a0)在函数建模中，它占有重要的地位在
9、根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答跟进训练2某水厂的蓄水池中有 400 吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时 60 吨的速度向池中注水，若 t 小时内向居民供水总量为 100 6t(0t24)，则当 t 为何值时蓄水池中的存水量最少？解 设 t 小时后，蓄水池中的存水量为 y 吨，则 y40060t100 6t(0t24)设 u t，则 u0,2 6，y60u2100 6u40060u5 662150，所以当 u5 66，即 t256 时，蓄水池中
10、的存水量最少类型 3 分段函数模型的应用【例 3】某公司生产一种产品，每年投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这种产品还需要增加投资 0.25 万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为 500 件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为 5t12t2(万元)(1)若该公司的年产量为 x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量 x 的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？解(1)当 05 时，产品只能售出 500 件 所以 f(x)5x12x2 0.50.25x05，即 f(x)12x24.75x0.505
11、.(2)当 05 时，f(x)120.25x4 时，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.当乙的用水量超过 4 吨，即 3x4 时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以 y 14.4x，0 x45，20.4x4.8，4543.(2)由于 yf(x)在各段区间上均单调递增；当 x0，45 时，yf45 26.4；当 x45，43 时，yf43 26.4；当 x43，时，令 24x9.626.4，解得 x1.5.所以甲户用水量为 5x51.57.5(吨)，付费 S141.83.5317.70(元)；乙户用水量为 3x4.5(吨)，付费 S241.80.538.70(元)
12、.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1某商场将彩电的售价先按进价提高 40%，然后按“八折优惠”卖出，结果每台彩电利润为 360 元，那么彩电的进价是()A2 000 元 B2 500 元C3 000 元D3 500 元C 设彩电的进价为 x 元，得 1.4x0.8x360，解得 x3 000，故选 C2 1 3 4 5 2向高为 H 的水瓶中注水，注满为止如果注水量 V 与水深 h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是()A B C D2 1 3 4 5 B 题图反映随着水深 h 的增加，注水量 V 增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小故选 B3 1 2 4 5
13、3有一批材料可以建成 360 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_m2(围墙厚度不计)3 1 2 4 5 8 100 设每个小矩形与墙垂直的一边长为 a m，则与它相邻的另一边长为 b13(3604a)m，记围成场地的面积为 S m2，则 S3aba(3604a)4a2360a(0a90)，当 a45 时，Smax8 100(m2)，所围矩形面积的最大值为 8 100 m2.4 1 2 3 5 4某人从 A 地出发，开汽车以 80 千米/小时的速度经 2 小时到达 B 地，在 B 地停留 2 小
14、时，则汽车离开 A 地的距离 y(单位：千米)是时间 t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是_答案 y80t，0t2，160，2t42 4 5 1 3 5某租赁公司拥有汽车 100 辆当每辆车的月租金为 3 000 元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为_元2 4 5 1 3 4 050 设每辆车的月租金定为 x 元，租赁公司的月收益为 y 元，则：y (x 150)100 150 x3 000 50 150(x 3 000)(x
15、150)160 x50 x3 000 x250162x21 000 150(x4 050)2307 050，所以当 x4 050 时，y 最大，最大值为 ymax307 050，即当每辆车的月租金定为 4 050 元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是 307 050元回顾本节知识，自我完成以下问题：1在函数建模中，怎样确立两个变量是哪种函数关系？提示 通常需要先画出函数图像，根据图像来确定两个变量的关系，选择函数类型2函数模型在实际应用中，函数的自变量有什么特点？提示 在实际应用中，函数的自变量 x 往往具有实际意义，如x 表示长度时，x0；x 表示件数时，x0，且 xZ 等在解答时，必须要考虑这些实际意义3实际问题的函数建模步骤有哪些？提示 实际问题的函数建模是将实际问题转化为数学问题的关键，结合对函数性质的研究，通过解决数学问题达到解决实际问题的目的 一般步骤为：(1)设恰当的变量：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的关系，并用 x，y 分别表示问题中的变量(2)建立函数模型：将变量 y 表示为 x 的函数，在中学数学阶段，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式，注意函数的定义域(3)求解函数模型：根据已知条件求解函数模型(4)给出实际问题的解：将数学模型的解还原为实际问题的解，得出实际问题的解点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!