1、第3节等比数列及其前n项和考试要求1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：q(n2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G.2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1；通项公式的推广：anamqnm.(2)
2、等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.3.等比数列的性质已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和.(1)若klmn(k，l，m，nN*)，则有akalaman.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(3)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列，其公比为qn.常用结论与微点提醒1.若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则数列can(c0)，|an|，a，anbn，也是等比数列.2.由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3.在运用等比数列的前n项和
3、公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(4)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列.()解析(1)在等比数列中，q0.(2)若a0，b0，c0满足b2ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a1时，Snna.(4)若a11，q1，则S40，S8S40，S12S80，不成等比数列.答案(1)(2)(3)(4)
4、2.(老教材必修5P53T1改编)已知an是等比数列，a416，公比q2，则a1等于()A.2 B.2 C. D.解析由题意，得a4a1q38a116，解得a12.答案A3.(老教材必修5P61T1改编)等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则an的通项公式an_.解析因为，所以，因为S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，所以q5，q，则an.答案4.(2020晋冀鲁豫名校联考)公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a718，若a1am9，则m的值为()A.8 B.9 C.10 D.11解析由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10.答案C5.
5、(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A.f B.fC.f D.f解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为的等比数列，设此数列为an，则a8f，即第八个单音的频率为f.答案D6.(2019全国卷)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1，aa6，则S5_.解析由aa6得(a1q3)2a1q5，整理得q3.所以S5.答案考点一等比数列
6、基本量的运算【例1】 (1)(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A.16 B.8 C.4 D.2(2)(2020郴州一模)在数列an中，满足a12，aan1an1(n2，nN*)，Sn为an的前n项和，若a664，则S7的值为()A.126 B.256 C.255 D.254解析(1)设等比数列an的公比为q，由a53a34a1得q43q24，得q24，因为数列an的各项均为正数，所以q2，又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15，所以a11，所以a3a1q24.(2)数列an中，满足aan1an1(n2)，则数列a
7、n为等比数列，设其公比为q，又由a12，a664，得q532，则q2，则S7282254.答案(1)C(2)D规律方法1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.【训练1】 (1)等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S38a13a2，a416，则S4()A.9 B.15 C.18 D.30(2)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.解析(1)设数
8、列an的公比为q(q0)，则解得q2，a12，所以S430.(2)由an为等比数列，设公比为q.由得显然q1，a10，得1q3，即q2，代入式可得a11，所以a4a1q31(2)38.答案(1)D(2)8考点二等比数列的判定与证明【例2】 设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*).(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列.(1)解因为a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，所以当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，所以a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，所以a38.综上，a24，a38.(
9、2)证明因为a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，所以当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1).，得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.所以Sn2Sn120，即Sn2Sn12，所以Sn22(Sn12).因为S1240，所以Sn120，所以2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列.规律方法1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n1的情形进行验证.【训练
10、2】 (2019长治二模)Sn为等比数列an的前n项和，已知a49a2，S313，且公比q0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数，使得数列Sn是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解(1)易知q1，由题意可得解得a11，q3，an3n1，Sn.(2)假设存在常数，使得数列Sn是等比数列，S11，S24，S313，(4)2(1)(13)，解得，此时Sn3n，则3，故存在常数，使得数列Sn是以为首项，3为公比的等比数列.考点三等比数列的性质及应用【例3】 (1)(2020洛阳统考)等比数列an的各项均为正数，且a10a11a8a1364，则log2a1log2a2log2a20_.
11、(2)(一题多解)(2019西安模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，若S1020，S30140，则S40()A.280 B.300 C.320 D.340解析(1)由等比数列的性质可得a10a11a8a13，所以a10a11a8a132a10a1164，所以a10a1132，所以log2a1log2a2log2a20log2(a1a2a3a20)log2(a1a20)(a2a19)(a3a18)(a10a11)log2(a10a11)10log2321050.(2)法一因为S10200，所以q1，由等比数列性质得S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，(S20S10)2
12、S10(S30S20)，即(S2020)220(140S20)，解得S2060，2，S40S30S1023，S40S30S1023300.故选B.法二设等比数列an的公比为q，由题意易知q1，所以20，140，两式相除得7，化简得q20q1060，解得q102，所以S40S30S10q30140160300，故选B.答案(1)50(2)B规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训
13、练3】 (1)(2020贵阳质检)在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5的值是()A.2 B. C. D.(2)(一题多解)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则_.解析(1)根据根与系数之间的关系得a3a74，a3a72，由a3a740，所以a30，a70，即a51的n的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.7解析数列an是各项均为正数的等比数列，且a2a4a3，aa3，a31.又q1，a1a21(n3)，TnTn1(n4，nN*)，T11，T2a1a21，T3a1a2a3a1a2T21，T4a1a2a3a4a11，故n的最小值为6.答案C13.(2020华大新高
14、考联盟质检)设等比数列an的前n项和为Sn，若a3a112a，且S4S12S8，则_.解析数列an是等比数列，a3a112a，a2a，q42，S4S12S8，1q41q12(1q8)，将q42代入计算可得.答案14.(开放题)(2020山东模考)在b1b3a2，a4b4，S525这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.设等差数列an的前n项和为Sn，bn是等比数列，_，b1a5，b23，b581，是否存在k，使得SkSk1，且Sk1Sk1，则只需SkSkak1，即ak10，同理，若Sk1Sk2，则只需Sk10.若选：b1b3a2时，a21910
15、，an3n16.当k4时，a50，SkSk1，且Sk1Sk2成立.若选：a4b427，a51，an为递减数列，故不存在ak10，即不存在k，使得SkSk1，且Sk1Sk2成立.若选：S525，S55a325，a35.an2n11.当k4时，a50，SkSk1，且Sk1Sk2成立.C级创新猜想15.(新背景题)(2019宁德质检)某市利用第十六届省运会的契机，鼓励全民健身，从2018年7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材.已知7月份投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，计划从8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a的最小值为()A.243 B.172 C.122 D.74解析将每个月的投放量列表如下：月份投放量(台) 789101112A300aaaaaB64641.5641.52641.53641.54641.55则有64(1.51.521.531.541.55)643005a2 000，解得a74，所以a的最小值为74，故选D.答案D