1、广东省东莞市2020届高三数学下学期第一次统考（5月）模拟考试试题 文（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知R是实数集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B
2、【解析】【分析】求出集合，根据交集的运算即可求.【详解】解不等式，可得或，或，.由，可得.故选：B.【点睛】本题考查交集、补集运算，属于基础题.2.复数满足（其中是虚数单位），则的虚部为（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数计算公式化简得到答案.【详解】，虚部为 故选B【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题型.3.已知向量，若，则实数的值为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】由向量和向量的坐标求出向量和向量的坐标，再利用，即可求出的值【详解】解：向量，解得故选：C【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的模长公式，是基础题4.希尔宾斯基
3、三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据几何概型概率求解.计算出第3个大正三角形中黑色区域的面积，再除以大正三角形面积得结果.【详解】设大正三角形面积为1，则黑色区域面积为所以落在黑色区域的概率为.故选：B【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析
4、求解能力，属基础题.5.已知实数满足，则的最小值为（ ）A. 7B. 6C. 1D. 6【答案】A【解析】【分析】作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解.【详解】画出约束条件的可行域，如图（阴影部分）所示：由图可知向上平移直线，到边界的位置时，取得最小值，此时 故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划问题，考查的核心素养是直观想象，属于基础题6.设等差数列前项和为，若，则（ ）A. 18B. 16C. 14D. 12【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，由，解得，又由，求得，进而得到公差，再结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意，设等差数列的公差为，由，可得，
5、解得，又由，所以，解得，所以，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了得出数列的通项公式，以及前项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若，则（ ）A. 或B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入求值即可；【详解】解：因为所以.故选：.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，属于基础题.8.函数的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，由可排除B、D；由当时，可排除C；即可得解.【详解】
6、令，则，所以函数为奇函数，可排除B、D；当时，所以，故排除C.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性与三角函数性质的应用，属于基础题.9.己知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题目可知，过作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义，结合，可得，设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，即可求出的的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率【详解】由题意知，由对称性不妨设P点在y轴的右侧，过作准线
7、的垂线，垂足为，则根据则抛物线的定义，可得，设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为，与联立，得，令，解得可得，又此时点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上双曲线的实轴故答案选B【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到方程思想以及数形结合思想10.的内角所对的边分别是.已知，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由余弦定理化简，得，再由基本不等式求解即可.【详解】因为，得 ，所以，所以 当且仅当 取等号，且为三角形内角 ，所以.故选D【点睛】本题考查余弦定理解三角形和基本不等式的应用，属于基础题
8、.11.已知直三棱柱，和的中点分别为、，则与夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】如图所示：分别以轴建立空间直角坐标系，得到，计算夹角得到答案.【详解】如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系.故，故，.，即与夹角的余弦值为.故选：.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12.己知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知，得到方程在上有解，构造函数，求出它的值域，得到的取值范围.【详解】若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在上有解，即在上有解，令，则，所
9、以当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，所以的值域为，所以的取值范围是，故选C.【点睛】该题考查的是有关根据两个函数图象上存在过于轴对称的点求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意关于轴对称的两点的坐标的关系式横坐标相等，纵坐标互为相反数，之后构造新函数，求函数的值域的问题，属于中档题目.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知e为自然对数的底数，过原点与函数图像相切的直线方程为_【答案】【解析】【分析】设切点为，则切线的斜率，写出切线的方程，把原点的坐标代入，求出，即得切线的方程.【详解】设切点为，则.切线的斜率，切线的方程为.切线过原点
10、，即.切线的方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查曲线的切线方程，属于基础题.14.记为等比数列的前n项和，若，则_（）【答案】【解析】【分析】先根据，求出首项和公比，然后利用求和公式可求.【详解】设等比数列的首项为，公比为，且；因为，所以，解得或（舍），所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查等比数列的求和，利用基本量建立方程组是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.15.已知函数在区间上有最小值4，则实数k_【答案】4【解析】【分析】由函数在上有最小值可知，k0，再由基本不等式即可求得k的值【详解】解：依题意，则，当且仅当时，等号成立则，解得 故答案为：4【点睛】本题考查已知函数的最值求
11、参数的值，考查分析能力及计算能力，属于基础题16.已知三棱锥中，面面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】作示意图，由勾股定理分析出，设为的中点，得到面，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，从而得到外接球球心在上，再求出外接球半径，从而求出外接球的表面积.【详解】作示意图如图所示：设为的中点，由，则，又面面ABC，则面，由题，故，则，故三棱锥的外接球球心在上，球半径为，则，则，又，得，得，三棱锥的外接球的表面积为.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，找出外接球球心的位置是解决问题的关键.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题
