1、学习目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分知识点一微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)思考1已知函数f(x)2x1，F(x)x2x，则(2x1)dx与F(1)F(0)有什么关系？答案由定积分的几何意义知，(2x1)dx(13)12，F(1)F(0)2，故(2x1)dxF(1)F(0)思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F(x)f(x)?答案不唯一根据导数的性质，若F(x)f(x)，则对任意实数c，都有F(x)cF(x)cf(x)梳理(1)微积分基本定理条件：f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)；结论：f(x)d
2、xF(b)F(a)；符号表示：f(x)dxF(x)|F(b)F(a)(2)常见的原函数与被积函数关系cdxcx|(c为常数)xndx(n1)sinxdxcosx|.cosxdxsinx|.dxlnx|(ba0)exdxex|.axdx(a0且a1)dx(ba0)知识点二定积分和曲边梯形面积的关系思考定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案当被积函数f(x)0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)0不恒成立，则不相等梳理设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图，则f(x)dxS上(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图，则f(x)d
3、xS下(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图，则f(x)dxS上S下特别地，若S上S下，则f(x)dx0.类型一求定积分命题角度1求简单函数的定积分例1求下列定积分(1)(2xex)dx；(2)(3cosx)dx；(3)；(4)(x3)(x4)dx.解(1)(2xex)dx(x2ex)|(1e1)(0e0)e.(2)(3cosx)dx(lnx3sinx)|(ln23sin2)(ln13sin1)ln23sin23sin1.(3)(sincos)212sincos1sinx，(xcosx)(cos)(0cos0)1.(4)(x3)(x4)x27x12，(x3)(x4)dx(x27x1
4、2)dx(x3x212x)|(3332123)0.反思与感悟(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)F(a)跟踪训练1计算下列定积分(1)(xx2)dx；(2)；(3)(1)dx.解(1)(xx2)dx(x2x3lnx)|(2223ln2)(ln1)ln2.(2)sinx1.(3)(1)dx(x)dx(x2)|(92)(42).命题角度2求分段函数的定积分例2(1)求函数f(x)在区间0,4上的定积分；(2)求定积分|x21|dx.解(
5、1)f(x)dx(x1)dx(cosx)x(x2x)|1(2)(40)7.(2)|x21|又(x)1x2，(x)x21，|x21|dx|x21|dx|x21|dx(1x2)dx(x21)dx(x)|(x)|1212.反思与感悟分段函数的定积分的求法(1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算跟踪训练2(1)f(x)求f(x)dx.解f(x)dx(12x)dxx2dx(xx2)|x3|2.(2)求|x2x|dx的值解|x2x|x2x|dx(x2x)dx(xx2)dx(x2x)dx(x3x2)|(x2x3)|(x3x
6、2)|.类型二利用定积分求参数例3(1)已知t0，f(x)2x1，若f(x)dx6，则t_.(2)已知2(kx1)dx4，则实数k的取值范围为_答案(1)3(2)，2解析(1)f(x)dx(2x1)dxt2t6，解得t3或2，t0，t3.(2)(kx1)dxk1.由2k14，得k2.引申探究1若将例3(1)中的条件改为f(x)dxf()，求t.解由f(x)dx(2x1)dxt2t，又f()t1，t2tt1，得t1.2若将例3(1)中的条件改为f(x)dxF(t)，求F(t)的最小值解F(t)f(x)dxt2t(t)2(t0)，当t时，F(t)min.反思与感悟(1)含有参数的定积分可以与方程、
7、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念跟踪训练3(1)已知x(0,1，f(x)(12x2t)dt，则f(x)的值域是_(2)设函数f(x)ax2c(a0)若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_答案(1)0,2)(2)解析(1)f(x)(12x2t)dt(t2xtt2)|2x2(x(0,1)f(x)的值域为0,2)(2)f(x)dx(ax2c)dxc.又f(x0)axc，ax，即x0或.0x01，x0.1若(2x)dx3ln2，则a
8、的值是()A5B4C3D2答案D解析(2x)dx2xdxdxx2|lnx|a21lna3ln2，解得a2.2等于()ABC.D.答案D解析sin.3已知f(x)ax2bxc(a0)，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx2.求a，b，c的值解f(1)2，abc2，f(x)2axb，f(0)b0，f(x)dx(ax2c)dxac2，由可得a6，b0，c4.4已知f(x)计算：f(x)dx.解f(x)dx，取F1(x)2x22x，则F1(x)4x2；取F2(x)sinx，则F2(x)cosx.所以(2x22x)sinx21，即f(x)dx21.1求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再
9、求积分(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数课时作业一、选择题1(ex)dx等于()Ae2ln2Be2eln2Ce2eln2De2eln2答案D解析(ex)(exlnx)|(e2ln2)(eln1)e2eln2.2|x2|dx等于()A(x2)dxB(x2)dxC(x2)dx(x2)dxD(x2)dx(x2)dx答案D解析|x2|x2
10、|dx(x2)dx(x2)dx.故选D.3若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S1答案B解析因为S1x2dxx3|23，S2dxlnx|ln2，S3exdxex|e2ee(e1)又ln2lne1，且2.5e(e1)，所以ln2e(e1)，即S2S10，所以f(1)lg10.又当x0时，f(x)x3t2dtxt3|xa3，所以f(0)a3.因为ff(1)1，所以a31，解得a1.11设f(x)是一次函数，且f(x)dx5，xf(x)dx，则f(x)的解析式为_答案f(x)4x3解析f(x)是一次函数，设f(
11、x)axb(a0)，f(x)dx(axb)dxaxdxbdxab5，xf(x)dxx(axb)dx(ax2)dxbxdxab.解得f(x)4x3.12已知0，则当(cosxsinx)dx取最大值时，_.答案解析(cosxsinx)dxsincos1sin()1.0，则，当，即时，sin()1取得最大值三、解答题13已知f(x)(12t4a)dt，F(a)f(x)3a2dx，求函数F(a)的最小值解因为f(x)(12t4a)dt(6t24at)|6x24ax(6a24a2)6x24ax2a2，F(a)f(x)3a2dx(6x24axa2)dx(2x32ax2a2x)|22aa2a22a2(a1)211.所以当a1时，F(a)取到最小值为1.