1、2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定目标定位1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面平行的判定定理.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.自 主 预 习1.直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行a2.平面与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个
2、平面平行即 时 自 测1.判断题(1)直线l平行于平面内的无数条直线，则l.()(2)若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线.()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(4)如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()提示(1)直线l可以在平面内.(3)如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行.2.三棱台ABCA1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是()A.相交 B.平行 C.在平面内 D.不确定解析ABA1B1，AB平面A1B1C1，A1B1平面A1B1C1，AB平面A1B1C
3、1.答案B3.点P是平面外一点，过P作直线a，过P作直线b，且直线a，b确定一个平面，则()A. B.与相交C.与异面 D.与的位置关系不确定解析abP，a，b，b，a，.答案A4.平面内任意一条直线均平行于平面，则平面与平面的位置关系是_.解析平面内任意一条直线均平行于平面，所以平面与平面无公共点，所以平面与平面平行.答案平行类型一线面平行判定定理的应用【例1】 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：(1)EH平面BCD；(2)BD平面EFGH.证明(1)EH为ABD的中位线，EHBD.EH平面BCD，BD平面BCD，EH平面BCD.(2)BDE
4、H，BD平面EFGH，EH平面EFGH，BD平面EFGH.规律方法1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.2.证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.【训练1】 如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA平面MDB.证明连接AC交BD于点O，连接OM.M为SC的中点，O为AC的中点，OMSAOM平面MDB，SA平面MDB，SA平面MDB.类型二面面平行判定定理的应用【例2】 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面
5、A1EB平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1BC，B1C1BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綉DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EBC1D，又C1D平面ADC1，EB平面ADC1，所以EB平面ADC1.连接DE，同理，EB1綉BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綉B1B.因为B1BA1A，B1BA1A(棱柱的性质)，所以ED綉A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1EAD，又A1E平面ADC1，AD平面ADC1，所以A1E平面ADC1.由A1E平面ADC1，EB平面ADC1，A1E平面A1EB，EB平面A1EB，且A1EEBE，所以平面A1EB平
6、面ADC1.规律方法1.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.2.判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.【训练2】 如图，三棱锥PABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点.证明平面GFE平面PCB.证明因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EFBC，GFCP.因为EF，GF平面PCB，BC，CP面PCB.所以EF平面PCB，GF平面PCB.又EFGFF，所以平面GFE平面PCB.类型三线面平行、面面平行判定定理的综合应用(互动探究)【例3】 如图，在正方
7、体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.思路探究探究点一判定线面平行与面面平行的思路原则是什么？提示判定线面平行与面面平行的思路原则是找作一条直线与平面平行或在一个面内找作两条与另一个平面平行的相交直线，应遵循先找后作的原则，若找不到再作辅助线.探究点二如何判定(2)中平面EFG平面BDD1B1?提示根据面面平行的判定定理，结合(1)的结论，故在平面EFG内找到另一条直线与平面BDD1B1平行即可.证明(1)如图，连接SB，E，G分别是BC，SC的中点，EGSB.又SB平面
8、BDD1B1，EG平面BDD1B1，EG平面BDD1B1.(2)连接SD，F，G分别是DC，SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1.又EG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.规律方法要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：【训练3】 如图，S是平行四边形ABCD在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且.求证：MN平面SBC.证明连接AN并延长交BC于P，连接