12、为必考题，每个试题考生都必须做答；第2223题为选考题，考生根据要求做答）（一）必考题（60分）17.某大型科学竞技真人秀节目挑选选手的方式为：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”已知男生入围24人，女生未入围80人（1）根据题意，填写下面的22列联表，并根据列联表判断是否有95%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关；性
13、别入围人数未入围人数总计男生女生总计（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生，求这11名学生中男、女生人数；若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），分别求这11名学生中女生测试分数平均分的最小值附：，其中【答案】（1）见解析，没有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关；（2）女生5人，男生6人，122.【解析】【分析】（1）根据题意，填写列联表.根据参考公式，计算的观测值，再根据临界值表，即得结论；（2）根据分层抽样原理计算被抽到的女生人数，即得被抽到的男生人数.根据题意，被抽到的女生测试分数的平均分最小时，这5名女生的测试分数分别为，即可求平
14、均分的最小值.【详解】（1）填写列联表如下： 性别入围人数未入围人数总计男生2476100女生2080100总计44156200的观测值所以没有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关 （2）在这11名学生中，被抽到的女生人数为（人），被抽到男生人数为（人）或（人）.因为入围的分数不低于120分，且每个女生的测试分数各不相同，每个人的分数都是整数所以这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值为.【点睛】本题考查列联表和独立性检验，考查分层抽样，属于中档题.18.已知函数满足，数列满足，(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；(2)若，求以及当时n的最小值.【答案】(1)见
15、解析，；（2），n的最小值为5.【解析】【分析】(1)利用换元法可求出函数的解析式，再由可得，从而可得数列是等差数列，再利用等差数列通项公式即可得解.(2)由(1)知，利用错位相减法即可求出，通过计算即可得解.【详解】(1)令，则，可化简为，所以，所以，又，所以，即，又，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以.(2)由(1)得，则，所以，得，所以，通过计算可得，当时，；当时，综上所述，当时，n的最小值为5.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，公式法求等差数列的通项，同时考查错位相减法求数列的和，属于中档题.19.如图，已知四边形是边长为的菱形，平面平面，且（1）求证：平面平面（2）若四边形
16、为直角梯形，且，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由菱形性质可得，再由面面垂直的性质可得平面，由面面垂直的判定即可得证；（2）设与相交于点，连接，先证明面，求出后利用即可得解.【详解】（1）证明:因为四边形是菱形，所以，又因为平面，平面平面 .平面平面所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）设与相交于点，连接.因为且，四边形是平行四边形.所以且.因为，面面，面面，面，所以面，因为，所以面.因为面，所以，.在中，在中，在中，.所以边上高为所以设点到面的距离为，因为，即，所以，所以.【点睛】本题考查了面面垂直的性质和判定，考查了点到平面距离的求解和等体积法的应用，属
17、于中档题.20.在平面直角坐标系中，已知两定点，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）轨迹上有两点，它们关于直线：对称，且满足，求的面积.【答案】（1）动点的轨迹是圆，其方程为（2）【解析】【分析】（1）设动点的坐标为表示出化简可得.（2）根据对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，即可求出直线的方程，易知垂直于直线，且.设的中点为，则，计算可得，的值，即可求出的面积.【详解】（1）设动点的坐标为，则.整理得，故动点的轨迹是圆，且方程为.（2）由（1）知动点的轨迹是圆心为，半径的圆，圆上两点，关于直线对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，代入并求得，故直线的方程为.易知垂直于直线，且.设的中点为
18、，则，又，.，.易知，故到的距离等于，.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，以及直线与圆的综合问题，属于中档题.21.设函数，e为自然对数的底数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）证明：若，则【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)利用导函数恒成立,求解即可.(2)利用(1)中的结论与零点存在定理可得存在,使得,再利用隐零点的方法,求得在上的最小值,再代入极值点的关系化简证明即可.【详解】解：（1）因为在上单调递增,所以恒成立. 令,当, 在上单调递增,依题意有,得 （2）由（1）可知,在上单调递增,当时, 存在,使得, 且当时,即,在上单调递减当时,即,在上单调递增所以在上的最
19、小值为 , ,即成立 或者 , ,即成立【点睛】本题主要考查了函数恒成立的问题,同时也考查了隐零点问题的应用,需要根据题意列出对应的不等式,再根据导数求解单调性与极值的方法证明即可.属于难题.（二）选考题（10分，请考生在第2223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分）【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上的动点，求点到曲线的最小距离.【答案】（1）的普通方程为；的普通方程为；（2）.【解析】【分析】（1）消去曲
20、线参数方程的参数，得到的普通方程，根据极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得的直角坐标方程.（2）设出曲线的参数方程，利用点到直线距离公式求得点到曲线的距离的表达式，再根据三角函数最值求得到曲线的最小距离.【详解】解:（1）消去参数得到，故曲线的普通方程为，由得到，即，故曲线的普通方程为（2）设点的坐标为，点到曲线的距离所以，当时，的值最小，所以点到曲线的最小距离为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查椭圆上的点到直线的最小距离的求法，考查三角函数辅助角公式以及最值的求法，属于中档题.【选修4 5：不等式选讲】23.已知求不等式解集；若时，不等式恒成
21、立，求a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意得|，可得，整理可得，利用一元二次不等式的解法可得结果不；（2），将写出分段函数形式，利用单调性可得时，取得最大值1，所以的取值范围是【详解】（1）由题意得|x1|2x1|, 所以|x1|2|2x1|2,整理可得x22x0，解得0x2，故原不等式的解集为x|0x2 （2）由已知可得，af(x)x恒成立，设g(x)f(x)x，则,由g(x)单调性可知，x时，g(x)取得最大值1，所以a的取值范围是1，）【点睛】绝对值不等式常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想；转化法，转化为一元二次不等式或对数、指数不等式.