1、3.1.2两条直线平行与垂直的判定目标定位1.掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法.2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系.自 主 预 习1.两条直线平行与斜率的关系(1)如图设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1l2，则k1k2；反之，若k1k2，则l1l2.(2)如图若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行.2.两条直线垂直与斜率的关系(1)如图，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直.即k1k21l1l2，l1l2k1k21.(2)如图，若l1与l2中的一条斜率不存在
2、，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直.即 时 自 测1.判断题(1)若两条直线斜率相等，则两直线平行()(2)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交.()(3)若两直线的斜率之积等于1，则两直线互相垂直.()(4)若直线l1l2，则直线l1与l2的斜率互为负倒数.()提示(1)当两直线斜率相等时，两直线平行或重合.(4)当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线垂直.2.已知A(2，0)，B(3，3)，直线lAB，则直线l的斜率k()A.3 B.3 C. D.解析因为直线lAB，所以kkAB3.答案B3.已知直线l1的斜率为0，且l1l2，则
3、l2的倾斜角为()A.0 B.135 C.90 D.180解析kl10且l1l2kl2不存在，直线l2的倾斜角为90.答案C4.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k12，l1l2，则k2_.解析l1l2，k1k21，k2.答案类型一两条直线平行的判定【例1】 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系.(1)l1经过点A(2，1)，B(3，5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；(2)l1的倾斜角为60，l2经过点M(3，2)，N(2，3).解(1)由题意知k1，k2.因为k1k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1l2.(2)由题意知k1tan 60，k2.因为k1
4、k2，所以l1l2或l1与l2重合.规律方法1.判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等，若存在再看斜率是否相等.2.判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件.【训练1】 根据给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系.(1)l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0，5)；(2)l1经过点E(0，1)，F(2，1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3).解(1)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1l2.(2)由题意知k11，k21，虽然k1k2，但是E，F，G，H四点共线，所以
5、l1与l2重合.类型二两条直线垂直的判定【例2】 判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(1，2)，B(1，2)，l2经过点M(2，1)，N(2，1)；(2)l1的斜率为10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(3)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(10，40)，N(10，40).解(1)直线l1的斜率k12，直线l2的斜率k2，k1k21，故l1与l2不垂直.(2)直线l1的斜率k110，直线l2的斜率k2，k1k21，故l1l2.(3)l1的倾斜角为90，则l1x轴.直线l2的斜率k20，则l2x轴.故l1l2.规律方法使用斜率公式判定两直
6、线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.【训练2】 已知直线l1l2，若直线l1的倾斜角为30，则直线l2的斜率为_.解析由题意可知直线l1的斜率k1tan 30，设直线l2的斜率为k2，则k1k21，k2.答案类型三平行与垂直关系的综合应用(互动探究)【例3】 已知A(4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(3，0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状.思路探究探究点一
7、判定图形的形状的基本思路是什么？提示先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明.探究点二利用斜率判定平行与垂直时需要注意什么？提示要注意考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.解由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC.所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合，所以ABCD，由kADkBC，所以AD与BC不平行.又因为kABkAD(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形.规律方法(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系
