1、2021-2022学年广东省高三（上）综合能力数学试卷（一）（8月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1已知集合MxR|x24x+50，NxR|x0，则MN（）A1B5C1，5D2复数（i为虚数单位）的共轭复数（）A1iB1+iC1+2iD12i3若抛物线y22px（p0）上的点M（3，y）到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（）Ay22xBy24xCy28xDy212x4基本分裂数m，是一个衡量细菌分裂的参数，简单来说在1小时内1个细菌平均可以分裂成m个细菌已知在某种细菌培养过程中，原有细菌26个，经过了3小时后细菌增至105个，
2、那么26m3105，参考上述数据预计再经过（）小时细菌就会突破十万个A12B15C18D215已知A为三角形的内角，且，则tanA（）ABCD6受全球新冠疫情影响，2020东京奥运会延期至2021年7月23日到8月8日举行，某射箭选手积极备战奥运，在临赛前的一次训练中共射了1组共72支箭，下表是命中环数的部分统计信息：环数778910频数03ab22已知该次训练的平均环数为9.125环，据此水平，正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9环）的概率约为（）A0.31B0.65C0.86D17如图，直线xm（m1）依次与曲线ylogax、ylogbx及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段AC的
3、中点，则（）A1b2a1Bb2a1C1b2aDb2a8已知函数f（x）（2a1）axa（其中a0且a1），若当x1时，恒有，则a的取值范围是（）ABC，1）D二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9已知函数，则（）ABf（x）是R上的减函数Cf（x）的值域为（，1）D不等式f（1+2x）+f（x）1的解集为10已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A函数yf（x）的图象关于点（，0）对称B函数yf（x）的图象关于直线x对称C函数yf（x）在单调递减
4、D该图象向右平移个单位可得y2sin2x的图象11下列不等式成立的是（）ABC5ln22ln5Dlog43log65三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第10题第一空2分，第二空3分12已知（1+2x）n的展开式的二项式系数之和为16，则n ；各项系数之和为 （用数字作答）13若椭圆的左顶点、上顶点以及右焦点构成直角三角形，则该椭圆的离心率为 14直三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，ABBC，AB1，AA14，则球O的体积是 15定义在R上的函数f（x）x+a+sinx，若f（x+）是奇函数，则a ；满足f（x）0的x的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共
5、70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求A；（2）若a2，且sinB+sinC2sinA，求ABC的面积17已知各项均为正数的数列an满足a12，an+122anan+13an20（1）求an的通项公式；（2）若anbnn，求数列bn的前n项和18如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E在棱C1D1上，且C1E2ED1，在平面A1B1C1D1内过点D1作直线l，使得lAE（1）在图中画出直线l并说明理由；（2）若ADAA1，求直线l与平面ABE所成角的正弦值19研究表明，子女的平均身高yi（cm）与父母的平均身高xi（cm）
6、有较强的线性相关性某数学小组收集到8个家庭的相关数据，下面是小组制作的统计图（散点图、回归直线及回归方程）与原始数据表（局部缺失）：家庭编号12345678父母平均身高（cm）160.5165167170170.5173174180子女平均身高（cm）168170172.5187174.5176180*（1）表中8号家庭的子女平均身高数据缺失，试根据统计学知识找回该数据；（2）由图中观察到4号家庭的数据点明显偏离回归直线l，试计算其残差（残差观测值预报值）；若剔除4号家庭数据点后，用余下的7个散点作线性回归分析，得到新的回归直线l，判断并证明l与l的位置关系附：对于一组数据（x1，y1），（x
7、2，y2），（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，20已知双曲线的右焦点为F（2，0），一条渐近线方程为（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A、B，过F的直线l交C的右支于M，N两点，连结MB交直线于点Q，求证：A、Q、N三点共线21已知函数，（1）确定a的所有值，使函数f（x）是（0，+）上的增函数；（2）若函数g（x）在xx1和xx2处取得极小值g（x1）和g（x2），证明：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1已知集合MxR|x24x+50，NxR|x0，则MN（）A1B5C1，5D解：
