1、2021-2022学年广东省高三（上）开学摸底数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1设集合Ax|0x2，Bx|2x2，则BA（）A（2，0）B（2，0C（2，2D（0，2）2已知z1i，则的虚部为（）A1BiC1Di3已知函数则f（3）（）A2BCD34已知数列an是公差不为零的等差数列，a11，a1，a3，a6成等比数列，则a5（）ABC2D35在ABC中，P为BD上一点，若，则实数的值为（）ABCD6四色定理（Fourcolortheorem）又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）提出来的，其内容
2、是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理某校数学兴趣小组在研究给四棱锥PABCD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有（）A36种B72种C48种D24种7已知锐角满足，则sin2（）ABCD8已知点F为抛物线C：y24x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则|AB|（）A9BCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选
3、对的得2分，有选错的得0分9xR，关于x的不等式x2ax+a0恒成立的一个必要不充分条件是（）A0a1Ba1CDa1010已知圆C1：（xm）2+（ym）22与圆C2：x2+y28无公共切线，则实数m的取值可以是（）A2BCD11已知实数x，y满足lnxlny，则下列结论正确的是（）AtanxtanyB（）x（）yCDy2+812如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点（点P与A1，C1不重合），则下列说法不正确的是（）ABDCPB三棱锥CBPD的体积为定值C过P，C，D1三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形DDP与平面A1B1C1D1所成角的正弦值最大为三、
4、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13曲线f（x）lnx+2x在点（1，f（1）处的切线方程为 14写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程 15在（x22x+1）（x+1）4的展开式中，x5的系数为 （用数字作答）16已知函数f（x）是定义域在R上的偶函数，当x0时，若关于x的方程（f（x）2（a+1）f（x）+a0有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an中，a11，且满足an+1an2n，（1）证明：数列bn是等差数列，并求数列bn的通项公式；（2）设Sn为数列的前n项和，求满足的n的最小值18
5、在2acosC2bc，（2bc）cosAacosC，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 _（1）求A的大小；（2）若ABC的面积，且a5，求ABC的周长19电视传媒公司为了解某地区观众对“中国诗词大会”的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名将日均收看该节目时间不低于40分钟的观众称为“诗词迷”，已知“诗词迷”中有15名男性，“非诗词迷”共有75名（1）根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为是否为“诗词迷”与性别有关？非诗词迷诗词迷合计男女合计（2）采用分层抽样的方式从“
6、诗词迷”中任意选取5人进行问卷调查，若再从这5人中任意选取2人奖励诗词大礼包，用x表示获得大礼包的男性人数，y表示获得大礼包的女性人数，设|xy|，求的分布列及期望附：，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820如图，在底面为梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，PAPDADDC2BC2，CD平面PAD，Q为AD的中点（1）证明：AD平面PBQ；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值21已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点（1）求双曲线C的方程；（2）设斜
7、率分别为k1，k2的两条直线l1，l2均经过点Q（2，1），且直线l1，l2与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若k1+k21，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由22已知函数（1）当m0时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意的x（0，+），均有f（x）0，求实数m的最小值参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1设集合Ax|0x2，Bx|2x2，则BA（）A（2，0）B（2，0C（2，2D（0，2）解：Ax|0x2，Bx|2x2，BA（2，0故选：B2已知z1i，则的虚部为（）A1BiC1Di解：z1i，的虚部为1故选：A3
8、已知函数则f（3）（）A2BCD3解：由题意f（3）f（1）f（1）3，故选：D4已知数列an是公差不为零的等差数列，a11，a1，a3，a6成等比数列，则a5（）ABC2D3解：an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a6成等比数列，（1+2d）21（1+5d），解得d（d0），故选：C5在ABC中，P为BD上一点，若，则实数的值为（）ABCD解：，由，得+2，B，P，D三点共线，+21，得，故选：D6四色定理（Fourcolortheorem）又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）提出来的，其内容是“任何一
