1、学习目标1.理解导函数的定义.2.能根据导数的定义求函数yc，yx，yx2，y，y的导数.3.能利用给出的导数公式求简单函数的导数知识点一导函数的概念思考1已知函数f(x)x2，求f(2)，f(1)，f(2)答案f(2)2，f(1)1，f(2)2.思考2对思考1中的函数f(x)，试求f(x0)答案f(x0)x0.思考3对思考2中的x0可以取任意实数吗？当x0变化时，f(x0)的值变化吗？答案可以；变化梳理导函数的定义若一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x)，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，简称为导数知识点二函数的导数公式函数
2、导函数函数导函数yc(c是常数)y0ysinxycos_xyx(是实数)yx1ycosxysin_xyax(a0，a1)yaxln_a特别地(ex)exytanxyylogax(a0，a1)y特别地(lnx)ycotxy类型一利用导数公式求函数的导数例1求下列函数的导数(1)ycos；(2)y；(3)y；(4)ylgx；(5)y5x；(6)ycos(x)解(1)y0.(2)yx5，y(x5)5x6.(3)yx，(4)y.(5)y5xln5.(6)ycos(x)sinx，y(sinx)cosx.反思与感悟若给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂
3、的形式求导跟踪训练1(1)下列结论：(sinx)cosx；(log3x)；(lnx).其中正确的有()A0个B1个C2个D3个答案C解析(log3x)，错误，故选C.(2)求下列函数的导数y(1)(1)；y2cos21.解y(1)(1)y2cos21cosx，y(cosx)sinx.类型二利用导数研究切线问题命题角度1已知切点解决切线问题例2(1)已知P，Q为抛物线yf(x)x2上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为_答案(1，4)解析yx，kPAf(4)4，kQAf(2)2.P(4，8)，Q(2，2)，PA的直线方程为y84(x4)，
4、即y4x8.QA的直线方程为y22(x2)，即y2x2.联立方程组得A(1，4)(2)已知两条曲线ysinx，ycosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由解设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1cosx0，k2sinx0.要使两切线垂直，必须有k1k2cosx0(sinx0)1，即sin2x02，这是不可能的所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点又在曲线上这三个条件联立方程解决跟踪训
5、练2已知函数ykx是曲线ylnx的一条切线，则k_.答案解析设切点坐标为(x0，y0)，由题意得k，又y0kx0，而且y0lnx0，由可得x0e，y01，则k.命题角度2已知斜率解决切点问题例3求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离解设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线的切点到直线xy20的距离最短y(x2)2x，2x01，x0，切点坐标为(，)，所求的最短距离d.反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图像在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图像的切线有关解题时可先利用图像分析取最值时的
6、位置情况，再利用导数的几何意义准确计算跟踪训练3已知直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使ABP的面积最大解设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率ky2x0，k2x02，x01，y01.故可得P(1,1)，切线方程为2xy10.由于直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A、B两点，|AB|为定值，要使ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧上的点，使ABP的面积最大1下列函数求导运算正确的个数为()(3x)3xlog3e；(log2x)；x；若yf(x)，则f(3).
7、A1B2C3D4答案C解析中(3x)3xln3，均正确2函数f(x)x3的斜率等于1的切线有()A1条B2条C3条D不确定答案B解析设切点为(x0，y0)，f(x0)3x1，x0.故斜率等于1的切线有2条3设函数f(x)logax，f(1)1，则a_.答案解析f(x)，则f(1)1，a.4求过曲线ysinx上一点P(，)且与在这一点处的切线垂直的直线方程解ycosx，曲线ysinx在点P(，)处切线的斜率kcos，则与切线垂直的直线的斜率为，所求直线方程为y(x)，即12x18y290.5求下列函数的导数(2)y(cossin)21；(3)y3log2.解(1)yx3，y3x2.(2)ycos
8、2sin22sincos1sinx，ycosx.(3)ylog2x，y.1利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2的导数因为y12sin2cosx，所以y(cosx)sinx.3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化课时作业一、选择题1下列各式中正确的个数是()(x7)7x6；(x1)x2；()()x；(cosx)sinx；(cos2)sin2.A3B4C5D6答案B解析(x1)x2；(cos2)0.不正确故选B.2已知
9、函数f(x)，则f(3)等于()A.B0C.D.答案A解析f(x)()，f(3).3正弦曲线yf(x)sinx上切线的斜率等于的点为()A(，)B(，)或(，)C(2k，)(kZ)D(2k，)或(2k，)(kZ)答案D解析设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，f(x0)cosx0，x02k或2k，y0或.4已知f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于()A4B4C5D5答案A解析f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.5已知曲线yx3在点(2,8)处的切线方程为ykxb，则kb等于()A4B4C28D28答案C解析点(2,8)在切线上，2kb8，又k32212，b16，kb2
10、8.6下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()Af(x)exBf(x)x3Cf(x)lnxDf(x)sinx答案D解析若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为1.因为A项中，(ex)ex0，B项中，(x3)3x20，C项中，x0，即(lnx)0，所以不会使切线斜率之积为1，故选D.7设正弦曲线ysinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是()A0，) B0，)C， D0，答案A解析(sinx)cosx，klcosx，1kl1，l0，)二、填空题8已知f(x)，g(x)mx，且g(2)，则m_.答案4解析f(x)，g(x)m.g(2)，m4.9已知f(
11、x)x2，g(x)x3，则适合方程f(x)1g(x)的x的值为_答案1或解析由导数公式可知，f(x)2x，g(x)3x2，所以2x13x2，即3x22x10.解得x1或x.10设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为_答案(1,1)解析yex的导数为yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率为k1e01.设P(m，n)，y(x0)的导数为y (x0)，曲线y (x0)在点P处的切线的斜率为k2 (m0)因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1)11曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_答案e2
12、解析y(ex)ex，ke2，曲线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.当x0时，ye2，当y0时，x1.S1|e2|e2.三、解答题12求下列函数的导数(1) y；(2)y；(3)y2sin；(4)ylog2x2log2x.解(2)y(x4)4x414x5.(3)y2sin2sin2sincossinx，y(sinx)cosx.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).13设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，试求f2018(x)解f1(x)(sinx)cosx，f2(x)(cosx)sin
13、x，f3(x)(sinx)cosx，f4(x)(cosx)sinx，f5(x)(sinx)f1(x)，f6(x)f2(x)，fn4(x)fn(x)，可知周期为4，f2018(x)f2(x)sinx.四、探究与拓展14已知A、B、C三点在曲线y上，其横坐标依次为1、m、4(1m4)，当ABC的面积最大时，m的值为_答案解析如图，在ABC中，边AC是确定的，要使ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当在点B处的切线平行于直线AC时，ABC的面积最大在点B处切线的斜率k，又A点坐标为(1,1)，C点坐标为(4，2)，kAC，m.15已知曲线yf(x)，求：(1)曲线上与直线yx4平行的切线的方程；(2)过点P(0,3)，且与曲线相切的直线的方程解(1)设切点的坐标为(x0，y0)由y，得y(x)x，f(x0)，切线与直线yx4平行，1，解得x0，y0.故所求切线方程为yx，即4x4y10.(2)点P(0，3)不在曲线y上，需设切点的坐标为M(t，u)，当切线的斜率存在时，切线的斜率为(t0)又切线的斜率为，2t6t，解得t36，切点为M(36，6)，斜率为.故切线方程为y6(x36)，即x12y360.当切线斜率不存在时，由题意知，直线x0也是符合题意的切线综上可知，所求直线的方程为x12y360或x0.