8、x24x+50，16200，M，MN故选：D2复数（i为虚数单位）的共轭复数（）A1iB1+iC1+2iD12i解：依题意，得，所以故选：D3若抛物线y22px（p0）上的点M（3，y）到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（）Ay22xBy24xCy28xDy212x解：由题知该抛物线准线方程为到准线的距离等于它到焦点的距离，则，解得p2，故抛物线方程为y24x，故选：B4基本分裂数m，是一个衡量细菌分裂的参数，简单来说在1小时内1个细菌平均可以分裂成m个细菌已知在某种细菌培养过程中，原有细菌26个，经过了3小时后细菌增至105个，那么26m3105，参考上述数据预计再经过（）小时细菌就会突破十
9、万个A12B15C18D21解：由题意知，设再经过n小时细菌就会突破十万个，则105mn100000，即，得，当n12时，256，当n15时，则再经过15小时细菌就会突破十万个故选：B5已知A为三角形的内角，且，则tanA（）ABCD解：因为，所以平方可得，故sinA0，cosA0，故，联立题中给定条件，可解得，故故选：A6受全球新冠疫情影响，2020东京奥运会延期至2021年7月23日到8月8日举行，某射箭选手积极备战奥运，在临赛前的一次训练中共射了1组共72支箭，下表是命中环数的部分统计信息：环数778910频数03ab22已知该次训练的平均环数为9.125环，据此水平，正式比赛时射出的第
10、一支箭命中黄圈（不小于9环）的概率约为（）A0.31B0.65C0.86D1解：由a+b7222347，73+8a+9b+10229.12572，得，解得，训练中命中黄圈的频率为，以频率估计概率，故正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9环）的概率约为0.86故选：C7如图，直线xm（m1）依次与曲线ylogax、ylogbx及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段AC的中点，则（）A1b2a1Bb2a1C1b2aDb2a解：如图，根据对数函数的图象特征，可得ylogax、ylogbx及都是定义域内的增函数，故a1，b1由于当x1时，logaxlogbx0，ba1由B是线段AC的中点，得AB
11、BC，即logam2logbm，即，所以logab2，故ba2，又a，b（1，+），b（2a1）a22a+1（a1）20，所以b2a1，故B正确且A错误；根据ba2，又a，b（1，+），可得当1a2时，1b2a，但当a2时，b2a，故C、D不一定正确，故选：B8已知函数f（x）（2a1）axa（其中a0且a1），若当x1时，恒有，则a的取值范围是（）ABC，1）D解：因为函数f（x）（2a1）axa，且当x1时，恒有，当a1时，f（x）是1，+）上的增函数，所以f（x）的值域为，不满足条件；当时，f（x）是1，+）上的减函数，所以f（x）的值域为，因为（1，0），满足；当时，满足；当时，f（x
12、）是1，+）上的增函数，所以f（x）的值域为，由题意，可得，即，解得综上所述，所求a的取值范围是故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9已知函数，则（）ABf（x）是R上的减函数Cf（x）的值域为（，1）D不等式f（1+2x）+f（x）1的解集为解：对于A，A正确；对于B，y1+2x恒正且在R上递增，故是R上的减函数，B正确；对于C，y1+2x的值域是（1，+），故的值域是（0，1），C错；对于D，注意到，故不等式f（1+2x）+f（x）1等价于f（1+2x）+f（x）f（x）+f（x），
13、即f（1+2x）f（x），又f（x）是R上的减函数，故1+2xx，解得，D正确故选：ABD10已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A函数yf（x）的图象关于点（，0）对称B函数yf（x）的图象关于直线x对称C函数yf（x）在单调递减D该图象向右平移个单位可得y2sin2x的图象解：由函数的图象可得A2，由，解得2再根据最值得2+2k+，kZ；又|，得，得函数f（x）2sin（2x+），当x时，f（x）0，故A正确；当x时，f（x）2，是最值，故B正确；x，则2x+，0，函数f（x）2sin（2x+）不单调，故C错误；函数f（x）2sin（2x
14、+）的图象向右平移个单位可得y2sin（2x+）2sin2x的图象，故D正确故选：ABD11下列不等式成立的是（）ABC5ln22ln5Dlog43log65解：f（x）x在R上递增，A正确，0sin11，log2（sin1）0，又2sin11，故，B错误，5ln2ln322ln5ln25，C正确，故log34log560，所以log43log65，故D错误故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第10题第一空2分，第二空3分12已知（1+2x）n的展开式的二项式系数之和为16，则n4；各项系数之和为81（用数字作答）解：（1+2x）n的展开式中二项式系数之和为2n，2n
15、16，解得n4，（1+2x）n（1+2x）4，令x1可得各项系数之和为：3481，故答案为4，8113若椭圆的左顶点、上顶点以及右焦点构成直角三角形，则该椭圆的离心率为 解：不妨设左顶点A，上顶点B，右焦点F，椭圆的左顶点、上顶点以及右焦点构成直角三角形，由射影定理得|OB|2|OF|OA|，即b2ac，b2a2c2，a2c2ac，即e2+e10，解得负值舍去）故答案为：14直三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，ABBC，AB1，AA14，则球O的体积是 解：由题意可知，三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形，将直三棱柱ABCA1B1C1补成长方体，则长方体的外接球即为直三
