1、压轴题(七)12已知函数f(x)xln x3，g(x)x3x2，若x1，x2，f(x1)g(x2)0，则实数a的取值范围为()A0，)B1，)C2，)D3，)答案B解析g(x)3x22x3x，x，当x时，g(x)0，g(x)在区间上单调递增，当x时，g(x)0，g(x)在区间上单调递减，而g0，xln x0，即h(x)在区间上单调递增；当x(1,2时，1x0，h(x)0)yk(x2)，且x2y23，则ABC面积的最大值等价转化为直线yk(x2)与圆x2y23有公共点时的k的最大值，则圆心(0,0)到直线yk(x2)的距离d ，可得01，所以ln x0，所以g(x)，令g(x)0，得xe，当1x
2、0; 当xe时，g(x)0，所以g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)x2f(x)a2e，即xln xaxae20对x(0，)恒成立，令h(x)xln xaxae2，则h(x)ln x1a，令h(x)0，得xea1，当x(0，ea1)时，h(x)0，所以h(x)的最小值为h(ea1)(a1)ea1ae2aea1ae2ea1，令t(a)ae2ea1，则t(a)1ea1，令t(a)0，得a1，当a0,1)时，t(a)0，t(a)在0,1)上单调递增；当a(1，)时，t(a)0；当a1，)时，h(x)的最小值为t(a)ae2ea10t(2)故a的取值范围是0,221(2019陕西部分学校高
3、三摸底)已知圆O：x2y21和抛物线E：yx22，O为坐标原点(1)已知直线l与圆O相切，与抛物线E交于M，N两点，且满足OMON，求直线l的方程；(2)过抛物线E上一点P(x0，y0)作两条直线PQ，PR与圆O相切，且分别交抛物线E于Q，R两点，若直线QR的斜率为，求点P的坐标解(1)由题意，知直线l的斜率存在，设直线l：ykxb，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由直线l与圆O相切，得1，所以b2k21.由消去y，得x2kxb20.所以x1x2k，x1x2b2.由OMON，得0，即x1x2y1y20，所以x1x2(kx1b)(kx2b)0，所以(1k2)x1x2kb(x1x2)b20，所
4、以b2(b2)(b21)bb20，解得b1或b0(舍去)所以k0，故直线l的方程为y1.(2)设Q(x3，y3)，R(x4，y4)，则kRQx3x4，所以x3x4.由题意，知直线PQ，PR的斜率均存在，设PQ：yy0k1(xx0)，由直线PQ与圆O相切，得1，即(x1)k2x0y0k1y10，设PR：yy0k2(xx0)，同理可得(x1)k2x0y0k2y10.由题意可得x1，故k1，k2是方程(x1)k22x0y0ky10的两个根，所以k1k2.由得x2k1xk1x0y020，故x0x3k1，同理可得x0x4k2，则2x0x3x4k1k2，即2x0，所以2x0，解得x0或x0.当x0时，y0；当x0时，y01.故P或P(，1)- 4 -
