1、高 考 总 复 习 优 化 设 计 GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI 第七节 正弦定理和余弦定理及其应用 第五章 2023内容索引0102强基础 增分策略 增素能 精准突破 课标解读 衍生考点 核心素养 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.正余弦定理的简单应用 2.正余弦定理的综合应用 3.正余弦定理的实际应用 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 强基础 增分策略 知识梳理 1.正弦定理和余弦定理 余弦定理是勾股
2、定理在一般三角形中的推广 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则 定理 正弦定理 余弦定理 语言 表示 在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等 三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 内容=2R(R为ABC外接圆的半径)a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C aA=bB=cC 定理 正弦定理 余弦定理 常见 变形(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(3)abc=sin Asin Bsin C 解决的 问题(1)已知两角和任一边,求其他
3、两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角(2)sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;cos A=b2+c2-a22bc;cos B=a2+c2-b22ac;cos C=a2+b2-c22ab 微点拨三角形解的个数的讨论 在ABC中,已知a,b,A,用正弦定理求B时,解的情况如下:若 sin B=sin1,则满足条件的三角形的个数为 0,即无解;若 sin B=sin=1,则满足条件的三角形的个数为 1,即一解;若 sin B=sinbABsin Asin B.3.在ABC中,A+
4、B+C=,sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,sin+2=cos2;cos+2=sin2.4.三角形中最大内角的取值范围是3,),最小内角的取值范围是(0,3.5.三角形中的射影定理:bcos C+ccos B=a,acos C+ccos A=b,acos B+bcos A=c.6.三角形中判断内角范围的方法:(1)若b2+c2a2,则角A为锐角;(2)若b2+c2=a2,则角A为直角;(3)若b2+c2cos B,sin Bcos C,sin Ccos A等.对点演练 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)在ABC中,一定有a+b+c=sin
5、A+sin B+sin C.()(2)在ABC中,若sin 2A=sin 2B,则必有A=B.()(3)在ABC中,若a2+b22=b,所以 AB,即 B60,故 B=30.增素能 精准突破 考点一正余弦定理的简单应用(多考向探究)考向1.三角形基本量问题 典例突破 例1.(1)(2021全国乙,理15)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60,a2+c2=3ac,则b=.3(2)(多选)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b=23,c=3,A+3C=,则下列结论正确的是()A.cos C=33B.sin B=23C.a=3D.SABC=2答案(
6、1)22(2)AD 解析(1)由题意可知ABC的面积S=12acsin 60=3,整理得ac=4.结合已知得 a2+c2=3ac=12.因为 B=60,由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B=12-24cos 60=8,所以b=22.(2)因为 A+3C=,故 B=2C,根据正弦定理得 sin=sin,即 23sin C=32sin Ccos C.由于 sin C0,故 cos C=33,sin C=63,所以 sin B=sin 2C=2sin Ccos C=223.又由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,化简得到 a2-4a+3=0,解得 a=3 或 a=1.若 a=
7、3,则 A=C=4,故 B=2,不合题意,因此 a=1.故 SABC=12absin C=12123 63=2.故选 AD.方法点拨正弦定理、余弦定理的基本应用,主要是利用两个定理,进行边角互化,进行基本量的计算.三角形中边角互化的基本原则:(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.对点训练 1(1)(2021 吉林长春高三月考)在A
8、BC 中,已知 a,b,c 分别是角 A,B,C的对边,若3b=2asin B,a=4,则ABC 外接圆的直径为()A.8 33B.42C.33D.4 33(2)(2021 深圳高级中学高三月考)在钝角三角形 ABC 中,AB=2,sin B=32,且ABC 面积是 32,则 AC=()A.3B.2C.7D.3或7答案(1)A(2)C 解析(1)由3b=2asin B 知 sin A=32.又 a=4,所以 2R=sin=833,故选 A.(2)依题意,c=2,sin B=32,所以 SABC=12acsin B=32,解得 a=1.因为 ac,所以 A为锐角.当 C 为钝角时,cos B=1
