1、2016年山东省威海市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i为虚数单位，复数z=的实部与虚部互为相反数，则实数a=（）A1B1C3D32已知集合A=x|x22x30，B=x|y=ln（2x），定义AB=x|xA，且xB，则AB=（）A（1，2）B2，3）C（2，3）D（1，23已知|=|=2，（ +2）（）=2，则与的夹角为（）A30B45C60D1204已知变量x，y满足关系y=0.2x1，变量y与z负相关，则下列结论正确的是（）Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y负相关，x与z正相关Cz与y正相关
2、，x与z正相关Dx与y负相关，x与z负相关5下列命题的逆命题为真命题的是（）A若x2，则（x2）（x+1）0B若x2+y24，则xy=2C若x+y=2，则xylD若ab，则ac2bc26如图所示的程序框图中按程序运行后输出的结果（）A7B8C9D107已知函数f（x）=2cos（x+）（0，0）为奇函数，其图象与直线y=2相邻两交点的距离为，则函数f（x）（）A在，上单调递减B在，上单调递增C在，上单调递减D在，上单调递增8设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线，与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于点A，P，若|AP|=，则双曲线的离心率为（）A B C D9已知等腰ABC
3、满足AB=AC， BC=2AB，点D为BC边上一点且AD=BD，则sinADB的值为（）A B C D10设函数f（x）=|log2x|，若0a1b且f（b）=f（a）+1，则a+2b的取值范围为（）A4，+）B（4，+）C5，+）D（5，+）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11正四棱锥的主视图和俯视图如图所示，其中主视图为边长为1的正三角形，则该正四棱锥的表面积为12函数f（x）=的值域为13若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为14抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，O为坐标原点，M为C上一点若|MF|=2p，MOF的面积为4，则抛物线方程为15已知函数f
4、（x）=，若关于x的方程f（x）=x+m有两个不同的实根，则实数所的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知f（x）=cosx（sinxcosx）+cos2（x）+1（）求函数f（x）的对称轴；（）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，若不等式f（B）m恒成立，求实数m的取值范围172015年，威海智慧公交建设项目已经基本完成为了解市民对该项目的满意度，分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低
5、于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为基本满意的有680人（I）求等级为非常满意的人数：（）现从等级为不满意市民中按评分分层抽取6人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改监督员，求3人中恰有1人评分在40，50）的概率；（）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由（注：满意指数=）18设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若S3=12，a1，a2，a6成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和Tn19已知直四棱柱ABCDA
6、1B1C1D1，AD=DD1=2，BC=DC=1，DCBC，ADBC，E，F分别为CC1，DD1的中点（I）求证：BFA1B1；（）求证：面BEF面AD1C120f（x）=mx2m2lnx+x，（）若函数f（x）在x=1处取得极小值，求m的值：（）求函数f（x）的单调区间：（）当m0，x，+）时，曲线y=f（x）上总存在经过原点的切线试求m的取值范围21已知椭圆C： +=1（ab0），F1，F2是左右焦点，A，B是长轴两端点，点P（a，b）与F1，F2围成等腰三角形，且=（I）求椭圆C的方程；（）设点Q是椭圆上异于A，B的动点，直线QA、QB分别交直线l：x=m（m2）于M，N两点（i）当=时
7、，求Q点坐标；（ii）是否存在实数m，使得以MN为直径的圆经过点F1？若存在，求出实数m的值，若不存在请说明理由2016年山东省威海市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i为虚数单位，复数z=的实部与虚部互为相反数，则实数a=（）A1B1C3D3【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由已知列式求得a值【解答】解：z=的实部和虚部互为相反数，a2=（2a1），即a=3故选：D2已知集合A=x|x22x30，B=x|y=ln（2x），定义AB=x|xA，且
8、xB，则AB=（）A（1，2）B2，3）C（2，3）D（1，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据条件求出集合A，B的等价条件，结合定义进行求解即可【解答】解：A=x|x22x30=x|1x3，B=x|y=ln（2x）=x|2x0=x|x2，则AB=x|xA，且xB=2，3），故选：B3已知|=|=2，（ +2）（）=2，则与的夹角为（）A30B45C60D120【考点】平面向量数量积的运算【分析】把已知的向量等式左边展开，代入向量数量积公式即可求得与的夹角【解答】解：由（+2）（）=2，得，又|=|=2，即cos=，两向量夹角的范围为0，180，与的夹角为60故选：C4已知变量x，y满
