1、学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)学业达标1如图442，OB是机器上的曲柄，长是r，绕点O转动，AB是连杆，M是AB上一点，MAa，MBb(2rab)当点A在Ox上做往返运动，点B绕着O做圆周运动时，求点M的轨迹方程图442【解】如题图，设点M(x，y)，BAO，由点B作BCOx，交Ox于点C，由点M作MDOx，交Ox于点D，由点M作MEBC，交BC于点E，那么yDMasin ，xODOCCDOCEMEMbcos ，得到点M(x，y)的坐标满足方程组即为点M的轨迹方程2动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向上的分速度分别为9 m/s和12 m/s，运动开始时，点M位于A(1,1)，求点
2、M的轨迹方程【解】设t s后点M的坐标为(x，y)，则所以点M的轨迹方程为(t0)3以椭圆y21的长轴的左端点A与椭圆上任意一点连线的斜率k为参数，将椭圆方程化为参数方程【导学号：98990028】【解】椭圆y21的长轴的左端点A的坐标为(2,0)设P(x，y)为椭圆上任意一点(除点A)，则点P的坐标满足将k代入y21，消去x，得(4)y2y0.解得y0，或y.由y，解得x；由y0，解得x2.由于(2,0)满足方程组所以椭圆y21的参数方程为4ABC是圆x2y21的内接三角形，已知A(1,0)，BAC60，求ABC的重心的轨迹方程【解】因为BAC60，所以BOC120.设B(cos ，sin
3、)(0240)，则有C(cos(120)，sin(120)设重心坐标为(x，y)，则所以即消去60，得(3x1)29y21，0240，1cos(60)，0，即0x.ABC的重心的轨迹方程为(x)2y2(0x)5如图443，过抛物线y24x上任一点M作MQ垂直于准线l，垂足为Q，连接OM和QF(F为焦点)相交于点P，当M在抛物线上运动时，求点P的轨迹方程图443【解】设直线OM的方程为ykx(k0)，由得或所以M(，)，则Q(1，)，于是直线QF的方程为y(x1)，即y(x1)由消去k，得2x2y22x0.所以点P的轨迹方程为2x2y22x0(y0)6如图444所示，OA是圆C的直径，且OA2a
4、，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQOA，PBOA，试求点P的轨迹方程图444【解】设P(x，y)是轨迹上任意一点，取DOQ，由PQOA，PBOA，得xODOQcos OAcos22acos2，yABOAtan 2atan .所以P点轨迹的参数方程为(，)7已知点P(x，y)是曲线C：上的任意一点，求3xy的取值范围【解】设P(3cos ，2sin )，则3xy3(3cos )(2sin )113cos sin 112sin()，3xy的最大值为112，最小值为112，取值范围是112，112能力提升8如图445，已知曲线4x29y236(x0，y0)，点A在曲线上移动，点C(6,4)，以AC为对角线作矩形ABCD，使ABx轴，ADy轴，求矩形ABCD的面积最小时点A的坐标图445【解】椭圆方程为1(x0，y0)，设A(3cos ，2sin )，(0，)，则B(6,2sin )，C(6,4)，D(3cos ，4)，所以SABCDABAD(63cos )(42sin )2412(sin cos )6sin cos .令tsin cos ，则t(1，sin cos ，则SABCD3(t2)29.因为t(1，所以当t时，矩形面积最小，即tsin cos sin()，此时，.所以矩形ABCD的面积最小时点A坐标是(，)