9、SP，因为ADBC，所以，又因为，所以，所以MNSP.又MN平面SBC，SP平面SBC，所以MN平面SBC.课堂小结1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化.2.证明面面平行的一般思路：线线平行线面平行面面平行.3.准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键.1.能保证直线a与平面平行的条件是()A.b，abB.b，c，ab，acC.b，A、Ba，C、Db，且ACBDD.a，b，ab解析A错误，若b，ab，则a或a；B错误，若b，c，ab，ac，则a或a；
10、C错误，若满足此条件，则a或a或a与相交；D正确.答案D2.在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G解析如图，EGE1G1，EG平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，EG平面E1FG1，又G1FH1E，同理可证H1E平面E1FG1，又H1EEGE，平面E1FG1平面EGH1.答案A3.梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面的位置关系是_.解析因为ABCD，AB平面，CD平面，由线面平行的判定定理可得CD.答案CD4
11、.如图所示，E，F分别为三棱锥ABCD的棱BC，BA上的点，且BE BCBFBA13.求证：EF平面ACD.证明在BEF和BCA中，BEBCBFBA13，EFAC.又EF平面ACD，AC平面ACD，EF平面ACD基 础 过 关1.下列图形中能正确表示语句“平面l，a，b，a”的是()解析A中不能正确表达b；B中不能正确表达a；C中也不能正确表达a.D正确.答案D2.已知三个平面，一条直线l，要得到，必须满足下列条件中的()A.l，l，且l B.l，且l，lC.，且 D.l与，所成的角相等解析与无公共点.答案C3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B
12、1B的位置关系是()A.相交 B.平行C.异面 D.相交或平行解析如图，MC1平面DD1C1C，而平面AA1B1B平面DD1C1C，故MC1平面AA1B1B.答案B4.若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为_.解析三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行.答案平行或相交5.给出下列结论：若直线a上有无数个点不在平面内，则a；若直线a与平面内的无数条直线平行，则a；若平面，都与直线a平行，则；若平面内存在无数条直线平行于平面，则.其中错误的是_(填序号).解析中直线a与平面可能相交；中直线a或a；中，或与相交；中，平面内无数条直
13、线互相平行时，或与相交 .故均错误.答案6.如图所示的几何体中，ABC是任意三角形，AECD，且AEAB2a，CDa，F为BE的中点，求证：DF平面ABC.证明如图所示，取AB的中点G，连接FG，CG，F，G分别是BE，AB的中点，FGAE，FGAE.又AE2a，CDa，CDAE.又AECD，CDFG，CDFG，四边形CDFG为平行四边形，DFCG.又CG平面ABC，DF平面ABC，DF平面ABC.7.如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，CC1，AA1，C1D1的中点.求证：平面CEM平面BFN.证明因为E，F，M，N分别为其所在各棱的中点，如图连接CD1，A1
14、B，易知FNCD1.同理，MEA1B.易证四边形A1BCD1为平行四边形，所以MENF.连接MD1，同理可得MD1BF.又BF，NF为平面BFN中两相交直线，ME，MD1为平面CEM中两相交直线，故平面CEM平面BFN.能 力 提 升8.点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析如图，由线面平行的判定定理可知，BD平面EFGH，AC平面EFGH.答案C9.已知直线l，m，平面，下列命题正确的是()A.l，lB.l，m，l，mC.lm，l，mD.l，m，l，m，lmM解析如图所示
15、，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABCD，则AB平面DC1，AB平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF平面AC，B1C1平面AC.EF平面BC1，B1C1平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证ADB1C1，AD平面AC，B1C1平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.答案D10.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，BM平面DE；CN平面AF；平面BDM平面AFN；平面BDE平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是_.解析以ABCD为下底面还原
16、正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.答案11.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，EFAB，FGBC，EGAC，AB2EF，M是线段AD的中点，求证：GM平面ABFE.证明因为EFAB，FGBC，EGAC，所以ABCEFG，由于AB2EF，因此BC2FG.如图，连接AF，由于FGBC，FGBC，在ABCD中，M是线段AD的中点，则AMBC，且AMBC，因此FGAM且FGAM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GMFA.又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM平面ABFE.探 究 创 新12.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点.(1)求证：A1C面BEC1.(2)求异面直线A1C与B1C1所成的角的正切值.(1)证明连接B1C，交BC1于点O，连接OE，如图.因为几何体是正方体，所以O是B1C的中点.又点E是棱A1B1的中点，所以OEA1C.因为OE平面BEC1，A1C平面BEC1，所以A1C平面BEC1.(2)解连接A1B，因为BCB1C1，所以异面直线A1C与B1C1所成的角为BCA1.因为几何体是正方体，所以BCA1B，所以tanBCA1.