9、-sin2=12,b=2+2-2cos=3,此时cos C=2+2-22=1+3-4213=0,则 C=2,不符合题意;当 B 为钝角时,cos B=-1-sin2=-12,故 b=2+2-2cos=7.考向2.判断三角形形状问题 典例突破 例2.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a-b=ccos B-ccos A,则ABC的形状一定是()A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案 D 解析 (方法1)因为a-b=ccos B-ccos A,所以由正弦定理得sin A-sin B=sin Ccos B-sin Ccos A.又因为s
10、in A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整理得sin Bcos C-sin Acos C=0,因此(sin B-sin A)cos C=0,所以sin B=sin A或cos C=0.因为A,B,C(0,),所以A=B或C=,即ABC是等腰三角形或直角三角形,故选D.2(方法2)因为a-b=ccos B-ccos A,由余弦定理得 a-b=c2+2-22-
11、c2+2-22,即 a-b=2+2-22 2+2-22,整理得a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0,所以(a-b)(a2+b2-c2)=0,因此a-b=0或a2+b2-c2=0,即a=b或a2+b2=c2,故ABC是等腰三角形或直角三角形,故选D.方法总结判断三角形形状的基本方法 对点训练2(2021湖南师大附中高三期中)在ABC中,其内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos Acos B+bcos2A+acos(B+C)=0,则ABC的形状是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案 D 解析 由已知得acos Acos B+b
12、cos2A=-acos(B+C)=acos A,所以sin Acos Acos B+sin Bcos2A=sin Acos A,则(sin Acos B+sin Bcos A-sin A)cos A=0,所以sin(A+B)-sin Acos A=0,所以sin(-C)-sin Acos A=0,即(sin C-sin A)cos A=0,所以sin C=sin A或cos A=0,即c=a或A=,故ABC的形状是等腰三角形或直角三角形,故选D.2 考点二考点二 正余弦定理的综合应用(多考向探究)考向1.范围与最值问题 典例突破 例3.(2021浙江宁波高三期末)在ABC中,角A,B,C的对边
13、分别为a,b,c,且cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则角C的取值范围是()A.0,6B.(0,3C.6,)D.3,)答案 B 解析 由已知得1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2C),因此sin2A+sin2B=2sin2C,由正弦定理得a2+b2=2c2,于是由余弦定理得cos C=2+2-22=2+2-2+222=2+24 24=12,当且仅当 a=b 时,等号成立.又因为 C(0,),所以 C(0,3.名师点析均值不等式在解决三角形最值问题中的应用 在解决三角形问题时,主要涉及边与角的关系,特别是在运用余弦定理、计算周长、计算面积时,会出现三角形两边的平方和、
14、两边的积,两边的和等代数式,这就为均值不等式的应用提供了条件,因此在解决最值或取值范围问题时,应注意均值不等式的合理运用.对点训练3(2021湖北天门高三月考)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin 2B+bsin A=0.若a+c=2,则b的最小值为 .答案3 解析 asin 2B+bsin A=0,则 2asin Bcos B+bsin A=0,由正弦定理得2abcos B+ab=0,cos B=-12.又 B(0,),B=23.a+c=2,由余弦定理得b2=a2+c2+ac2ac+ac=3ac,可得 ac13b2,当且仅当 a=c 时,等号成立,b2=(a+c)2-a
15、c=4-ac4-13b2,可得 b23,b3,即 b 的最小值为3.考向2.多三角形背景问题 典例突破 例 4.在平面四边形 ABCD 中,ABC=3,ADC=2,BC=4.(1)若ABC 的面积为 33,求 AC;(2)若 AD=33,ACB=ACD+3,求 tanACD.解(1)在ABC 中,BC=4,ABC=3,SABC=12ABBCsinABC=33,可得 AB=3.在ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=13,AC=13.(2)设ACD=,则ACB=ACD+3=+3.在 RtACD 中,AD=33,则 AC=sin=33sin.在ABC 中,BAC
16、=-ACB-ABC=3-,由正弦定理得sin=sin,即4sin(3-)=33 32 sin,2sin=3sin 3 =332 cos-32sin,解得 tan=337,故 tanACD=337.技巧点拨多三角形背景问题的求解策略(1)寻找各三角形中已知条件较多,边角关系较明显的三角形,以这样的三角形为主运用正弦定理、余弦定理解决问题.(2)注意发现不同三角形内角之间的关系,尤其是具有互余、互补关系的角,通过这些关系结合诱导公式的运用进行三角函数值之间的转化并进行求解.对点训练4(2021江苏盐城高三期末)如图,在平面四边形ABCD中,ADCD,ABAC,AB=2 .(1)若ABC=30,CD