16、棱柱ABCA1B1C1的外接球，半径R满足，则R，故球O的体积故答案为：15定义在R上的函数f（x）x+a+sinx，若f（x+）是奇函数，则a；满足f（x）0的x的取值范围是 （2，+）解：f（x+）x+asinx，因为f（x+）是奇函数，则+a0，即a，则f（x）x+sinx，因为f（x）1+cosx0，则f（x）递增，又f（2），则f（x）0，则f（x），则f（x）f（2），即x2，即实数x的取值范围是（2，+）故答案为：，（2，+）四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求A；（2）若a2，且
17、sinB+sinC2sinA，求ABC的面积解：（1）由及正弦定理，可得又sinBsin（A+C），所以，化简得，因为sinC0，所以，即，此时，又A（0，），所以，即（2）由sinB+sinC2sinA及正弦定理，可得b+c2a，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得a2（b+c）22bc2bccosA，即，解得，所以ABC的面积17已知各项均为正数的数列an满足a12，an+122anan+13an20（1）求an的通项公式；（2）若anbnn，求数列bn的前n项和解：（1）已知各项均为正数的数列an满足a12，an+122anan+13an20，所以：（an+13an）（an+1+
18、an）0，整理得：或1（负整数去）（常数），故数列an是以2为首项，3为公比的等比数列；所以：（2）已知anbnn，由（1）得：；所以：+.+；+.+；得：，整理得：18如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E在棱C1D1上，且C1E2ED1，在平面A1B1C1D1内过点D1作直线l，使得lAE（1）在图中画出直线l并说明理由；（2）若ADAA1，求直线l与平面ABE所成角的正弦值解：（1）连接B1D1，则直线B1D1即为所求的直线l理由如下：连接A1E，因为，ED1A1D1A1B190，所以ED1A1D1A1B1，故D1A1EA1B1D1，又A1B1D1+A1D1B190，所以D1A1E+
19、A1D1B190，所以B1D1A1E，又AA1平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，所以AA1B1D1，又A1EAA1A1，所以B1D1平面AA1E，又AE平面AA1E，所以B1D1AE，所以直线B1D1即为所求的直线l说明若连接A1E，作D1HA1E于H，则直线D1H为所求的直线l给出相应理由，同样给至（2）以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，不妨设AD3，则，A（3，0，0），D1（0，0，3），设平面ABE的法向量，则，解得，令z1，得设直线l与平面ABE所成角为，则sin|cos，|，所以直线l与平面ABE所成角的正弦值为19研究表明，子女的平均身高yi（cm
20、）与父母的平均身高xi（cm）有较强的线性相关性某数学小组收集到8个家庭的相关数据，下面是小组制作的统计图（散点图、回归直线及回归方程）与原始数据表（局部缺失）：家庭编号12345678父母平均身高（cm）160.5165167170170.5173174180子女平均身高（cm）168170172.5187174.5176180*（1）表中8号家庭的子女平均身高数据缺失，试根据统计学知识找回该数据；（2）由图中观察到4号家庭的数据点明显偏离回归直线l，试计算其残差（残差观测值预报值）；若剔除4号家庭数据点后，用余下的7个散点作线性回归分析，得到新的回归直线l，判断并证明l与l的位置关系附：对
21、于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，解：（1）由题意可得，代入，则y81778（168+170+172.5+187+174.5+176+180）188cm；（2）因为，所以x4的预报值恰为，故残差为，故两回归直线l与l平行，理由如下：设回归直线l的斜率为，截距为，样本中心点为；回归直线l的斜率为，截距为，样本中心点为，因为，所以，因为，故两条回归直线l与l平行20已知双曲线的右焦点为F（2，0），一条渐近线方程为（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A、B，过F的直线l交C的右支于M，N两点，连结MB交直线于点Q，求证
22、：A、Q、N三点共线解：（1）依题意可得，a2+b24，解得a23，b21，故C的方程为（2）证明：易得，显然，直线l的斜率不为0，设其方程为xmy+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，消去x整理可得，（m23）y2+4my+10，所以，直线，令得，故，（*）又，即（*）的值为0，所以，故A、Q、N三点共线，即得证21已知函数，（1）确定a的所有值，使函数f（x）是（0，+）上的增函数；（2）若函数g（x）在xx1和xx2处取得极小值g（x1）和g（x2），证明：【解答】（1）解：函数，所以，因为x0，故f（x）是（0，+）上的增函数等价于（x1）（x+a）0对x（0，+）恒成立，所以a1，故当a1时，函数f（x）是（0，+）上的增函数；（2）证明：因为，所以，依题意可知x1，x2是h（x）x22xa的两个零点，且0x11x2，所以x1+x22，x1x2a，所以h（0）a0，h（1）122a0，解得1a0，又，故（x11）（x21）a（x1+x2）+a（lnx1+lnx2）x1x2x1x2+1a（x1+x2）+aln（x1x2）13a+aln（a），故原不等式等价于，令at，则0t1，则原不等式等价于，即，令，0t1，则，所以（t）在区间上递减，在区间上递增，当时，（t）取最小值，故综上所述，