9、足关系y=0.2x1，变量y与z负相关，则下列结论正确的是（）Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y负相关，x与z正相关Cz与y正相关，x与z正相关Dx与y负相关，x与z负相关【考点】线性回归方程【分析】根据回归方程中，变量系数之间的关系，进行求解即可【解答】解：变量x，y满足关系y=0.2x1，则变量y与z正相关，变量y与z负相关，变量x与z负相关，故选：A5下列命题的逆命题为真命题的是（）A若x2，则（x2）（x+1）0B若x2+y24，则xy=2C若x+y=2，则xylD若ab，则ac2bc2【考点】四种命题【分析】分别写出相应的逆命题，再判断真假即可【解答】解：选项A，“若x2，则（x2
10、）（x+1）0”的逆命题为“若（x2）（x+1）0，则x2”因为（x2）（x+1）0得到x2或x1，所以是假命题，选项B，“若x2+y24，则xy=2”的逆命题为“若xy=2，则x2+y22xy=4”是真命题，选项C，“若x+y=2，则xyl”的逆命题为“若xyl，则x+y=2”，因为x=2，y=，满足xyl，但不满足x+y=2，所以是假命题，选项D，“若ab，则ac2bc2”的逆命题为“若ac2bc2，则ab”，因为若c=0，a=1，b=2，满足ac2bc2，但不满足ab，所以是假命题故选：B6如图所示的程序框图中按程序运行后输出的结果（）A7B8C9D10【考点】程序框图【分析】根据题意，
11、模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的n，i的值，当n=1时退出循环，输出i的值为7，从而得解【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=0，n=3执行循环体，满足条件n是奇数，n=10，i=1不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=5，i=2不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是奇数，n=16，i=3不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=8，i=4不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=4，i=5不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=2，i=6不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=1，i=7满足条件n=
12、1，退出循环，输出i的值为7故选：A7已知函数f（x）=2cos（x+）（0，0）为奇函数，其图象与直线y=2相邻两交点的距离为，则函数f（x）（）A在，上单调递减B在，上单调递增C在，上单调递减D在，上单调递增【考点】余弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的奇偶性、周期性求得和的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论【解答】解：函数f（x）=2cos（x+）=2sin（x+）=2sin（x+）（0，0）为奇函数，=k，即 =k+，kZ，=，f（x）=2sinx再根据它的图象与直线y=2相邻两交点的距离为，则函数f（x）的周期为 =，=2，f（x）=2sin2xx，2x，函数
13、f（x）没有单调性，故排除A、B在，上，2x，函数f（x）单调递减，故排除D，故选：C8设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线，与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于点A，P，若|AP|=，则双曲线的离心率为（）A B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】根据直线x=c与双曲线和渐近线相交，求出交点坐标，结合|AP|=，建立方程关系进行求解即可【解答】解：过F作x轴的垂线，在第一象限与双曲线交于点A，令x=c，代入双曲线的方程可得y=b=，则A点坐标为（c，），双曲线过第一象限的渐近线为y=x，当x=c时，y=，即P（c，），则AP=，即3bc3b2=a2，即3bc3b2=
14、c2b2，得c23bc+2b2=0，得c=b（舍）或c=2b，则a=b，则离心率e=，故选：A9已知等腰ABC满足AB=AC， BC=2AB，点D为BC边上一点且AD=BD，则sinADB的值为（）A B C D【考点】正弦定理【分析】设AB=AC=a、AD=BD=b，在ABC中由余弦定理求出cosABC、sinABC，在ABD中由余弦定理表示出AD，由正弦定理求出sinADB的值【解答】解：如图：设AB=AC=a，AD=BD=b，由BC=2AB得，BC=，在ABC中，由余弦定理得，cosABC=，AB=AC，ABC是锐角，则sinABC=，在ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD22AB
15、BDcosABD，解得a=b，由正弦定理得，解得sinADB=，故选：C10设函数f（x）=|log2x|，若0a1b且f（b）=f（a）+1，则a+2b的取值范围为（）A4，+）B（4，+）C5，+）D（5，+）【考点】对数函数的图象与性质【分析】画出函数f（x）的图象，则数形结合可知ab=2，再将所求a+2b化为关于a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可【解答】解：画出f（x）=|log2x|的图象如图：0a1b且f（b）=f（a）+1，|log2b|=|log2a|+1，log2b=log2a+1，log2ba=1，ab=2，y=a+2b=a+，（0a1），y=a+在（0，1）上为