17、=AD,求BD的长;(2)若AC=2,ADB=30,求sinCAD的值.3 3 解(1)因为 ABAC,ABC=30,所以 AC=ABtanABC=23 33=2.因为 CD=3AD,在 RtACD 中,tanCAD=3,所以CAD=60,因此AD=ACcosCAD=1.在ABD 中,BAD=CAD+CAB=150,由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=19,所以 BD=19.(2)设CAD=,则ABD=60-,AD=2cos.在ABD 中,由正弦定理可得2cossin(60-)=23sin30,化简可得 cos=32 sin.代入sin2+cos2=1,可得 sin2
18、=47.又 为锐角,所以 sin=277,即 sinCAD=277.考向3.与三角函数结合的综合问题 典例突破 例 5.在锐角三角形 ABC 中,A=2B,B,C 的对边长分别是 b,c,则+的取值范围是()A.14,+B.14,12 C.14,13 D.13,12 答案 D 解析 在锐角三角形 ABC 中,A=2B.0A2,0C2,B 6,4.因此 cos B 22,32 ,cos2B 12,34.而 sin C=sin(-A-B)=sin(-3B)=sin 3B,sin 3B=sin(B+2B)=sin Bcos 2B+cos Bsin 2B=sin B(2cos2B-1)+2sin Bc
19、os2B,所以 sin 3B=4cos2Bsin B-sin B=4(1-sin2B)sin B-sin B=3sin B-4sin3B,因此由正弦定理可得+=sinsin+sin=sinsin+sin(-3)=sinsin+3sin-4sin3=14cos2 13,12,故选 D.名师点析正弦定理、余弦定理常常与三角恒等变换、三角形面积公式等结合在一起综合考查学生的能力,解题的关键是结合条件,利用正弦定理、余弦定理进行边角互化,然后在此基础上再进行三角恒等变换,注意和差倍角公式、降幂公式、辅助角公式等的灵活运用.对点训练 5(2021 江苏苏州中学高三月考)在ABC 中,内角 A,B,C 的
20、对边分别是 a,b,c.若 c=3,ABC 的面积等于12c(asin A+bsin B-csin C),则 a+b 的取值范围是()A.(2,3B.(3,3C.(3,23D.(3,23答案 D 解析 由已知得12absin C=12c(asin A+bsin B-csin C),由正弦定理得 ab=a2+b2-c2,所以 cos C=2+2-22=2=12.因为 C(0,),所以 C=3.又因为 c=3,所以sin=sin=3 32=2,可得 a=2sin A,b=2sin B,所以 a+b=2sin A+2sin B=2sin A+2sin 23 =3cos A+3sin A=23sin
21、+6.因为 A 0,23 ,所以 A+6 6,56 ,因此 sin +6(12,1,所以23sin +6(3,23),所以 a+b(3,23,故选 D.考点三正弦定理、余弦定理的实际应用典例突破 例6.(1)(2021江西临川高三月考)某同学为测量滕王阁的高度,选取了与底部水平的直线DF,将自制测量仪器分别放置于D,E两处进行测量(如图),测量仪器高AD=2 m,点P与滕王阁顶部平齐,并测得CBP=2CAP=60,AB=64 m,则小张同学测得滕王阁的高度约为(参考数据1.732)()3 A.50 m B.55.5 mC.57.4 m D.60 m (2)某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,
22、我国海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在北偏东45,距离为10海里的C处,并测得渔轮正沿南偏东75的方向,以9海里/时的速度向小岛靠拢,我国海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为()A.12小时B.23小时C.34小时D.1 小时答案(1)C(2)B 解析 (1)在RtAPC中,CAP=30,则AC=PC.在RtBPC中,PBC=60,则BP=AB,PC=BPsin 60640.86655.4,故滕王阁的高度PF约为57.4 m,故选C.3(2)如图,设舰艇在B处靠近渔轮,所需的时间为t小时,则AB=21t,CB=9t.在ABC 中,根据余弦定理,得 AB2=A
23、C2+BC2-2ACBCcos 120,可得212t2=102+81t2+2109t12,整理得 360t2-90t-100=0,解得 t=23或 t=-512(舍去),故舰艇靠近渔轮所需的时间为23小时.故选 B.方法点拨解三角形实际应用题的一般步骤(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.对点训练 6(2021 四川成都高三模拟)为测量两塔塔尖之间的距离,某同学建立了如图
24、所示的几何模型.若 MA平面 ABC,NB平面 ABC,AC=60 m,BC=703 m,tanMCA=34,cosNCB=1415,MCN=150,则塔尖 MN 之间的距离为()A.7510mB.753 mC.757 mD.75 m答案 C 解析依题意,在 RtMAC 中,AC=60 m,tanMCA=34,tanMCA=60=34,可得 AM=45 m,则 CM=2+2=452+602=75.在 RtBCN中,BC=703 m,cosNCB=1415,则 CN=cos=7031415=753.又MNC 中,MCN=150,由余弦定理可得 MN=2+2-2cos=752+(753)2-2 75 753cos150=757,故塔尖 MN 之间的距离为 757 m,故选 C.