9、张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理某校数学兴趣小组在研究给四棱锥PABCD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有（）A36种B72种C48种D24种解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D，然后给A面涂色，有3种；给B面涂色，有2种；给C面，若C与A相同色，则D面可以涂2种；若C与A不同色，则D面可以涂1种，所以共有432（2+1）72；故选：B7已知锐角满足，则sin2（）ABCD解：因为
10、，则2（cos2sin2），则cossin，两边同平方可得，1sin2，所以sin2故选：D8已知点F为抛物线C：y24x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则|AB|（）A9BCD解：如图，设A，B在准线上的投影分别为C，D，设BFm，则AF2m，根据抛物线定义可得ACAF2m，BDBFm，过B作BMAC于M，在AMB中，AMm，AB3m，cosBAC，sinAB故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9xR，关于x的不等式x2ax+a0恒成立的一个必要不充分条件是（）A0a
11、1Ba1CDa10解：关于x的不等式x2ax+a0的解集为R，函数f（x）x2ax+a的图象始终在x轴上方，即0，（a）24a0，解得0a4，又a|0a4a|a1，a|0a4a|a10，a1和a10是关于x的不等式x22ax+a0的解集为R的必要不充分条件，故选：BD10已知圆C1：（xm）2+（ym）22与圆C2：x2+y28无公共切线，则实数m的取值可以是（）A2BCD解：圆C1：（xm）2+（ym）22与圆C2：x2+y28无公共切线，圆C1与圆C2内含，圆心距d ，1m1故选：BC11已知实数x，y满足lnxlny，则下列结论正确的是（）AtanxtanyB（）x（）yCDy2+8解：
12、实数x，y满足lnxlny，0xyAtanxtany不一定成立，例如取x，y，因此不正确；B.，因此不正确；C由（xy）（x2+xy+y2+x+y）0，可得：x3y3+x2y20，化为：，因此不正确；Dy2+y2+y2+8，当且仅当x1，y2时取等号，因此正确故选：D12如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点（点P与A1，C1不重合），则下列说法不正确的是（）ABDCPB三棱锥CBPD的体积为定值C过P，C，D1三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形DDP与平面A1B1C1D1所成角的正弦值最大为解：正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点
13、，对于A，连接AC，如图1所示：所以BDAC，因为CC1平面ABCD，BD平面ABCD，所以CC1BD，又ACCC1C，所以BD平面ACC1A1，又CP平面ACC1A1，所以BDCP，选项A正确； 对于B，设正方体的棱长为a，则三棱锥CBPD的体积为V三棱锥CPBDV三棱锥PBCDSBCDCC1a3是定值，选项B正确；对于C，连接A1C1、B1D1，交于点O，如图2所示，当点P在OC1上（包括点O）时，则过P，C，D1三点作正方体的截面，截面图形D1MC为三角形；当点P在OA1上（不包括点O）时，则过P，C，D1三点作正方体的截面，截面图形D1NQC为梯形，所以选项C正确；对于D，连接A1C1
14、、B1D1，交于点O，如图3所示，由题意知DOD1是直线DP与平面A1B1C1D1所成角的最大值值，该角的正弦值最大，最大值为，所以选项D错误故选：D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13曲线f（x）lnx+2x在点（1，f（1）处的切线方程为 3xy10解：由已知得f（1）2，故切点为（1，2），故kf（1）3，切线方程为y23（x1），即3xy10故答案为：3xy1014写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程 （答案不唯一）解：与椭圆有公共焦点坐标的椭圆系为：（3），令5，即可得到一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程1，故答案为：1（答案不唯一）15在（x22x+1）（x+1）4的展开式
15、中，x5的系数为 2（用数字作答）解：（x+1）4的展开式的通项公式为Tr+1x4r，又（x22x+1）（x+1）4x2（x+1）42x（x+1）4+（x+1）4，所以（x22x+1）（x+1）4的展开式中，x5的系数为22故答案为：216已知函数f（x）是定义域在R上的偶函数，当x0时，若关于x的方程（f（x）2（a+1）f（x）+a0有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是 （1，）解：根据题意，函数f（x）是定义域在R上的偶函数，当x0时，则f（x）的图象大致如图：对于方程（f（x）2（a+1）f（x）+a0，变形可得f（x）af（x）10，即方程有两个根f（x）1和f（x）a，yf
16、（x）与直线y1有且只有2个交点，若关于x的方程（f（x）2（a+1）f（x）+a0有且仅有6个不同实数根，必有yf（x）与直线ya有4个交点，结合图象可得：1a，即a的取值范围为（1，）；故答案为：（1，）四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an中，a11，且满足an+1an2n，（1）证明：数列bn是等差数列，并求数列bn的通项公式；（2）设Sn为数列的前n项和，求满足的n的最小值【解答】（1）证明：因为，b1a1+12所以数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以bn2+（n1）n+1（2）因为，所以，解得n10，所以满足的n的最小值为1