16、减函数，y1+=5，a+2b的取值范围为（5，+），故选：D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11正四棱锥的主视图和俯视图如图所示，其中主视图为边长为1的正三角形，则该正四棱锥的表面积为3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由正视图、俯视图以及正四棱锥的结构特征，求出正四棱锥的底面边长、侧面上的高，由面积公式求出该正四棱锥的表面积【解答】解：根据三视图可知正四棱锥的底面是边长为1正方形，侧面的高是正视图中的边长1，该正四棱锥的表面积S=11+4=3，故答案为：312函数f（x）=的值域为（0，2【考点】函数的值域【分析】通过配方即可得出2xx21，而指数函数y=2x为增函数，从而
17、便可得出，这样便可得出函数f（x）的值域【解答】解：2xx2=（x1）2+11，且y=2x为增函数；，且；f（x）的值域为（0，2故答案为：（0，213若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为12【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出约束条件对应的平面区域（阴影部分），由z=x+3y，得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z，经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（2，5）此时z的最大值为z=2+25=12，故答案为：1214抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F
18、，O为坐标原点，M为C上一点若|MF|=2p，MOF的面积为4，则抛物线方程为y2=8x【考点】抛物线的简单性质【分析】根据M为抛物线上一点，且|MF|=2p，可确定M的坐标，利用MFO的面积，求出p，即可求得抛物线的方程【解答】解：由题意，F（，0），准线方程为x=，|MF|=2pM的横坐标为2p=pM的纵坐标为y=pMFO的面积为4，=4，p=4，抛物线的方程为y2=8x故答案为：y2=8x15已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=x+m有两个不同的实根，则实数所的取值范围为0mfrac2sqrt39或mfrac2sqrt39【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】关于x的方程f（x
19、）=x+m有两个不同的实根转化为函数f（x）=与y=x+m的图象有两个不同的交点，从而利用数形结合的方法求解【解答】解：由题意作函数f（x）=与y=x+m的图象如下，当x1时，f（x）=x3，f（x）=3x2，令f（x）=1解得，x=或x=；而f（）=，f（）=；故m=+=，或m=，结合图象可知，0m或m故答案为：0m或m三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知f（x）=cosx（sinxcosx）+cos2（x）+1（）求函数f（x）的对称轴；（）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，若不等式f（B）m恒成立，求实数m的取值范围【考
20、点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【分析】（）借助辅助角公式，将f（x）化简为一个三角函数式，由此得到对称轴（）由正弦定理得到A，由此得到B的范围，即可得到f（B）的范围【解答】解：（）f（x）=cosx（sinxcosx）+cos2（x）+1=sin2xcos2x+1=2sin（2x）+1，令2x=+k，解得x=+，kZ，函数f（x）的对称轴为x=+，kZ，（）在ABC中，=，由正弦定理得=，可变形得，sin（A+B）=2cosAsinC，即sinC=2cosAsinC，sinC0，cosA=，0A，A=，f（B）=2sin（2B）+1，只需f（x）maxm，0B，2B，sin（2B）1
21、，即0f（B）3，m3172015年，威海智慧公交建设项目已经基本完成为了解市民对该项目的满意度，分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为基本满意的有680人（I）求等级为非常满意的人数：（）现从等级为不满意市民中按评分分层抽取6人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改监督员，求3人中恰有1人评分在40，50）的概率；（）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否
22、则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由（注：满意指数=）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（）由频率分布直方图中小矩形有面积之和为1，能求出a的值，设满意度等级为非常满意的人数为m，则，由此能求出非常满意的市民的人数（）由频率分布直方图可知，按评分分层抽取6人，则评分在40，50）中抽取2人，由此利用等可能事件概率计算公式能过河卒子 同3人中恰有1人评分在40，50）的概率（）先求出所选样本满意程度的平均分，从而估计市民满意度程度的平均得分，进而求出市民满意度指数，由此得到该项目能通过验收【解答】解：（）由频率分布直方图，
23、得：a= 110（0.035+0.004+0.020+0.014+0.002）=0.025，设满意度等级为非常满意的人数为m，则，解得m=500，非常满意的市民有500人（）由频率分布直方图可知，按评分分层抽取6人，则评分在40，50）中抽取2人，设为A1，A2，评分在50，60）中抽取4人，设为B1，B2，B3，B4，则从6人中所选3人担任整改监督员的基本事件总数n=20，3人中恰有1人评分在40，50）中包含的基本事件个数m=12，3人中恰有1人评分在40，50）的概率p=（）所选样本满意程度的平均分为：450.02+550.04+650.14+750.2+850.35+950.25=80