8、进行判定.(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.【训练3】 已知ABC的顶点A(5，1)，B(1，1)，C(2，m)，若ABC为直角三角形，求m的值.解若A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m7；若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，即1，得m3；若C为直角，则ACBC，所以kACkBC1，即1，得m2.综上可知，m7或m3或m2.课堂小结1.两直线平行或垂直的判定方法.斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合积
9、为1垂直2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想.1.下列说法正确的有()若两直线斜率相等，则两直线平行；若l1l2，则k1k2；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；若两直线斜率都不存在，则两直线平行.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析当k1k2时，l1与l2平行或重合，不成立；中斜率不存在时，不正确；同也不正确.只有正确.答案A2.过点(，)，(0，3)的直线与过点(，)，(2，0)的直线的位置关系为()A.垂直 B.平行C.重合 D.以上都不正确解析过点(，)，(0，3)的直线的斜率k1；过点(，)，(2，0)的直线的斜率k2.因为k
10、1k21，所以两条直线垂直.答案A3.直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3，5)，N(x，7)，P(1，y)，若l1l2，则x_，y_.解析l1l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为，x1，y7.答案174.已知A(m，1)，B(3，4)，C(1，m)，D(1，m1).(1)当m为何值时，ABCD?(2)当m为何值时，ABCD?解(1)ABCDkABkCDkBC，解得m3，当m3时，ABCD.(2)ABCDkABkCD1，1，解得m，当m时，ABCD.基 础 过 关1.经过两点A(2，3)，B(1，x)的直线l1与斜率为1的直线l2平行，则实数x的值为()A.0 B.6 C.6 D.3解
11、析直线l1的斜率k1，由题意可知1，x6.答案C2.以A(1，1)，B(2，1)，C(1，4)为顶点的三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A点为直角顶点的直角三角形D.以B点为直角顶点的直角三角形解析kAB，kAC，kABkAC1，ABAC，A为直角.答案C3.已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，则顶点D的坐标为()A.(3，4) B.(4，3) C.(3，1) D.(3，8)解析设D(m，n)，由题意得ABDC，ADBC，则有kABkDC，kADkBC，解得点D的坐标为(3，4).答案A4.已知直线l1的倾斜角为45，直线l2l1，且l2过点
12、A(2，1)和B(3，a)，则a的值为_.解析l2l1，且l1的倾斜角为45，kl2kl1tan 451，即1，所以a4.答案45.已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点A(1，2)，B(2，a)，若直线l1l2，则a_；若直线l1l2，则a_.解析l1l2时，3，则a5；l1l2时，则a.答案56.当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m21，m2)的直线：(1)倾斜角为135；(2)与过两点(3，2)，(0，7)的直线垂直；(3)与过两点(2，3)，(4，9)的直线平行.解(1)由kAB1，解得m或1.(2)由kAB，且3，解得m或3.(3)令2，解得m或1.7.已知直线l1经过点A(3
13、，m)，B(m1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(2，m2).(1)若l1l2，求m的值；(2)若l1l2，求m的值.解由题意知直线l2的斜率存在且k2.(1)若l1l2，则直线l1的斜率也存在，由k1k2，得，解得m1或m6，经检验，当m1或m6时，l1l2.(2)若l1l2.当k20时，此时m0，l1斜率存在，不符合题意；当k20时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则k1k21，即1，解得m3或m4，所以当m3或m4时，l1l2.能 力 提 升8.已知A(m，3)，B(2m，m4)，C(m1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为()A.1 B.
14、0 C.0或2 D.0或1解析当AB与CD斜率均不存在时，m0，此时ABCD，当kABkCD时，m1，此时ABCD.答案D9.若点P(a，b)与Q(b1，a1)关于直线l对称，则l的倾斜角为()A.135 B.45 C.30 D.60解析kPQ1，kPQkl1，l的斜率为1，倾斜角为45.答案B10.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k24km0的两根，若l1l2，则m_，若l1l2，则m_.解析由一元二次方程根与系数的关系得k1k2，若l1l2则1，m2.若l1l2则k1k2即关于k的二次方程2k24km0有两个相等的实根，(4)242m0，m2.答案2211.已知ABC三个顶点
15、坐标分别为A(2，4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率.解由斜率公式可得kAB，kBC0，kAC5.由kBC0知直线BCx轴，BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在.设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，由k1kAB1，k2kAC1，即k11，k251，解得k1，k2.BC边上的高所在直线的斜率不存在；AB边上的高所在直线的斜率为；AC边上的高所在直线的斜率为.探 究 创 新12.已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形.解(1)当AD90时，如图所示，四边形ABCD为直角梯形，ABDC且ADAB.易求得m2，n1.(2)当AB90时，如图所示，四边形ABCD为直角梯形，ADBC且ABBC，kADkBC，kABkBC1，解得m，n.综上所述，m2，n1或m，n.