17、018在2acosC2bc，（2bc）cosAacosC，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 _（1）求A的大小；（2）若ABC的面积，且a5，求ABC的周长解：（1）若选：2acosC2bc，则由正弦定理得2sinAcosC2sin（A+C）sinC，即2sinCcosAsinC0，因为sinC0，所以，因为0A，则若选：，则有，化简得，可得，所以，故若选：因为（2bc）cosAacosC，由正弦定理得（2sinBsinC）cosAsinAcosC，即2sinBcosAsinCcosA+sinAcosC，所以2sinBc
18、osAsinB，因为0B，所以sinB0，可得，因为0A，故（2）因为，所以bc25，因为，所以b2+c250，所以（b+c）2b2+c2+2bc100，即b+c10所以ABC的周长为a+b+c1519电视传媒公司为了解某地区观众对“中国诗词大会”的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名将日均收看该节目时间不低于40分钟的观众称为“诗词迷”，已知“诗词迷”中有15名男性，“非诗词迷”共有75名（1）根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为是否为“诗词迷”与性别有关？非诗词迷诗词迷合计男女合计（2）采用分层抽样的方式从“诗词迷”中任意选取5人进行
19、问卷调查，若再从这5人中任意选取2人奖励诗词大礼包，用x表示获得大礼包的男性人数，y表示获得大礼包的女性人数，设|xy|，求的分布列及期望附：，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）在抽取的100人中，“非诗词迷”共有75名，则“诗词迷”有25名，又女性有55名，所以22列联表如下所示：非诗词迷诗词迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算，可得，所以没有95%的把握认为是否为“诗词述”与性别有关；（2）由题
20、意可知，采用分层抽样的方式从“诗词迷”中任意选取5人，则男性3名，女性2名，再抽取2人，当x2时，y0，当x1时，y1，当x0时，y2，所以的所有取值为0，2，则，所以的分布列为：02P故20如图，在底面为梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，PAPDADDC2BC2，CD平面PAD，Q为AD的中点（1）证明：AD平面PBQ；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为PAD为正三角形，Q为AD的中点，所以PQAD又ADBC，ADDC2BC，所以四边形BCDQ为平行四边形，所以BQCD因为CD平面PAD，所以CDAD所以BQAD又PQBQQ，所以AD平面PBQ（2）解：因为
21、PQADPQCD，所以PQ平面ABCD所以QA，QB，QP两两垂直，由题得分别以直线QA，QB，QP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C（1，2，0），设为平面PAB的一个法向量，由得取z1，则设直线PC与平面PAB所成的角为，则，所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为21已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点（1）求双曲线C的方程；（2）设斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2均经过点Q（2，1），且直线l1，l2与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若k1+k21，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出
22、该定点坐标；若不存在，说明理由解：（1）由离心率为，且c2a2+b2，得c23b2，a22b2，即双曲线方程为又点在双曲线C上，解得b21，a22，双曲线C的方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，设A（x0，y0），B（x0，y0），则由k1+k21，得，即，解得x00，不符合题意，故直线AB的斜率存在不妨设直线AB的方程为ykx+t，代入，整理得（2k21）x2+4ktx+2t2+20（2k210），0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由k1+k21，得，即，整理得（2k1）x1x2+（t2k+1）（x1+x2）4t0，整理得：t2+（2k2）t1+2k0，即
23、（t1）（t+2k1）0，t1或t12k当t1时，直线AB的方程为ykx+1，经过定点（0，1）；当t12k时，直线AB的方程为yk（x2）+1，经过定点Q（2，1），不符合题意综上，直线AB过定点（0，1）22已知函数（1）当m0时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意的x（0，+），均有f（x）0，求实数m的最小值解：（1）函数，所以f（x）的定义域为（0，+），当m0时，则，当x（0，1）时，f（x）0，则f（x）单调递减，当x（1，+）时，f（x）0，则f（x）单调递增，所以f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+）；（2）因为对任意的x（0，+），f（x）0恒成立，即对任意的x（0，+）恒成立，令，则，令h（x）x+lnx，则h（x）在（0，+）上单调递增，因为，h（1）10，所以存在，使得h（x0）x0+lnx00，当x（0，x0）时，h（x）0，g（x）0，g（x）单调递增；当x（x0，+）时，h（x）0，g（x）0，g（x）单调递减，由x0+lnx00，可得x0lnx0，则所以，又恒成立，所以m1，故m的最小值为l