24、.7，估计市民满意度程度的平均得分为80.7，市民满意度指数为=0.8070.8，该项目能通过验收18设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若S3=12，a1，a2，a6成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）设等差数列an的公差为d0，由a1，a2，a6成等比数列，可得：，又S3=12，3a1+3d=12，联立解得a1，d即可得出（II）bn=，利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d0，a1，a2，a6成等比数列， =a1a6，化为：d=3a1又S3=12，3a1+3d=12，
25、化为a1+d=4，联立解得a1=1，d=3an=1+3（n1）=3n2（II）bn=，数列bn的前n项和Tn=+=19已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1，AD=DD1=2，BC=DC=1，DCBC，ADBC，E，F分别为CC1，DD1的中点（I）求证：BFA1B1；（）求证：面BEF面AD1C1【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（I）连结BD，B1D1，取AD的中点G，连结BG，计算BD，AB，利用勾股定理的逆定理得出ABBD，由B1B平面ABCD，得出ABB1B，故而AB平面BDD1B1，于是ABBF，又ABA1B1，所以BFA1B1；（II）连结FG，则
26、可证四边形BEFG是平行四边形，于是BEFGAD1，又EFC1D1，故而面BEF面AD1C1【解答】证明：（I）连结BD，B1D1，取AD的中点G，连结BG，ADBC，BCCD，AD=2，BC=1，四边形BCDG是正方形，AG=BG=1，BD=，AB=，AB2+BD2=AD2，ABBD直四棱柱ABCDA1B1C1D1，B1B平面ABCD，AB平面ABCD，B1BAB，又BD平面BDD1B1，B1B平面BDD1B1，BDB1B=B，AB平面BDD1B1，BF平面BDD1B1，ABBF，又ABA1B1，BFA1B1（II）连结FG，E，F为CC1，DD1的中点，C1D1CDEF，又GBCD，GBE
27、F，四边形EFGB是平行四边形，BEFGF，G分别是DD1，AD的中点，FGAD1，BEAD1，又BE平面BEF，FE平面BEF，BEEF=E，AD1平面AC1D1，C1D1平面AC1D1，AD1C1D1=D1，面BEF面AD1C120f（x）=mx2m2lnx+x，（）若函数f（x）在x=1处取得极小值，求m的值：（）求函数f（x）的单调区间：（）当m0，x，+）时，曲线y=f（x）上总存在经过原点的切线试求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（）求出函数的导数，得到f（1）=0，求出m的值；（）求出函数f（x）导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区
28、间即可；（）问题转化为求g（x）=x2+mlnxm的最小值，从而求出m的范围即可【解答】解：（）f（x）=，（x0），函数f（x）在x=1处取得极小值，f（1）=0，解得：m=1，经检验m=1+时，函数f（x）在x=1处取得极小值，故m=1+；（）令f（x）=0，即2mx2+xm2=0，（x0），当m=0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，m0时，=1+8m30，故x1=，x2=，且x10x2，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减，m0时，=1+8m30，由x1+x20，x1x20，得：x1x20，f（x）在区间（0，），（，+）递减，在（，）递增，m时，0，f（x）0，f（x）在（0
29、，+）递减；（）由题意，方程=f（x）在，+）有解，即方程=有解，（x），整理得：x2+mlnxm=0，设g（x）=x2+mlnxm，（x），g（x）=2x+0，g（x）在，+）递增，g（x）min=g（）=2m，g（e）=e20，只需2m0，m21已知椭圆C： +=1（ab0），F1，F2是左右焦点，A，B是长轴两端点，点P（a，b）与F1，F2围成等腰三角形，且=（I）求椭圆C的方程；（）设点Q是椭圆上异于A，B的动点，直线QA、QB分别交直线l：x=m（m2）于M，N两点（i）当=时，求Q点坐标；（ii）是否存在实数m，使得以MN为直径的圆经过点F1？若存在，求出实数m的值，若不存在请说
30、明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意可得，F1F2=PF2，即（ac）2+b2=4c2，再由，得bc=，然后结合隐含条件求得a，b，则椭圆方程可求；（）（i）由，得则QF1x轴，由（）求得F1（1，0），设Q（1，y），代入椭圆方程即可求得Q坐标；（ii）设Q（x0，y0），得直线QA方程为，求出M点的坐标为（m，）同理得N的坐标为由=1求得m=4可知存在实数m=4，使得以MN为直径的圆经过点F【解答】解：（）F1（c，0），F2（c，0），由题意可得，F1F2=PF2，（ac）2+b2=4c2，由，可得，又a2=b2+c2，联立可得a=2，b=，椭圆方程为；（）（i），QF1MN，则QF1x轴，由（）知，c2=1，则F1（1，0），设Q（1，y），则有，即y=，Q（1，）；（ii）设Q（x0，y0），则，直线QA方程为，令x=m，得M点的坐标为（m，）同理，直线QB的方程为，得N的坐标为=又Q（x0，y0）在椭圆上，则=解得m=4存在实数m=4，使得以MN为直径的圆经过点F2016年7月18日