1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1抛物线焦点在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，AF5，则该抛物线的方程是_【解析】设抛物线的标准方程为y22ax(a0)，设A(m，3)由抛物线定义得5AF，又(3)22am，a1或a9，故所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.【答案】y22x或y218x2抛物线y24x的弦AB垂直于x轴，若AB4，则焦点到弦AB的距离为_【解析】由题意我们不妨设A(x,2)，则(2)24x，x3，直线AB的方程为x3，抛物线的焦点为(1,0)，焦点到弦AB的距离为2.【答案】23在抛物线y216x内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程
2、是_. 【导学号：09390047】【解析】显然斜率不存在时的直线不符合题意设直线斜率为k，则直线方程为y1k(x2)，由消去x得ky216y16(12k)0，y1y22(y1，y2分别是A，B的纵坐标)，k8，代入得y8x15.【答案】y8x154已知过抛物线：x的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x27，则AB的值为_【解析】因为x，所以y22x，所以抛物线的准线方程为x，根据抛物线的定义知AFx1，BFx2，所以ABAFBF1(x1x2)1(7)8.【答案】85直线yk(x1)与抛物线y28x有两个交点，则实数k的取值范围是_【解析】联立直线与抛物线方程
3、，得所以ky28y8k0.由题意得解得k，且k0.所以实数k的取值范围是(，0)(0，)【答案】(，0)(0，)6已知抛物线E：y24x的焦点为F，P是E的准线l上一点，Q是直线PF与E的一个交点若，则直线PF的方程为_. 【导学号：09390048】【解析】抛物线E：y24x的焦点F(1,0)，设Q到l的距离为d，则QFd.，|d，直线的倾斜角为45或135，直线的斜率为1，直线的方程为xy10或xy10.【答案】xy10或xy107如图243是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_ m.图243 【解析】建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x
4、22py(p0)由题意A(2，2)，代入x22py，得p1，故x22y.设B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2 m.【答案】28设点A的坐标为(a,0)(aR)，则曲线y22x上的点到A点的距离的最小值为_. 【导学号：09390049】【解析】设抛物线上的点到A点的距离为d，抛物线上任一点的坐标为(x，y)，则d2(xa)2y2x2(2a2)xa2x(a1)2(2a1)因为x0，)，所以当a10，即a1时，d2a1，dmin；当a10，即a1时，当x0时，da2，dmin|a|.【答案】(a1)或|a|(a0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和
5、8，求抛物线的方程【解】设直线OA的方程为ykx，k0，则直线OB的方程为yx，由得x0(舍)或x，A点坐标为，B点坐标为(2pk2，2pk)，由|OA|1，|OB|8，可得解方程组得k664，即k24.则p2，又p0，则p，故所求抛物线方程为y2x.10已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值【解】(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2，由抛物线定义得，|AB|x1x2pp9，所以p4，从
6、而抛物线方程为y28x.(2)由于p4,4x25pxp20可化简为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4，4)；设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.能力提升1等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积为_【解析】由条件，不妨设lOA为yx，解方程组得x2p，所以A(2p,2p)故SAOB2(2p)(2p)4p2.【答案】4p22过抛物线yax2(a0)的焦点F作一条直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与F
7、Q的长分别为m，n，则_.【解析】由焦点弦性质，知，抛物线的标准方程为x2y(a0)，2p，p，4a，即4a.【答案】4a3已知抛物线yx2与双曲线x21(a0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线，则的最小值为_【解析】抛物线yx2的焦点F为(0,2)，则双曲线x21中，c2，则a23.即双曲线方程为x21，设P(m，n)，则n23m23，则(m，n)(m，n2)m2n22n1n22n2n12，所以当n时，的最小值为32.【答案】324如图244，抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O.
8、图244【证明】法一：设直线AB的方程为yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C.联立方程，得消去x，得y2p20，y1y2p2，kOA，kOC.又y2px1，kOCkOA，AC经过原点O.当k不存在时，ABx轴，同理可得kOAkOC，所以AC经过原点O.法二：因为抛物线y22px(p0)的焦点为F，由于直线AB斜率不确定，所以经过点F的直线AB的方程可设为xmy，代入抛物线方程消去x得y22pmyp20.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2p2.因为BCx轴，且点C在准线x上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.法三：如图，过A作ADl，D为垂足，则ADEFBC，设AC与EF相交于点N，则，.由抛物线的定义可知AFAD，BFBC，ENNF.即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.